湖南省益阳市2021-2022学年高一上学期期末数学Word版含解析

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益阳市2021年高一下学期普通高中期末考试数学试卷注意事项：1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义直接得解.【详解】由，，得，故选：B.2.的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式计算可得结果.【详解】.故选：B.3.函数的定义域为（）

1A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为，则，可得，故函数的定义域为.故选：D.4.已知：，：，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由可得，或，，所以由推不出，，由，，可以推出，故是的必要不充分条件.故选：B5.若，，则下列结论成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质及基本不等式分别判断即可.【详解】因为，所以，所以，故A错误，当时，，故B错误，

2因为，所以，而，所以，故C正确，由，所以，故D错误，故选：C.6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得结论.【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度.故选：C.7.已知函数，则它的部分图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

3而，且，所以函数为非奇非偶函数，故C，D错误，排除；当时，，故B错误，故选：A.8.某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（）A.当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B.当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C.当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D.当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【解析】【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）

4A.当时，函数取得最大值2B.函数在上为增函数C.函数的最小正周期为D.函数的图象关于原点对称【答案】ACD【解析】【分析】代入，计算出，A正确；利用整体法得到，数形结合得到其不单调，B错误；利用求出最小正周期，C正确；先求出定义域，结合得到D正确.【详解】对A，当时，函数为的最大值，A正确；对B，当时，，因为在上不单调，故在上不单调，B错误；对C，由，故函数的最小正周期为，C正确；对D，的定义域为R，且，故函数的图象关于原点对称，D正确.故选：ACD10.已知函数，则（）A.是偶函数B.值域为C.在上递增D.有一个零点【答案】BD【解析】【分析】画出的函数图象即可判断.【详解】画出的函数图象如下：

5由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；值域为，故B正确；在单调递减，在单调递增，故C错误；有一个零点1，故D正确.故选：BD.11.已知，且，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用对数函数的单调性可判断CD选项.【详解】因为，且，，对于A选项，函数为上的减函数，则，A错；对于B选项，函数为上的增函数，则，B对；对于C选项，函数在上为增函数，则，C对；对于D选项，取，，则，D错.故选：BC.12.已知是定义在R上的函数，且，则（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的图象关于点对称

6C.函数的图象关于直线x=1对称D.函数是以2为周期的周期函数【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性定义和已知可判断A；利用和奇偶性可判断BC；利用和周期定义可判断D.【详解】因为是定义在R上的函数，由可得，所以是奇函数，函数的图象关于原点对称，故A正确；因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确，C错误；因为，所以，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.化简求值：__________．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.详解】.故答案为：.14.如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这一天时的最大温差是__________，函数的解析式中常数的值为__________．【答案】①.②.

7【解析】【分析】根据图形可得出这一天的最高温度和最低温度，可求得最大温差，根据题意可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】由题可知，这一天时的最高温度为，最低温度为，所以，这一天时的最大温差为，不妨设，由图象可得，解得.故答案为：；.15.若点在角的终边上，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据三角函数定义式可得三角函数值，再利用诱导公式化简得解.【详解】由诱导公式可知，又点在角的终边上，所以，即，故答案为：.16.已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是__________．【答案】【解析】

8【分析】画出与的图象，数形结合得到当时，满足要求【详解】画出与图象如下：由图象可知：将代入，解得：，与相切，故联立，得到，整理得到，由得：，解得：或由图象可知，所以，当时，关于的方程有三个不同的实数根，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合，．（1）当时，求；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）

9（2）【解析】【分析】（1）当时，求出集合，即可根据集合的并集运算得出答案；（2）由已知得出，即可根据列出不等式，解出答案.【小问1详解】当时，，，【小问2详解】，，，，解得：，的取值范围为.18.已知锐角、满足，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式可求得的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式可求得的值．【小问1详解】解：.【小问2详解】

10解：因为、均为锐角，则，，所以，，，所以，，因此，.19已知函数，.（1）若，求自变量的取值范围；（2）设，根据定义证明在区间上单调递减．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；（2）求得，任取、且，作差、因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立.【小问1详解】解：由，可得，解得或，所以，若，自变量的取值范围为.【小问2详解】解：因为，任取、且，即，所以，，，

11所以，，即，所以，函数在上为减函数.20.把一个热物体放在冷空气中冷却，物体的温度将会逐渐下降．假设某物体开始的温度为80℃（用表示），空气的温度是20℃（用表示）．某研究人员每隔5min测量一次物体的温度，得到一组如下表的数据：时间/min05101520物体温度/℃80.060.046.838.132.0为了研究物体温度（单位：℃）与时间（单位：min）的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②．（其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数）．（1）根据表中提供的测量数据，选出一个最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）根据（1）中选择的函数模型，结合表中的一对对应数据：t=5，=60.0，①求出的值；②若该物体的温度由80℃降为25℃时，需要冷却的时间约为多少min？(精确到0.1)（参考数据：）【答案】（1）选函数模型②，理由见解析（2）①；②30.2分钟【解析】【分析】（1）选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度可得答案；（2）①由函数模型得，两边取自然对数可得答案；②当时，得，两边取自然对数得可得答案．【小问1详解】选函数模型②．因为当热物体放在空气中冷却时，随着时间的增加，它的温度会逐渐接近空气的温度，而不会低于空气的温度，而模型①中物体的温度会低于空气的温度，且数据显示不成直线下降，所以选模型②；

12【小问2详解】①由函数模型得：，所以：，两边取自然对数得：，所以．②当时，，即，两边取自然对数得：，解得：，故当物体的温度冷却到时，需要的时间约为30.2分钟．21.已知函数的图像过点且关于直线对称．（1）若直线是函数的图像中与直线相邻的一条对称轴，请确定函数的解析式；（2）若函数在区间上单调，求的最大值．【答案】（1）（2）13【解析】【分析】（1）根据已知条件求出周期，进而求出的值，根据图像上点及已知条件求出的值；（2）根据由题意得，和相减得，所以为正奇数，然后根据函数在区间上单调，从而分析出周期，进而确定的值，代回已知条件检验即可.【小问1详解】由题意可知：，所以，又因为的图像过点，所以得,

13因，所以，所以，【小问2详解】由函数的图像过点得，，①且关于直线对称得，，②由②—①得：，所以为正奇数，又因为在上单调，所以，因为为正奇数，取时，由①得，又因为，所以，此时，，直线是它图像的一条对称轴又因为时，，所以在上单调，综上所述，的最大值为13．22.已知函数．（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若且，讨论函数在上的零点个数．

14【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接判断函数的奇偶性；（2）利用定义法判断函数的单调性，进而可将零点个数转化为方程根的个数，分情况讨论二次方程根的个数即可.【小问1详解】当时，，函数定义域为，，是偶函数；【小问2详解】因为函数的定义域为，设，则，，，，，，即，故函数在上是增函数．当时，，即，所以函数在上零点的个数，等价于方程在上根的个数，令，①当时，，，，，且的图象对称轴，

15所以，函数在上有两个不同的零点．②当时，，方程只有一个根，即函数在上只有一个零点．③当时，，，又，且的图象对称轴，当时，，所以当时，，函数在上有两个不同的零点，当时，，函数在上只有一个零点．综上所述，当或时，函数在上有两个不同的零点；当或时，函数在上只有一个零点．

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