2008数学二

《2008数学二》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2008年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)2(1)设f(x)x(x1)(x2)，则f(x)的零点个数为【】．(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(D).322【详解】f(x)4x3x4xx(4x3x4)．令f(x)0，可得f(x)有三个零点．故应选(D).a(2)曲线方程为yf(x)，函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分xf(x)dx在几何上0表示【】．(A)曲边梯形ABCD的面积．(B)梯形ABCD的面积．(C)曲边三角形ACD面积．(D)三角形ACD面积．【答案】应选(C).aaa'【详解】xf(x)dxxdf(x)af(a)f(x)dx，000aa'其中af(a)是矩形面积，f(x)dx为曲边梯形的面积，所以xf(x)dx为曲边三角形ACD00的面积．故应选(C).x(3)在下列微分方程中，以yCeCcos2xCsin2x（C,C,C为任意的常数）为通123123解的是【】．(A)yy4y4y0.(B)yy4y4y0.(C)yy4y4y0.(D)yy4y4y0.【答案】应选(D).x【详解】由yCeCcos2xCsin2x，可知其特征根为1231，2i，故对应的特征值方程为12,32(1)(2i)(2i)(1)(4)324432444所以所求微分方程为yy4y4y0．应选(D).

1lnx(4)判定函数f(x)，(x0)间断点的情况【】．|x1|(A)有一个可去间断点，一个跳跃间断点．(B)有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.【答案】应选(A).(5)设函数f(x)在(,)内单调有界，{x}为数列，下列命题正确的是【】．n(A)若{x}收敛，则{f(x)}收敛(B)若{x}单调，则{f(x)}收敛nnnn(C)若{f(x)}收敛，则{x}收敛.(D)若{f(x)}单调，则{x}收敛.nnnn【答案】应选(B).【详解】若若{x}单调，则由函数f(x)在(,)内单调有界知，若{f(x)}单调有界，nn因此若{f(x)}收敛．故应选(B).n2222222f(uv)(6)设函数f(x)连续，xy1，xyu,u1，若F(u,v)dudv，22DuvF则【】．u2v2v(A)vf(u)(B)vf(u)(C)f(u)(D)f(u)uu【答案】应选(A).【详解】利用极坐标，得222f(uv)vuf(r)u2F(u,v)22dudv0dv1rdrv1f(r)dr，所以DuvrF2vf(u)．故应选(A).u3(7)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A0，则下列结论正确的是【】．(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆.(C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案】应选(C).2323【详解】(EA)(EAA)EAE，(EA)(EAA)EAE．故EA，EA均可逆．故应选(C).12(8)设A，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．21

221212112(A).(B).(C).(D).12121221【答案】应选(D).1222【详解】EA(1)423(1)(3)02112则1,3，记D，则12211222ED(1)423(1)(3)021则1,3，正负惯性指数相同.故选D.12二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)1cos[xf(x)](9)已知函数f(x)连续，且lim1，则f(0)xx0(e1)f(x)【答案】应填2．2x(10)微分方程(yxe)dxxdy0的通解是.x【答案】应填yx(Ce)．(11)曲线sin(xy)ln(yx)x在点(0,1)的切线方程为.【答案】应填yx1．【详解】2(12)曲线y(x5)x3的拐点坐标为.【答案】(1,6)．【详解】xyyz(13)设z，则.xx(1,2)2【答案】(ln21)．2(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,．若行列式|2A|48，则___________.【答案】应填1．

3三、解答题(15－23小题，共94分)．(15)(本题满分9分)sinxsin(sinx)sinx求极限lim．4x0xsinxsin(sinx)sinxsinxsin(sinx)【详解1】limlim43x0xx0xcosxcos(sinx)cosx1cos(sinx)＝limlim22x03xx03x12122(sinx)sinxo(sinx)sin(sinx)cosx22lim(或lim，或lim)22x06xx03xx03x1．6sinxsin(sinx)sinxsinxsin(sinx)sinx【详解2】limlim44x0xx0sinx2ttsint1cost2sint＝limlimlim（或lim）322t0tt03tt03tt06t1．6(16)(本题满分10分)xx(t)设函数yy(x)由参数方程t2确定，其中xx(t)是初值问题yln(1u)du0dxx22te0dydt的解，求．2x0dxt0dxx【详解1】由2te0得dtxx2edx2tdt，积分得etC．

4x2由条件x0，得C1，即et1，t02故xln(1t)．2xln(1t)方程组t2两端同时对t求导得yln(1u)du0dx2t2dt1t．dy2tln(1t2)dtdydydt22所以(1t)ln(1t)，dxdxdt22d(1t)ln(1t)222dyd(1t)ln(1t)dt从而dx2dxdxdt22tln(1t)2t22(1t)[ln(1t)1]．2t21t21xarcsinx17（本题满分9分）计算dx．021x22xarcsinx1xarcsinx【详解1】由于lim，故dx是反常积分．x12021x1x令arcsinxt，有xsint，t[0,)．221xarcsinx222tcos2t02dx0tsintdt0()dt1x22222t1tsin2t212tdsin2t2sin2tdt440164400022121cos2t．1681640

521xarcsinx1122【详解2】dxxd(arcsinx)01x220121222x(arcsinx)x(arcsinx)dx200212x(arcsinx)dx80令arcsinxt，有xsint，t[0,)．211222x(arcsinx)dxtsin2tdt0201222(tcos2t2tcos2tdt)40021，164221xarcsinx1所以dx．01x2164(18)(本题满分11分)计算max{xy,1}dxdy，其中D(x,y),0x2,0y2．D【详解】将区域D分成如图所示得两个子区域D,D和D．于是123max{xy,1}dxdymax{xy,1}dxdymax{xy,1}dxdymax{xy,1}dxdyDD1D2D3112222xydxdy1dxdy1dxdydxxydy2dxdydxxdy110010D1D2D32x21519ln212ln2ln2．44(19)(本题满分11分)设f(x)是区间[0,)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)1．对任意的t[0,)，直线x0,xt，曲线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周

6生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．【详解】根据题意，因为tt22旋转体体积Vf(x)dx，侧面积S2f(x)1f(x)dx．00tt22所以2f(x)dx2f(x)1f(x)dx．00上式两边同时对t求导得22f(t)f(t)1f(t)．22t解得ln(yy1)tC，yy1Ce．1由y(0)1，得C1．2t1tt所以yy1e或yf(x)(ee)．2(20)(本题满分11分)(I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，b使得f(x)dxf()(ba)；a3(II)若函数(x)具有二阶导数，且满足(2)(1)，(2)(x)dx，则至少存在2一点(1,3)，使得()0．【证法1】若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则必存在最大值M和最小值m．即mf(x)M，x[a,b]于是有bm(ba)f(x)dxM(ba)．a即1bmf(x)dxMbaa根据闭区间上连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点[a,b]，使得1bf()f(x)dxbaa因此而的证．

73（II）存在[2,3]，使得(x)dx()．23由(2)(x)dx()，知(2,3]．2由(2)(1)，利用微分中值定理，存在(1,2)，使得1(2)(1)()0．121由(2)()，利用微分中值定理，存在(2,)，使得2()(2)()0．22存在存在(,)(1,3)，使得12()()21()0．21（21）(本题满分11分)22222求函数uxyz在约束条件zxy和xyz4下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数22222F(x,y,z)xyz(xyz)(xyz4)．令F2x2x0xF2y2y0yFz2z022xyz0xyz40解之得(x,y,z)(1,1,2),(x,y,z)(2,2,8),故所求得最大值为72,最小值为6．11122244222222【详解2】由题意知，uxy2xyxy在条件xyxy4下的最值．F4x34xy22x(12x)0x令F4y34x2y2y(12y)0y22xy4xy0

8F2x2x0xF2y2y0yFz2z022xyz0xyz40解之得(x,y,z)(1,1,2),(x,y,z)(2,2,8),故所求得最大值为72,最小值为6．111222(22)(本题满分12分)．设n元线性方程组Axb，其中2a12a2a1x1b1a22a1xbA，x2，b2．a22a1xbnn2a2an（I）证明行列式|A|(n1)a；（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求x．1（III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．2a12a2a12a2a1【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记D|A|n2a2a12a2ann以下用数学归纳法证明D(n1)a．n当n1时，D2a，结论成立．12a12当n2时，D3a，结论成立．22a2a假设结论对小于n的情况成立．将D按第一行展开得n

92a12a2a12a2a1D2aDnn12a2a12a2an122aDaDn1n2n12n22anaa(n1)an(n1)an故A(n1)a．2【注】本题（1）也可用递推法．由D2aDaD得，nn1n2n2n2nnDaDa(DaD)a(DaD)a．于是D(n1)ann1n1n221n2a12a2a12a2a1（I）【证法2】消元法．记|A|2a2a12a2an2a130a1212rara2a12122a2a12a2an

102a130a12420a1rar33232a2a12a2a12a2an2a130a122a2a1n1rnarn1nn0a1n1n10annn(n1)a．（II）【详解】当a0时，方程组系数行列式D0，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，n将D得第一列换成b，得行列式为n112a1202a1a2a122a2a1a2a1n1Dnan122a2a1a2a122a2aa2ann1Dan1所以，x．1D(n1)an（III）【详解】当a0时，方程组为

1101x1101x0201x0n10xn0此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为n1，所以方程组有无穷多组解，其通解为TTx010k100，其中k为任意常数．(23)(本题满分10分)设A为3阶矩阵，,为A的分别属于特征值1,1的特征向量，向量满足123A，321(I)证明,,线性无关；1231(II)令P(,,)，求PAP．123【详解】(I)【证明】设有一组数k,k,k，使得kkk0．12312233用A左乘上式，得k(A)k(A)k(A)0．112233因为A,A，A，1122321所以k(kk)k0，1123233即2kk0．1132由于,是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此12kk0，从而有k0．132故,,线性无关．123100（II）由题意，APP011．而由（I）知，,,线性无关，从而P(,,)123123001可逆．故1001PAP011．001

12