2008年考研数学一数学二全解析

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1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设函数/(x)=J；ln(2+M，则广(兀)的零点个数()(A)0(B)l(C)2(D)3解：(B).分析：=ln(2+x2)•2%=2xln(2+x2)A片2厂(x)=21n(2+/)+——〉O,恒大于0,所以广⑴在(yo,+oo)上是单调递增的.2+厂又因为f(0)=0,根据其单调性可知广⑴只有一个零点.X(2)函数/(x,y)=arctan一在点(0,1)

2、处的梯度等于()y(巧-J(小(b)・i(c)j解；(A).j_J.分析：由fx=—=—/~)xx^+yx2+y-X91+7—X~2~9X+厂A(o,i)=o.所以grcidf(0,)=lxz+0xj=i.(3)在下列微分方程中，以y=C,ex+C2cos2x+C3sin2x(CPC2,C3为任意常数)为通解的是()(A)yw+y-4/-4y=0.(B))"+y"+4/+4y=0.(C)y"-y"-4#+4y=0.(£))*-『"+4#-4歹=0.分析；由y=CQ+C2cos2兀+GSin2兀可知其特征根为入=1,&分=±2z.故对应的特

3、征方程为（A-1）（2+2i）（A-2i）=（A-1）（A2+4）=A3+42-A2-4=23-22+42-4所以所求微分方程为Z-/+4/-4y=0,选（D）.（4）设函数/（兀）在（-co,X。）内单调有界，｛“｝为数列，下列命题正确的是（）（4）若区｝收敛，则｛/（£）｝收敛.（3）若曲｝单调，则｛/（£）｝收敛.（C）若｛/（%„）｝收敛，则｛暫｝收敛.（D）若｛/（%„）｝单调，则｛暫｝收敛.解：（B）分析：若｛%｝单调，则由/（切在（y）,y）内单调有界知，｛/（£）｝单调有界，因此｛/（£）｝收敛，应选（B）.（5）设A为斤阶

4、非零矩阵，E为料阶单位矩阵.若才=0,则（）（A）E-A不可逆，E+A不可逆.（B）E-A不可逆，E+A可逆.（C）£—4可逆，E+A可逆.（£＞）E—A可逆，E+A不可逆.解：选（C）分析：（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E,（E+A）（E-A+A2）=e+a3=e故E-A,E+A均可逆。（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程（x,y,z）Ay=1在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（）（4）0.（B）l.（C）2.（D）3.解：选（B）222分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为罕-氓工=1,

5、故4的正特征值个数为1。(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F(x),则Z=max{X,y}分布函数为()(小尸(乂).(B)F(x)F(y).(C)1-[1-F(x)]2.(D)[1-F(x)][l-F(y)解：选(A)分析；F(Z)=P(Z

6、(D)分析：用排除法设Y=aX+bf由pXY=,知道X,丫正相关，得°>0,排除(A)、(C)由X〜N(O,1),Y〜N(l,4),得EX=O,EY=1,E(y)=E(aX+b)=aEX+b=axO+b,b=排除(B)故选择(D)二.填空题：9・14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)微分方程灯+y=0满足条件y(l)=l的解是y=解:y=—分析；由©二N空=dxx-yxy=Injt所以」-卜,又XI)=1,所以y=-X(10)曲线sin(马)+In(y—无)=兀在点(0,1)处的切线方程为解：y=x+l.

7、ycos(xy)+1分析：设F(x,y)=sin(Ay)4-ln(y-x)-x,斜率k=-—F.,xcos(r)0+--—y-兀在(0,1)处，k=,所以切线方程为y-i=x,即歹=兀+10000(11)已知幕级数工色(兀+2)"在兀=0处收敛，在x=-4处发散，则幕级数3)"n=0n=0的收敛域为.解:(1,5]•008分析：由题意知》＞Q+2)"的收敛域为(-4,0],则的收敛域为(-2,2].n=0n=0所以£色(兀-3)"的收敛域为(1,51.n=0(12)设曲面工是z=^4-x2-y2的上侧，则jjxydydz+xdzdx4-a

8、:2dxdy=z解：4兀分析；(J勺边也+xdzdx+x2dxdy=dz--xdzdx+x2dxdy+JJ^dxdy=jjjydxdydz+JJx2dxdy=0+—JJ+y~