数学二2008年考研数学二真题及解析b.doc

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1、三、解答题(15)【详解】方法一：方法二：本题的难度值为0.823.(16)【详解】方法一：由得，积分并由条件得，即所以方法二：由得，积分并由条件得，即所以所以本题的难度值为0.742.(17)【详解】方法一：由于，故是反常积分.令，有，方法二：令，有，O0.52xD1D3D2故，原式本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为O0.52xD1D3D2本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积，侧面积，由题设条件知上式两端对求导得，即由分离变量法解得，即将代入知，故，于是所求函数为本题的

2、难度值为0.497.(20)【详解】(I)设与是连续函数在上的最大值与最小值，即由定积分性质，有，即由连续函数介值定理，至少存在一点，使得即(II)由(I)的结论可知至少存在一点，使又由，知对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有本题的难度值为0.719.(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数令解方程组得故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求在条件下的最值设令解得，代入，得故所求的最大值为72，最小值为6.本题的难度值为0.486.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明．当时

3、，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得故证法三：记，将其按第一列展开得，所以即(II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为所以(III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：则

4、线性相关，矛盾.所以，线性无关.证法二：设存在数，使得(1)用左乘(1)的两边并由得(2)(1)—(2)得(3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II)记，则可逆，所以.本题的难度值为0.272.