2007年考研数学二真题及解析

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1、2007年研究生入学考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.+（1）当x→0时，与x等价的无穷小量是1+xx（A）1e−（B）ln（C）1+x−1（D）1cos−x[]1−xx(e+e)tanx（2）函数fx()=在[−ππ,]上的第一类间断点是x=（）1⎛⎞x⎜ex−e⎟⎝⎠ππ（A）0（B）1（C）−（D）22（3）如图，连续函数y=fx()在区间[−−3,2,2,3][]上的图形分别是直径为1的上、下半x圆周，在区间

2、[−2,0,0,2][]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设Fx()=∫ftt()d，0则下列结论正确的是：35（A）F(3)=−F(2)−(B)F(3)=F(2)4435（C）F(3)=F(2)（D）F(3)=−F(2)−[]44（4）设函数fx()在x=0处连续，下列命题错误的是：fx()fx()+f(−x)（A）若lim存在，则f(0)0=（B）若lim存在，则f(0)0=.x→0xx→0xfx()fx()−f(−x)（B）若lim存在，则f′(0)=0（D）若lim存在，则f′(0)=0.x→0xx→0x[]1x（

3、5）曲线y=+ln1e(+)的渐近线的条数为x您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（6）设函数fx()在(0,+∞)上具有二阶导数，且f′′()x>0，令u=fn()，则下列结论正n确的是：(A)若u>u，则{u}必收敛.(B)若u>u，则{u}必发散12n12n(C)若u1

4、lim[fxy(,)−f(0,0)]=0.(,)xy→(0,0)fx(,0)−f(0,0)f(0,)y−f(0,0)（B）lim=0,且lim=0.x→0xy→0yfxy(,)−f(0,0)（C）lim=0.(,)xy→(0,0)x2+y2（D）lim⎡f′(,0)x−f′(0,0)⎤=0,且lim⎡f′(0,)y−f′(0,0)⎤=0.xxyyx→0⎣⎦y→0⎣⎦π1（8）设函数fxy(,)连续，则二次积分∫πdx∫fxyy(,)d等于sinx21π1π（A）∫∫dyfxyx(,)d（B）∫∫dyfxyx(,)d0π+ar

5、csiny0π−arcsiny1π+arcsiny1π−arcsiny（C）∫dy∫πfxyx(,)d（D）∫dy∫πfxyx(,)d0022（9）设向量组ααα,,线性无关，则下列向量组线性相关的是123线性相关，则(A)α−αα,−αα,−α(B)α+αα,+αα,+α122331122331(C)α−2αα,−2αα,−2α.(D)α+2αα,+2αα,+2α.[]122331122331⎛2−1−1⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟（10）设矩阵A=−12−1,B=010，则A与B⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−1−12⎠⎝000⎠(A)合同

6、且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.arctanx−sinx（11）lim=__________.3x→0x您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net2⎧x=cost+costπ（12）曲线⎨上对应于t=的点处的法线斜率为_________.⎩y=+1sint41()n（13）设函数y=，则y(0)=________.2x+32x（14）二阶常系数

7、非齐次微分方程y′′−4y′+3y=2e的通解为y=________.⎛yx⎞∂z∂z（15）设fuv(,)是二元可微函数，z=f⎜,⎟，则x−y=__________.⎝xy⎠∂x∂y⎛0100⎞⎜⎟0010（16）设矩阵A=⎜⎟，则A3的秩为.⎜0001⎟⎜⎟⎝0000⎠三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)⎡π⎤fx()−1xcost−sint设fx()是区间⎢0,⎥上单调、可导的函数，且满足∫f()dtt=∫tdt，⎣4⎦00sint+cost−1其中

8、f是f的反函数，求fx().（18）（本题满分11分）x−设D是位于曲线y=xa2a(a>1,0≤x<+∞)下方、x轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Va()；（Ⅱ）当a为何值时，Va()最小？并求此最小值.2（19）（本题满分10分）求微分方程yx′′(+y′