广东省茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则中元素的个数为　　A．2B．3C．4D．52．（5分）已知命题，，则为　　A．，B．，C．，D．，3．（5分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为　　A．B．C．2D．34．（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为　　A．B．C．D．35．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为　　A．120B．180C．240D．3606．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是　　A．B．C．D．7．（5分）记的面积为，若，，则的最大值为　　A．4B．6C．12D．248．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为　　（参考数据：，A．80B．120C．150D．200

1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数满足，则　　A．的虚部为B．的共轭复数为C．D．在复平面内对应的点位于第二象限10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号4578人均年纯收入2.15.9若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是　　A．人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关B．C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D．2023年村人均年纯收入约为11万元11．（5分）已知函数，的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是　　A．B．

2C．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D．把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数12．（5分）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的的值不可能为　　A．B．C．1D．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则向量，夹角的余弦值为　　．14．（5分）已知等比数列的前项和为，，，则的值为　　，若，则　　．15．（5分）已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数　　．16．（5分）16、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点．则三棱锥的外接球的表面积为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答．已知等差数列的前项和为，，_____，若，求数列的前项和．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由．

319．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展．市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：，，，，，，，，，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，，其中近似为样本平均数．若市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间，的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中，若中奖，则补助200元次，若不中奖，则只补助100元次，且假定每次中奖的概率均为．问：哪一种补助方案补助总金额更低．参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，．

421．（12分）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）已知圆与抛物线相交于，两点，且．（1）求的标准方程；（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：．

52020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，1，2，3，，，则中元素的个数为　　A．2B．3C．4D．5【考点】交集及其运算【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合交集的定义求出，由元素的定义求解即可．【解答】解：因为集合，1，2，3，，，所以，2，，故中元素的个数为3．故选：．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集定义的应用以及元素定义的应用，属于基础题．2．（5分）已知命题，，则为　　A．，B．，C．，D．，【考点】命题的否定【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案．【解答】解：根据题意，命题，，是全称命题，其否定为：，；故选：．【点评】本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的概念，属于基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为　　

6A．B．C．2D．3【考点】双曲线的性质【分析】由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率公式得答案．【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即，双曲线的离心率．故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题．4．（5分）已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为　　A．B．C．D．3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】根据题意，分析可得，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，倾斜角为的直线与直线平行，则，则有，故选：．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，涉及直线的切斜角与斜率的关系，属于基础题．5．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为　　A．120B．180C．240D．360【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，有种分组方法，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，有种安排方法，则有种安排方法；

7故选：．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是　　A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设该圆柱的底面圆半径为，高为，由题意得到和的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以，该圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是．故选：．【点评】本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱的侧面积公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7．（5分）记的面积为，若，，则的最大值为　　A．4B．6C．12D．24【考点】正弦定理；椭圆的性质【分析】以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：以的中点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，，则，故该椭圆的标准方程为，则三角形面积，当且仅当时取等号．故选：．

8【点评】本题主要考查了椭圆的定义和三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．8．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若100只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间，内，则的值可能为　　（参考数据：，A．80B．120C．150D．200【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】由题意可得，两边取对数得，再结合，，即可求解．【解答】解：由题意可得，两边取对数得，，且，即，对照各选项，只有符合．故选：．【点评】本题考查了对数函数的实际应用，需要学生熟练掌握对数函数的公式，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数满足，则　　A．的虚部为B．的共轭复数为C．D．在复平面内对应的点位于第二象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义

9【分析】先利用复数的除法运算求出的代数形式，然后由虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义以及复数的乘法运算对四个选项逐一判断即可；【解答】解：因为，所以的虚部为，的共轭复数为，它在复平面内对应的点位于第二象限，故正确，正确，正确；，故错误．故选：．【点评】本题考查了复数的综合应用，涉及了复数的乘法和除法运算，虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号4578人均年纯收入2.15.9若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是　　A．人均纯收入（单位：万元）与年份代号负相关B．C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D．2023年村人均年纯收入约为11万元【考点】线性回归方程【分析】由回归直线的斜率为判断；求出，可得，再由的平均数列式可得的值判断；由回归直线斜率的几何意义判断；求出2013年的年份代号，代入回归直线方程求得判断．【解答】解：由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人（单位：万元）与年份代号正相关；错误；，，于是得，解得，正确；由每增加1，约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，正确；

102023年的年份代号为11，故，故可估计2023年村人均年纯收人约为9万元，错误．故选：．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．11．（5分）已知函数，的部分图象如图所示，，则下列结论正确的是　　A．B．C．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D．把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数【考点】函数的图象变换；由的部分图象确定其解析式【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．【解答】解：设点在轴上的投影为，则，，．，，，，，又，，即，正确；错误；

11，错误；把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，当时，，故函数在时为减函数，正确，故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．（5分）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的的值不可能为　　A．B．C．1D．2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】设，求导分析单调性，得函数在定义域上单调递减，由，则，不等式等价于，即，即可得出答案．【解答】解：设，则，，，，即函数在定义域上单调递减．，，不等式等价于，即，解得．故不等式的解集为，．故选：．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，，，则向量，夹角的余弦值为　　．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】可根据求出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值．

12【解答】解：由，得，且，所以，且，所以．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）已知等比数列的前项和为，，，则的值为　　，若，则　　．【考点】等比数列的前项和【分析】根据等比数列的性质可得，解得后利用求出的值；若可得为正数，利用求出值后根据等比数列前项和即可求出的值．【解答】解：由得，，；设等比数列的公比为，若，则为正数，故，．故答案为：；2046．【点评】本题考查等比数列的通项公式，前项和；考查学生的运算求解能力，属于基础题．15．（5分）已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数　（答案不唯一）　．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】通过偶函数的定义以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可．【解答】解：若，则，所以为偶函数，当时，在区间内单调递减，在区间上单调递增，故的解析式可以是．

13故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，属于开放性问题，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于中档题．16．（5分）16、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．如图，已知三棱柱是一“堑堵”，，，点为的中点．则三棱锥的外接球的表面积为　　．【考点】球的体积和表面积【分析】取的中点，的中点，连接，，证明平面，三棱锥的外接球的球心为，连接，求解三角形可得，再由球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取的中点，的中点，连接，则，且．，又，，平面，连接，则，且，平面．设该球的球心为，设的外心为，连接，则平面，，连接，，，由是的外心得平面，，可得四边形为矩形．

14，为等边三角形，可知，则，得三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答．已知等差数列的前项和为，，_____，若，求数列的前项和．【考点】数列的求和【分析】设数列的公差为．若选择①：根据，可解得和的值，进而可得，又，可利用裂项求和法求数列的前项和；若选择②：由，建立关于和的方程组即可解出和的值，又，可利用裂项求和法求数列的前项和；若选择③：利用，解得值后再根据解得，易知满足上式，又，可利用裂项求和法求数列的前项和．【解答】解：设数列的公差为．若选①：由，，得，解得，，所以．因为，所以．则．若选②：由，，得，解得，，所以．因为，所以．

15则．若选择③：因为，所以，，所以，解得，则．又满足上式，所以．因为，所以．则．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和、裂项求和法，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，可得，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解．（2）由的面积为，可推得，并且的外接圆半径为，结合正弦定理，可得，再运用余弦定理，即可求解．【解答】解：（1）由正弦定理及，得，，，，，，，即，，

16．（2）为等边三角形．理由如下：，即，，①的外接圆半径为，．由余弦定理得，即，，②由①②得，为等边三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法【分析】（1）在梯形中，过点作于点，利用勾股定理证明，由平面，可得，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（1）证明：在梯形中，过点作于点，由题意可知，，所以，．

17则，即，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又由平面，所以平面平面；（2）解：因为，，两两垂直，所以以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，可得，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，所以，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．

1820．（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展．市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：，，，，，，，，，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，，其中近似为样本平均数．若市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间，的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中，若中奖，则补助200元次，若不中奖，则只补助100元次，且假定每次中奖的概率均为．问：哪一种补助方案补助总金额更低．参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】（1）由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可；（2）利用正态分布曲线的对称性求出服务质量得分位于区间，的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可；（3）先求出方案一所补助的费用，对于方案二，设一个人所得补助为元，先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可．【解答】解：（1）由题意知：

19中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以样本平均数为．所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5；（2）由（1）可知，故，所以，，，，而，故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间，的人数约为（人；（3）按方案一：所补助的总费用为（元；按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为100，200，300，400，由题意知，，，，，，所以的分布列为：100200300400则，故估算补助的总金额为：（元又，所以选择方案二补助的总金额更低．【点评】本题考查了平均数计算公式的应用，正态曲线对称性的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数．

20（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导得，当时，令，令，即可得的单调区间．（2）不等式转化为恒成立，即对恒成立，设，只需要，即可得得出答案．【解答】解：（1）的定义域为，所以，当时，令，得，令，得，或．在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．（2）由，得，当时，，即对恒成立，设，则，设，则，，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，（1），

21，的取值范围是，．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22．（12分）已知圆与抛物线相交于，两点，且．（1）求的标准方程；（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：．【考点】直线与抛物线的综合【分析】（1）由已知求得抛物线与圆的交点坐标，代入抛物线方程求得，则的标准方程可求；（2）由题意设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得，即可证明．【解答】（1）解：由题意得圆心到弦的距离，则由拋物线和圆的对称性可得，两点的坐标分别为，代入的方程可得，解得，的方程为；（2）证明：当直线垂直于轴时，不适合题意；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，，．联立方程，可得，，，要证明，只需要证，而，

22．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/622:00:08；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184