广东省潮州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（　　）A．B．C．1D．2．若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（　　）把握认为两个变量有关系．P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．95%B．97.5%C．99%D．99.9%3．以下求导正确的是（　　）A．（cosx）'＝sinxB．C．D．4．曲线y＝x3﹣2x2在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）A．y＝x﹣2B．y＝﹣3x+2C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x5．若＝6，则n的值为（　　）A．4B．5C．6D．76．已知随机变量X服从正态分布，X～N（4，σ2），且P（X≤2）＝0.3，则P（X≤6）＝（　　）A．0.3B．0.4C．0.85D．0.77．疫情期间，潮州某医院安排4名医生到湖北3个不同的医院支援，每名医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（　　）A．18种B．36种C．6种D．72种8．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（　　）A．B．C．D．9．函数f（x）＝x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1）10．函数f（x）＝的图象大致为（　　）

1A．B．C．D．11．若函数y＝x3+x2+m在[﹣2，1]上的最大值为，则m等于（　　）A．0B．1C．2D．12．若函数f（x）＝的图象上恰好存在两个点关于y轴对称，则实数k的取值范围是（　　）A．（1，1+]B．{1}∪（1+，+∞）C．{1}D．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数z＝（其中i是虚数单位）在复平面内对应的点在第　　象限．14．在的展开式中，常数项为　　．（用数字作答）．

215．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有　　种．（用数字作答）16．已知可导函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足xf'（x）﹣2f（x）＜0，且f（2）＝4，则不等式f（2x）＞4x的解集是　　．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答要写出证明过程或解题步骤.17．已知复数z1满足z1•i＝1+i（i为虚数单位），复数z2＝m+2i（m∈R）．（1）求z1；（2）若z1•z2是纯虚数，求m的值．18．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5．（1）求a5的值；（2）求a0+a2+a4的值．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．20．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的几组对照数据：x（年）3456y（万元）2.5344.5（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？参考公式：＝＝，＝﹣．21．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID﹣

39病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关．（1）求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元．本着节约成本的原则，选择哪种实验方案．22．已知函数f（x）＝（x+m）ex．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝i（1+i），则|z|＝（　　）A．B．C．1D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，∴|z|＝．故选：D．2．若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（　　）把握认为两个变量有关系．P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．95%B．97.5%C．99%D．99.9%【分析】通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，发现4.013＞3.841，得到结论．解：∵一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，4.013＞3.841，∴有95%的把握说这两个变量有关系，答案为：95%故选：A．3．以下求导正确的是（　　）A．（cosx）'＝sinxB．C．D．【分析】利用常见函数的求导公式以及导数的四则运算对选项逐一判断，即可得到答案．解：（cosx）'＝﹣sinx，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误．

5故选：C．4．曲线y＝x3﹣2x2在点（1，﹣1）处的切线方程为（　　）A．y＝x﹣2B．y＝﹣3x+2C．y＝2x﹣3D．y＝﹣x【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点（1，﹣1）处的导数，然后直接利用直线方程的点斜式得答案．解：由y＝x3﹣2x2，得y′＝3x2﹣4x，∴y′|x＝1＝﹣1，即曲线y＝x3﹣2x2在点（1，﹣1）处的切线的斜率为﹣1．∴曲线y＝x3﹣2x2在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣1×（x﹣1）．即y＝﹣x．故选：D．5．若＝6，则n的值为（　　）A．4B．5C．6D．7【分析】直接利用排列与组合数公式，进行化简计算即可．解：，∴，化简得n﹣2＝3，解得n＝5．故选：B．6．已知随机变量X服从正态分布，X～N（4，σ2），且P（X≤2）＝0.3，则P（X≤6）＝（　　）A．0.3B．0.4C．0.85D．0.7【分析】根据正态分布的概率特征，求出正态曲线的对称轴，利用对称性即可求解．解：】由随机变量X服从正态分布N（4，o2），∴正态曲线的对称轴是x＝4，∴P（X≤2）＝P（X≥6）＝0.3，∴P（X≤6）＝1﹣P（X≥6）＝0.7．故选：D．7．疫情期间，潮州某医院安排4名医生到湖北3个不同的医院支援，每名医生只去一个医院，每个医院至少安排一名医生，则不同的安排方法共有（　　）A．18种B．36种C．6种D．72种

6【分析】根据题意，分2步进行分析：①先在4人中选出2人，安排到其中一家医院，②将剩下2人安排到其他医院，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①先在4人中选出2人，安排到其中一家医院，有C＝18种安排方法，②将剩下2人安排到其他医院，有A＝2种情况，则有18×2＝36种不同的安排方法；故选：B．8．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】设事件A为“前两次抽取为正品”，事件B为“第三次抽到次品”，AB包含的基本事件个数为n＝，A包含的基本事件个数m＝，由此能求出在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率．解：设事件A为“前两次抽取为正品”，事件B为“第三次抽到次品”，则AB包含的基本事件个数为n＝，A包含的基本事件个数m＝，∴在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为：P（B|A）＝＝＝．故选：A．9．函数f（x）＝x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式求解即可．解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为：{x|x＞0}．函数f（x）＝x2﹣lnx的导函数为：f′（x）＝x﹣，令x﹣＜0并且x＞0，解得0＜x＜1．函数f（x）＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1）．

7故选：D．10．函数f（x）＝的图象大致为（　　）A．B．C．D．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．解：函数f（x）＝的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）＝，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）＝＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．11．若函数y＝x3+x2+m在[﹣2，1]上的最大值为，则m等于（　　）A．0B．1C．2D．

8【分析】先求出函数f（x）的单调性，比较极大值和端点值得到最大值，由最大值为建立关于m的方程，解方程可得答案．解：令，则f′（x）＝3x2+3x＝3x（x+1），当﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣2，﹣1）和（0，1）上单调递增；当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以，解得m＝2．故选：C．12．若函数f（x）＝的图象上恰好存在两个点关于y轴对称，则实数k的取值范围是（　　）A．（1，1+]B．{1}∪（1+，+∞）C．{1}D．（1，+∞）【分析】由题意可得，y＝xlnx与y＝kx﹣1在（0，e]上恰有一个交点，即xlnx＝kx﹣1在（0，e]上恰有2个解，分离参数后构造函数，结合导数及函数的性质可求．解：由题意可得，y＝xlnx与y＝kx﹣1在（0，e]上恰有一个交点，即xlnx＝kx﹣1在（0，e]上恰有2个解，所以k＝lnx+在（0，e]上恰有2个解，令g（x）＝lnx+，x∈（0，e]，则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，当1＜x≤e时，g′（x）＞0，函数单调递增，因为g（1）＝1，g（e）＝1+，x→0，g（x）→+∞，故1＜k≤1+．故选：A．

9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数z＝（其中i是虚数单位）在复平面内对应的点在第　三　象限．【分析】利用复数的四则运算化简复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：∵z＝＝＝﹣﹣i，∴复数对应的点（﹣，﹣）在第三象限．故答案为：三．14．在的展开式中，常数项为　40　．（用数字作答）．【分析】在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求出展开式的常数项．解：由于展开式的通项公式为Tr+1＝•2r•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，解得r＝2，故展开式的常数项是40，故答案为40．15．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植一种花卉，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有　260　种．（用数字作答）【分析】根据题意，依次分析4个部分的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，对于区域1，有5种不同的花卉供选择，有5种选法，对于区域2，与区域1相邻，有4种选法，

10对于区域3和4，若3与1的选择相同，4有4种选法，若3与1的选择不同，3有3种选法，4有3种选法，此时有3×3＝9种选法，则区域3和4有4+9＝13种选法，故有5×4×13＝260种选法；故答案为：260．16．已知可导函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足xf'（x）﹣2f（x）＜0，且f（2）＝4，则不等式f（2x）＞4x的解集是　{x|x＜1}　．【分析】令g（x）＝（x＞0），由题意可得g′（x）＝＜0⇒g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，又g（2）＝＝1，不等式f（2x）＞4x⇔g（2x）＞g（1）⇒2x＜1，从而可得答案．解：令g（x）＝（x＞0），∵xf'（x）﹣2f（x）＜0，∴g′（x）＝＝＜0，∴g（x）在区间（0，+∞）上单调递减①，又f（2）＝4，∴g（2）＝＝1，不等式f（2x）＞4x⇔＞1，即g（2x）＞g（2），由①得：2x＜2，解得x＜1，∴不等式f（2x）＞4x的解集是{x|x＜1}，故答案为：{x|x＜1}．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答要写出证明过程或解题步骤.17．已知复数z1满足z1•i＝1+i（i为虚数单位），复数z2＝m+2i（m∈R）．（1）求z1；（2）若z1•z2是纯虚数，求m的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可，（2）先求出z1•z2，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案．

11解：（1）∵z1•i＝1+i，∴z1＝＝＝1﹣i，（2）z1•z2＝（1﹣i）（m+2i）＝（m+2）+（2﹣m）i，∵z1•z2是纯虚数，∴，∴m＝﹣2．18．已知（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5．（1）求a5的值；（2）求a0+a2+a4的值．【分析】（1）根据展开式的性质即可求解；（2）分别令x＝1，x＝﹣1，进而可以求解．解：（1）由已知可得x5的系数为C＝﹣32，所以a5＝﹣32；（2）令x＝1可得：（1﹣2）5＝a0+a1+.....+a5＝﹣1....①令x＝﹣1可得：（1+2）5＝a0﹣a1+....﹣a5....②，①+②可得a0+a2+a4＝．19．已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．【分析】（1）先求导，再又f（x）在x＝1处有极值，可得，解得即可，（2）根据导数和函数的单调性的关系即可求出．解：（1）∵f′（x）＝2ax+．又f（x）在x＝1处有极值，∴即解得a＝，b＝﹣1．（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣lnx，其定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣＝．由f′（x）＜0，得0＜x＜1；由f′（x）＞0，得x＞1．∴函数y＝f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．20．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的几组对照数据：x（年）3456

12y（万元）2.5344.5（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？参考公式：＝＝，＝﹣．【分析】（1）计算平均数、，求出回归系数，写出回归方程；（2）利用回归方程求出x＝10时的值即可．解：（1）计算xiyi＝3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5，，…＝×（3+4+5+6）＝4.5，＝×（2.5+3+4+4.5）＝3.5；…回归系数；；故所求的回归方程为；…（2）当x＝10时，利用y关于x的线性回归方程计算＝0.7×10+0.35＝7.35，…预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低9﹣7.35＝1.65（万元），答：求出y关于x的线性回归方程＝0.7x+0.35，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低1.65万元．…21．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID﹣

139病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关．（1）求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元．本着节约成本的原则，选择哪种实验方案．【分析】（1）随机变量k服从二项分布B（3，），写出k的分布列即可．（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，求出概率然后求解期望．②随机变量Y可能的取值为300，600，900，设事件A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，求出概率与期望，推出E（X）＞E（Y），选择方案二．解：（1）由题意可知，随机变量k服从二项分布B（3，），故P（k）＝，（k＝0，1，2，3）．则k的分布列为：k0123P（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为P（ξ＝200）＝，P（ξ＝300）＝，所以E（ξ）＝200×+300×＝275．所以三个接种周期的平均花费为E（X）＝3E（ξ）＝3×275＝825．②随机变量Y可能的取值为300，600，900，设事件A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，P（A）＝＝．所以P（Y＝300）＝P（A）＝，P（Y＝600）＝[1﹣P（A）]P（A）＝，P（Y＝900）＝[1﹣P（A）][1﹣P（A）]×1＝，

14所以E（Y）＝300×+600×+900×＝525．因为E（X）＞E（Y）．所以选择方案二22．已知函数f（x）＝（x+m）ex．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；（2）当m＝0时，若对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，求实数n的取值范围．【分析】（1）求出导函数，令f'（x）≤0，得x≤﹣m﹣1，结合函数的单调减区间，求解即可．（2）法一：不等式化为对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，设，则．利用函数的单调性，转化求解函数的最值，转化求解实数n的取值范围．法二：对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，即eln（nx）ln（nx）≤2xe2x恒成立，推出f（x）＝xex在（0，+∞）上单调递增，说明对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令，利用函数的导数求解函数的最小值，然后推出实数n的取值范围．解：（1）因为f（x）＝（x+m）ex，所以f'（x）＝（x+m+1）ex（1分）令f'（x）≤0，得x≤﹣m﹣1，则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣m﹣1]因为f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，所以﹣m﹣1≥1，解得m≤﹣2，即m的取值范围是（﹣∞，﹣2]（2）法一：由nxln（nx）≤f（2x），得2xe2x≥nxln（nx）．因为x＞0，n＞0，所以对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．设，则．因为函数y＝e2x和在（0，+∞）上均为单调递增函数，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．当x→0时，h'（x）＜0；当x→+∞时，h'（x）＞0．故存在x0∈（0，+∞），使得，即当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故恒成立．

15又由，得，所以恒成立．因为和y＝﹣2lnx在（0，+∞）上单调递减，所以函数h（x0）在（0，+∞）上单调递减．因为，所以因为函数y＝4x和y＝e2x在（0，+∞））上单调递增，且4x＞0，e2x＞0．所以函数在上单调递增，所以0＜m≤2e，即实数n的取值范围是（0，2e]．法二：对任意的x∈（0，+∞），nxln（nx）≤f（2x）恒成立，即nxln（nx）≤2xe2x恒成立，亦即eln（nx）ln（nx）≤2xe2x恒成立因为f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x+1）ex，易知f（x）＝xex在（0，+∞）上单调递增，且在（﹣∞，0）上f（x）＜0，所以ln（nx）≤2x，即对任意的x∈（0，+∞）恒成立令，则．当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0．则g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，所以n≤2e，显然n＞0，故实数n的取值范围是（0，2e]．