基于四次样条的矩阵微分方程数值解

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1、目录中文摘要：2Abstract：21引言21.1几个重要名词的解释31.11函数矩阵31.12函数矩阵的微分31.13样条函数42常微分方程数值解法52.1Euler法：62.2法：82.3线性多步法：92.4外推法:133基于四次矩阵样条的微分方程求解算法144示例195总结28致谢28参考文献28第29页基于四次样条的矩阵微分方程数值解中文摘要：矩阵微分方程经常出现在许多物理模型和工程技术模型中。利用四次矩阵样条构造形如，的一阶矩阵线性微分方程初值问题的数值解。给出实现算法和数值解的近似误差

2、估计以及一些数值实例。并与利用三次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程的数值解的结果进行了比较，比较结果表明用四次矩阵样条所构造的数值解的逼近效果要比用三次矩阵样条所构造的数值解的逼近效果要好。关键词：一阶线性矩阵微分方程，三次样条，四次样条，近似解Abstract：Matrixdifferentialequationsappearfrequentlyinawidevarietyofmodelsinphysicsandengineering.Thispaperdealswiththeconstruct

3、ionofapproximatesolutionoffirst-ordermatrixlineardifferentialequationsgivingby,usingquarticcubicsplines.Anestimationoftheapproximationerror,analgorithmforitsimplementationandsomeillustrativeexamplesareincluded.Comparedwiththeresultsforthethesamefirst-

4、ordermatrixlineardifferentialequationsgivingby,usingcubicsplineandquarticspline,thequarticsplineisbetterthanthecubicspline.Keywords：First-ordermatrixlineardifferentialequations,Cubicspline,Quarticspline.，Approximation.第29页1引言矩阵微分方程经常出现在许多物理模型和工程技术模型中[

5、1-4]。除了许多数学模型中的问题经常写成矩阵的形式外，许多特殊的方法为了解决数量或向量问题也经常以矩阵形式出现。这方面的例子有许多，例如：用嵌入法求解具有边值条件的常微分方程的问题[5]；用打靶法求解具有边值条件的标量和向量分方程的问题[6]；用线性方法研究偏微分方程的数值积分问题[7]；用同伦方法求解非线性方程组的问题[8]。向量化方法即将一个矩阵方程化为几个孤立的标量方程或向量方程有许多缺点[9]；。首先，用向量化方法会使方程中的量失去物理意义；其次，计算的成本会增加很多；最后，向量化方法没

6、有利用一些符号语言能够处理矩阵表达式的优点。本文的组织结构如下：在第二部分中，将简要介绍常微分方程的一些常用解法，在第三部分中，我们给出了用四次矩阵样条来构造一阶矩阵微分方程近似解的方法，研究了该方法的逼近误差并编制了实现该方法的一个算法。最后在第四部分中给出了一些数值例子。在这篇论文里，我主要做了以下工作，在原有三次样条算法的基础上，利用四次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程的数值解，并给出实现算法和数值解的近似误差估计以及一些数值实例。做这份论文的意义在于通过数值实例表明用四次样条构造一阶矩阵线

7、性微分方程的数值解的逼近效果要比用三次矩阵样条所构造的数值解的逼近效果要好，或者说要得到相同的计算精度用四次样条比三次样条计算所需要的计算次数要少。1.1几个重要名词的解释1.11函数矩阵定义：如果矩阵A的每一个元素都是变量t的函数，则称A(t)=为函数矩阵。第29页1.12函数矩阵的微分定义：设函数矩阵A(t)所有元素(t)都在点或某区间内可微，则称矩阵A(t)在点或某区间内是可微的。若A(t)可微，则其导数如下=()性质：设函数矩阵A(t)，B(t)都可微(1)若k为常数，则(2)若A(t)，

8、B(t)是同型矩阵，则(3)若A(t)是阶矩阵，B(t)是矩阵，则=特别地，如果A(t)或B(t)是常数矩阵A或B，就有，，与数量函数微分法则不同的是，一般，即(4)是t的可微函数1.13样条函数所谓样条即是在船体、汽车或航天器的设计中，模线设计员使用的弹性均匀的、窄的木条(或刚质条)。模线员在绘制模线时，用压铁压在样条的一批点上，强迫样条通过一组离散的型值点。当样条取得合适的形状以后，再沿着样条画出所需要的曲线，这将是一条光滑的曲线。样条函数最初就是来源于这样的样条曲线。用严格的