基于b样条的常微分方程数值解法的研究

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1、中南大学硕士学位论文基于B样条的常微分方程数值解法的研究姓名：黄爱丽申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：韩旭里20081130摘要常微分方程历史悠久，应用广泛。在整个20世纪常微分方程的数值求解得到了巨大的发展。特别是随着计算机性能的快速提高以及一些著名的数学软件的不断深化发展，使得更多的新思想得以实现，更多的复杂方法涌现出来，常微分方程求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。本文主要是将B样条函数用到求解常微分方程的数值求解问题中来。首先用三次B样条用来求解常微分方程初值问题，给出隐式的递推求解公式，并进行了相应的误差分析和稳定性分析。结果表明该方

2、法的局部截断误差为0(hs)，整体截断误差为0(h4)，并且是稳定的。其次我们分别以准均匀B样条函数和Bernstein多项式为基函数来逼近常微分方程两点边值问题，通过求解相应的方程组得到常微分方程边值问题的数值解。并给出算例，用mathematica画出绝对误差的图形，通过实际的例子来比较常微分方程在两组不同的基函数下的误差情况。数值实验的结果表明随着Bernstein多项式次数的提高或者准均匀B样条函数分段的加密，逼近的效果越来越好、精度越来越高。关键词：Bernstein多项式；准均匀B样条；常微分方程；误差分析。ABSTRACTTheordinarydiffe

3、rentialequationshavealonghistory,andtheyarewidelyusedindifferentfields．Throughthewhole20‘hcentury,theresearchonnumericalsolutionsoftheordinarydifferentialequationsmadeenormousprogress．Particularly,withthefastdevelopmentofcomputertechnologyandsomefamousmathematicssoftwares，moreandmorenew

4、ideasandapproacheswhichsurpassclassicmethodscouldberealized．Atthesametime，thefieldofnumericalmethodsresearchhasbeenexpanded．Inthisdissertation，wemainlyusetheB—splinesfunctionsintheproblemofthenumericalsolutionsoftheordinarydifferentialequations．Firstwegotanumericalmethodforinitialvaluep

5、roblemofordinarydifferentialequationswithB-splines．Thenwegaveaninexplicitrecursionformulaoftheequations．Alsowemadeerroranalysisandstabilityanalysisofthisproblem．TheresultshowedthatitslocaltruncationerrorwasO(h5)buttheglobaltruncationerrorwasO(h4)．Alsoitwasstable．AfterthatweusetheB—splin

6、esfunctionsandtheBemsteinpolynomialsasbasisesrespectivelytoapproachthesolutionsoftheboundaryvalueproblemoftheperiodicoscillationordinarydifferentialequations．Wegotthenumericalsolutionsbysolvingsomesystemofequations．Intheendofthepaperwegavesomecorrespondingexamplesanddrewthepicturesofthe

7、absoluteerrorsbyusingaMathematieaⅡprogram．Thenwemadeerroranalysisoftheproblemthoughexamples．Wrediscussedthedifferentsituationsoftheerrorindifferentbasises．TheresultshowedthattheapproximationeffectwasgettingbetterandbetterbyincreasingthedegreesofBernsteinpolynomialsorbytheincrea