吉林省长春北师大附属学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学（文）试题（原卷版）

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北师大长春附属学校2021—2022学年度高三年级上学期期中考试数学（文）试卷考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设x，y满足约束条件则的最大值为（）A.1B.2C.3D.44.已知向量，且，则实数（）A.B.C.3D.5.以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A.B.C.D.6.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（）A.16.32B.15.32C.8.68D.7.687.设函数，则下列结论错误的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

1C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增8.在空间中，设m、n是两条直线，α、β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的（　　）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要9.在公比为2的等比数列中，，则的值是（）A.B.C.D.10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A.B.CD.11.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为A.B.C.D.12.关于函数，有如下列结论：①函数有极小值也有最小值；②函数有且只有两个不同的零点；③当时，恰有三个实根；④若时，，则的最小值为．其中正确结论的个数是（）A.B.C.D.第II卷非选择题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，且，则______．14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为_______．第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

215.将正整数排成如图所示的三角形数阵，则数阵中第行的第85个数是________．16.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）点为曲线上一动点，求点到直线l的最大距离．18.设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若的内角所对的边分别为，且，的面积为，，求的值．19.已知等比数列的前项和为，若，，且．（1）求数列的通项公式以及前项和；（2）设，记数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．20.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：数学成绩x145130120105100物理成绩y110901027870（1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程；（2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司

3的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计60参考数据：，，K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．P（>)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02466357.87910.82821.已知点A(0，－2)，椭圆E：(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.22.已知函数.（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司