百师联盟2023届高三一轮复习联考（五）全国卷（1月）数学（理）Word版含解析

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2023届高三一轮复习联考（五）全国卷理科数学试题考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则=（）A．［-1，1]B．（-2，1]C．［-1，3]D．（-2，3]2．已知，则的虚部是（）A．B．C．D．3．设等比数列的公比为q，则“q>1”是“是单调递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．双曲线，离心率为，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A．B．C．D．6．中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米，则其高约为（）（单位：厘米）A．8B．9C．10D．11

17．已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（）A．B．C．D．8．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A．中位数70B．众数75C．平均数68.5D．平均数709．函数的图象关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数y=g（x）图象重合，则关于y=g（x），下列说法正确的是（）A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称C．在单调递减D．最小正周期为10．已知过点（0，1）的直线与椭圆交于A、B两点，三角形OAB面积的最大值是（）A．B．C．D．111．设是函数的极值点，若满足不等式的实数有且只有一个，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．y=f（x）的定义域为，y=f（x+2）为偶函数，f（2）=1且f（x）=g（2x）-g（4-2x），则下列说法不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（1，0）对称B．y=f（x）的图象关于x=2对称C．4为y=f（x）的周期D．二、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为第一象限角，，则______．14．在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______．15．已知、为单位向量，当与夹角最大时，=______．16．如图C是圆台母线AB的中点，BD是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，点M是弧BD的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______．

2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2），数列是否存在最大项，若存在，求出最大项．18．（12分）2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过《中华人民共和国反电信网络诈骗法》．某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：性别成绩［60，70）［70，80）［80，90）［90，100]女生810166男生7152513若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”．（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；（2）根据上表数据，完成2×2列联表，能否有99%的把握认为“防电信诈骗意识强弱”有性别差异．男生女生合计防诈骗意识强防诈骗意识弱合计附：0.0500.0100.0053.8416.6357.87919．（12分）如图，四棱锥P-ABCD，M为棱PB上中点，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，．

3（1）证明：；（2）若，求AM与平面PCD所成角的正弦值．20．（12分）设抛物线的焦点为F，过F作斜率为l的直线交抛物线于AB两点，且AB=8，Q为抛物线上一点，过Q作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q之外的M、N两点．（1）求C的方程；（2）若Q坐标为，且，判断MN斜率是否为定值，若是，求出该值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数．（1）若恒成立，求a的取值范围；（2）当时，证明恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）曲线C与坐标轴交于A，B两点，求直线AB的极坐标方程；（2）若l与曲线C有公共点，求m的取值范围．23．［选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，．（1）当a=2时画出函数f（x）的图象，并求出其值域；（2）若恒成立，求a的取值范围．2023届高三一轮复习联考（五）全国卷理科数学参考答案及评分意见1．D【解析】易知，，．故选D．2．C【解析】由题可知，所以，虚部为．故选C．3．D【解析】若，当时，数列单调递增，当时，数列单调递减；若，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增．所以等比数列单调性由首项和公比共同决定．故选D．

44．D【解析】可知函数为奇函数，且当时，，故选D．5．B【解析】由题可知，，则渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1，可解得，所以，由得．所以双曲线方程为．故选B．6．B【解析】此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为，下底面面积为，设高为，由台体体积公式，得，解之得．故选B．7．B【解析】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公式可得：．故选B．8．D【解析】显然众数是75，的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，平均数，所以C正确．故选D．9．B【解析】关于对称，则，，解得，，又，故当时，，，将的图象向左平移个单位长度得到．令，则对称轴为，显然不满足，故A错误；令，则，所以对称中心为，显然时，，故B正确；令，整理得，所以单调递减区间为，显然，C不正确；最小正周期，故D不正确．故选B．

510．A【解析】显然直线斜率存在，设过的直线方程为：，联立方程组消去，并整理得，设，，则，,，，O到直线的距离为，，令，则．故选A．11．B【解析】满足的实数有且只有一个，即导函数在区间有且只有一个变号零点．，在上单调递减，在上单调递增．则解之得．故选B．12．D【解析】，则，可知函数关于对称，，把换成可得，两式相加可得，关于对称，关于轴对称，则可得，，可知4为的周期，所以可知ABC都正确．令，，，，，D不正确，故选D．

613．【解析】为第一象限角，则，，所以为第一或第三象限角，，，，或（舍）．14．60【解析】由题可知：，所以，展开式通项为，令，得4，常数项为．15．【解析】设与的夹角为，，令，，取最小值时，两向量夹角最大，所以，即时，两向量夹角最大．此时．方法二：利用数形结合．由图可知与夹角最大为，所以．16．【解析】沿母线展开如图所示，，．，由余弦定理可得：．

717．（1）（2）【解析】（1）①，当时，，当，，②①-②得：，即，，由知即，所以是首项为1公比为2的等比数列，得，所以数列的通项公式为：．（2），，，令得或，即，令得，即，当时，当时，又，，所以数列最大项为．18．（1）（2）没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关

8【解析】（1）100人中成绩不低于80的人数有60人，由频率估计概率的思想可知任选一人防骗意识强的概率．从学生中任选5人，其中防骗意识强的人数，所以恰有2人防骗意识强的概率．（2）列联表如下：男生女生合计防诈骗意识强382260防诈骗意识弱221840合计6040100，，所给出的调查数据中没有充分证据说明“防电信诈骗意识强弱”与性别有关．19．（1）证明过程见解析（2）【解析】连接与交于点，连接．（1）证明：因为底面为菱形，所以，且．因为，所以．又因为平面PBD，平面PBD，，所以平面，因为平面，所以．（2）由题可知，，所以，由（1）可知平面平面，以为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向，建立如图直角坐标系．

9则，，，，，，．，，设平面的法向量为，则令，则，所以与平面所成角的正弦值为．20．（1）（2）是定值，定值为【解析】（1）设，，由题可知点坐标为，直线的方程为，代入，得，由一元二次方程根与系数的关系，，得，所以抛物线方程为．（2）由（1）知点坐标为，设，．由，，

10两式相减得，．设直线的方程为，由消去整理得，①显然2，是方程①的两根得②，同理可得③，②③得，所以．所以的斜率为定值．21．（1）（2）证明过程见解析【解析】（1）当时，恒成立，单调递增，，且，使，所以时不符合题意；当a=0时，，显然成立；当时，解得，易知，单调递减；，单调递增．恒成立，则，解之得．综上可得．（2）由题可知，令，可看成关于的一次函数，且单调递增．当时，，所以若证原不等式成立，即证，

11因为，，由（1）知，把x换成易得，不妨设，，所以h（x）单调递增，x>0，h（x）>h（0）=0，所以，即原不等式得证．22．（1）（2）【解析】（1）令x=0，则，解得t=4，则y=2，即A（0，2），令y=0，则t=0，则x=-1，即B（-1，0），可知，所以直线AB的方程为y=2x+2，即2x-y+2=0．由，可得，直线AB的极坐标方程为．（2）因为，所以，所以直线转化为普通方程为：，联立与的方程，将，代入中，，要使与有公共点，则有解．令，，所以，所以，则的取值范围为．23．（1）图象见解析，函数值域为（2）【解析】（1）当时，作出图象如图所示，

12由图可知函数在单调递减，在单调递增，，所以函数值域为．（2）恒成立，即恒成立，因为，因为，所以或，所以a的取值范围为