《函数的极值》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第二章导数及其应用用导数研究函数的性质6.2函数的极值◆教学目标1．结合实例，借助函数图象直观理解函数的极值定义.2．能用导数判断函数的极值点，求出极值.◆教学重难点教学重点：利用导数求出函数的极值点．教学难点：x0为函数极值点与f'x0=0的逻辑关系．◆教学过程◆一、新课导入温故知新：同学们，上节课我们学习了导数与函数单调性的联系，一起回顾一下.答案：1.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x>0，则在这个区间内，函数y=fx单调递增；2.在某个区间内，若函数y=fx的导数f'x<0，则在这个区间内，函数y=fx单调递减.想一想：我们一开始在缓缓上升，到达坡顶之后，就开始极速下降；又或者在飞速俯冲下去之后，紧接着就是直冲云霄。其实无论是又上升变为下降还是由下降变为上升，中间都会有一个“转折点”，这个就是我们今天要研究的函数中导数为0的位置.

1设计意图：上节课学生知道了导数为正是增函数，导数为负是减函数，但是导数为0的情况又如何呢？借由过山车的例子提出这个问题，以生活实例激发学生的学习兴趣，让他们主动思考问题答案．二、新知探究问题1：观察下列两幅函数图像中点x0的位置，并阐述这个点附近有什么特殊之处？答案：图（1）中，包含x0的区间(a,b)内，函数y=fx在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=fx的极大值点，其函数值y=fx0为函数的极大值.图（2）中，包含x0的区间(a,b)内，函数y=fx在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y=fx的极小值点，其函数值y=fx0为函数的极小值.函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.问题2：关于函数的极值需要注意什么？答案：极值是函数的一种局部性质，它们之间并没有绝对的大小关系.如图，x1，x3，x5都是函数y=fx的极大值点，x2，x4都是函数y=fx的极小值点.极大值甚至可能比极小值小，如fx1

2由此不难得出结论：函数的极大值点附近的导数值是“左正右负”，极小值点是“左负右正”设计意图：逐步深入地解析函数的极值，先从它的基本定义出发，结合函数图象理解会更加简单，然后一些需要注意的点要给学生强调，最后还要结合上节课所学的导数与函数单调性的联系，去探究极值点附近的导数有什么特点.三、应用举例例1：求函数fx=2x3-3x2-36x+16的极值点解：f'x=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)令f'x=0，解得x1=-2，x2=3当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时，f'x>0，函数fx单调递增；当x∈(-2,3)时，f'x<0，函数fx单调递减.判断极值点的过程可以通过下表直观地反应出来因此x1=-2是函数的极大值点，x2=3是函数的极小值点通过这道例题，我们可以小结出求函数极值点的三个步骤：1.求出导数f'x2.解方程f'x=03.对于方程f'x=0的每一个实数根x0，分析在x0附近的符号，确定极值点：（1）“左正右负”为极大值点；（2）“左负右正”为极小值点；（3）符号相同，则不是极值点.需要注意的是，“f'x0=0”是“x0是函数fx的极值点”的必要不充分条件.四、课堂练习

31.求函数fx=3x3-3x+1的极值，并画出函数的大致图象；2.已知函数fx=ax2-(a+2)x+lnx，若x=1是函数的极值点，求a的值；3.求函数fx=2xex的极小值参考答案：1.解：f'x=9x2-3解方程f'x=0得x1=-33，x2=33根据f'x列出下表根据图表易知，x1=-33为函数fx的极大值点，极大值为f-33=1+233x2=33为函数fx的极小值点，极小值为f33=1-233函数fx的大致图象如下2.解：f'x=2ax-(a+2)+1x∵f'1=0∴2a-(a+2)+1=0a=13.解：f'x=2ex(1+x)当x=-1时，f'x=0；当x>-1时，f'x>0；当x<-1时，f'x<0故函数在x=-1处取得极小值f-1=-2e五、课堂小结1.若f'x0=0，且x0两边f'x0的符号不同，则称x0为函数的极值点.

42.求函数极值点的三个步骤：（1）求出导数f'x；（2）解方程f'x=0；（3）对于方程f'x=0的每一个实数根x0，分析在x0附近的符号，确定极值点.六、布置作业教材P78练习第1题．