《函数的单调性》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第二章导数及其应用用导数研究函数的性质6.1函数的单调性1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2．能用导数判断函数的单调性，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.教学重点：利用导数判定函数的单调性，求函数的单调区间．教学难点：利用导数判定函数的单调性．一、新课导入温故知新：同学们，我们之前简单学习了函数的单调性，一起回顾一下.答案：在函数d(的定义域上任取区间若对于任意，且，都有d(d(，则函数d(在区间上单调递增；若对于任意，且，都有d(香d(，则函数d(在区间上单调递减.想一想：现在我们学习了导数，它能否用来研究函数的单调性呢？下面我们一起探究.设计意图：我们开门见山地引出函数单调性的话题，是为了激活学生脑海中曾经学习过的这部分内容，从而为下面的核心内容做铺垫，那就是导数与函数的单调性的关联，激发学生的学习兴趣．二、新知探究问题1：计算下列一次函数的导数，并讨论它们的单调性.（1）（2）ݔ㈲⸷）3（ݔ答案：（1）（2）（3）⸷㈲函数的图像如下函数（1）（2）的导数是正的，在其定义域内单调递增；函数（3）的导数是负的，在其定义域内单调递减.

1问题2：计算下列指数函数、对数函数的导数，并讨论它们的单调性.（1）（2）（3）log㈲（4）log答案：（1）d(（2）d(d(（3）d(㈲（4）d(函数图象如下对于函数（1）（3），对于定义域内的每一个都满足，函数在其定义域内是增函数；对于函数（2）（4），对于定义域内的每一个都满足香，函数在其定义域内是减函数.问题3：计算幂函数的导数，并讨论单调性.答案：d(当自变量dݔd间区在数函，，时(ݔ(内单调递增；当自变量d⸷(时，香，函数在区间d⸷(内单调递减.小结：导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：（1）在某个区间内，函数的导数，则在这个区间内，函数单调递增；（2）在某个区间内，函数的导数香，则在这个区间内，函数单调递减.设计意图：了解导数与函数的单调性之间的关系，主要使用归纳推理的方法，从各种不同的函数类型出发，通过探究它们的导数符号与函数单调性之间的关系，来归纳出一般规律，这样学生的理解成本会比较低，也较为容易接受.三、应用举例例1：讨论函数求㈲⸷㈲⸷㈲ݔ的单调性解：⸷⸷㈲dݔ(d⸷㈲(设，则ݔ⸷㈲，即香⸷或㈲

2故当d⸷⸷(或d㈲ݔ(时，，因此，在这两个区间内，函数均单调递增；当d⸷㈲(时，香，因此，在这个区间内，函数单调递减.例2：讨论函数求ݔ的单调性解：⸷⸷设，则⸷，即香⸷或当d⸷⸷(或dݔ(时，，因此，在这两个区间内，函数均单调递增；当d⸷(或d(时，香，因此，在这两个区间内，函数均单调递减.四、课堂练习1.讨论下列函数的单调性：（1）⸷ݔ（2）㈲⸷㈲2.讨论函数⸷sin在区间dπ(内的单调性.3.写出函数㈲⸷㈲ݔ的单调区间.4.讨论函数ܽ⸷的单调性.参考答案：1.解：（1）⸷当时，故当dݔ(时，，函数单调递增；当d⸷(时，香，函数单调递减.（2）㈲⸷㈲当时，⸷香香故当d⸷(时，，函数单调递增；当d⸷⸷(或dݔ(时，香，函数单调递减.2.解：⸷cos因为cos≤，所以⸷cos故在区间dπ(内，,函数单调递增；3.解：㈲⸷当时，香或故当d⸷(或dݔ(时，，函数单调递增；当d(时，香，函数单调递减.4.解：ܽ⸷ܽ⸷d(当ܽ≤时，香在dݔ(上恒成立;

3当ܽ时，令得，令香得香香ܽܽ综上，当ܽ≤时，在dݔ(上单调递减;当ܽ时，在d(上单调递减，在dݔ(上单调递增ܽܽ五、课堂小结1.在某个区间内，若函数的导数，则在这个区间内，函数单调递增；2.在某个区间内，若函数的导数香，则在这个区间内，函数单调递减.3.若在某个区间内，，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数单调递增；若在某个区间内，≤，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数单调递减.六、布置作业教材P80A组第1、2、4题．