《数列在日常经济生活中的应用(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第一章数列1.4.2数列在日常经济生活中的应用◆教学目标1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用；能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题．2.在分析和解决具体问题的过程中，感受等差数列和等比数列这两个数学模型的重要性，提升用数学解决实际问题的能力．◆教学重难点◆　重点：厘清三种经济活动中的数学内涵．难点：建立分期付款的数学模型．◆教学过程一、新课导入情境：王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？提示：等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的．等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金额的减少而减少．不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大．二、新知探究分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．三、应用举例例1分期付款模型小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%，每月利息按复利计算，求小华每期应付的金额是多少？(精确到0.01元)

1解假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A2=5000×1+0.0062-x；A4=A21+0.0062-x=5000×1.0064-1.0062x-x；A6=A41+0.0062-x=5000×1.0066-1.0064x-1.0062x-x；⋯A12=5000×1.00612-1.00610+1.0068+1.0066+1.0064+1.0062+1x；由题意年底还清，则A12=0．解得x=5000×1.006121+1.0062+1.0064+1.0066+1.0068+1.00610≈868.79(元)．因此，小华每期应付的金额为868.79元．总结：（1）做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn，.（2）等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题.环境资源利用中的数列应用进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题．在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用所学到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用．在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都有着不同程度的应用．例2：资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达7.4×108t，每吨占地1m2．环保部门每回收或处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃圾．如果某环保部门2002年共回收处理了104t废旧物资，且以后每年的回收量递增20％．

2(1)2018年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）(2)从2002年到2018年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）分析:（1）由题意可得104×1+20%16，再化简求值即可；（2）从2002年到2018年底的回收废旧物资累加后可求解．解：(1)依题意可知，2003年共回收废旧物资104×1+20%吨；2004年共回收废旧物资104×1+20%2吨；2005年共回收废旧物资104×1+20%3吨；2018年共回收废旧物资104×1+20%16≈1.8×105吨．(2)从2002年到2018年底共回收废旧物资：104×1+1.2+1.22+⋯+1.216=104×1×1-1.2171-1.2≈1.1×106吨．由于每吨占地1m2，故可节约土地1.1×1061=1.1×106平方米．四、课堂练习1．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（       ）A．B．C．D．2．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%．从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%（可参考数据lg2=0.3）?参考答案：1．解析：由已知条件和分期付款公式，可得

3，∴．故选：C．2.解析：设地区总面积为1，则2019年年底绿化面积a1=0.4，沙漠面积0.6，设an表示第n年年底的绿洲面积，则，即，也即（），所以数列an-35是首项为a1-35=-15，公比为45的等比数列．，由得，两边取以10为底的对数得，，所以至少要经过5-1=4年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%．五、课堂小结分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．

4等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的．等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金额的减少而减少．不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大．六、布置作业教材第36页习题第1，2题．