高考 三角函数、三角恒等变形、解三角 详解.ppt

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第三章　三角函数、三角恒等变形、解三角形 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升 最新考纲1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 J基础知识自主学习 1．角的概念(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。 2．弧度的定义和公式(1)定义在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为_______的角。它的单位符号是rad，读作__________。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制。(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝________弧度；180°＝____弧度；②弧长公式：l＝______；③扇形面积公式：S扇形＝__________和____________。1弧度弧度2ππ|α|r 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，ν)，则sinα＝____，cosα＝____，tanα＝_______(u≠0)。(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的___________，_________和______________。共有四种情况如下：νu正弦线余弦线正切线 [判一判](1)小于90°的角是锐角。()解析错误。如－60°。(2)第一象限角必是锐角，反之亦然。()解析错误。如370°是第一象限角，但它不是锐角。(3)不相等的角，终边一定不相同。()解析错误。如45°与405°的终边相同。事实上，只要角度相差360°的整数倍，其终边一定相同。(4)三角形的内角为第一或第二象限角。()解析错误。90°角的终边在y轴的非负半轴上。×××× (5)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同。()解析正确。(6)若P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第二象限。()√√ 5．若tanα>0，则()A．sinα>0B．cosα>0C．sin2α>0D．cos2α>0 R热点命题深度剖析 考点一象限角及终边相同的角 【规律方法】象限角和终边相同的角的判断及表示方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断。(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角。 变式训练1(1)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内所有与角α有相同的终边的角β为_________________。－675°，－315° 【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l。(1)若α＝60°，R＝10cm。求扇形的弧长l。考点二弧度制及其应用 (2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 变式训练2(1)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________。2 (2)已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，求弧长l。 考点三三角函数的定义 角度二：对三角函数值的符号和角的位置的判断4．若三角形的两个内角α，β满足sinαcosβ<0，则该三角形的形状为___________________。解析∵sinαcosβ<0，且α，β是三角形的两个内角。∴sinα>0，cosβ<0，∴β为钝角。故三角形为钝角三角形。钝角三角形 5．(2015·江西六校3月联考)点A(sin2016°，cos2016°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析因为sin2016°＝sin(11×180°＋36°)＝－sin36°<0，cos2016°＝cos(11×180°＋36°)＝－cos36°<0，所以点A(sin2016°，cos2016°)位于第三象限，故选C。答案C 【规律方法】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r。若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论。任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关。(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式。 S思想方法感悟提升 ⊙2个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值。(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧。⊙4个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题。(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角。(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用。(3)要熟记0°～360°间特殊角的弧度表示。(4)要注意三角函数线是有向线段。