安徽省池州市铜陵市等5地2022-2023学年高三上学期11月质量检测数学Word版含解析

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2022-2023学年安徽省九师联盟高三11月质量检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数满足䁕㌳䁩1䁕㌳，则在复平面内对应的点位于()1香䁕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合㌳ሼ䁩ሼ香1㌳䁩2ሼ㌳൏，㌳ሼሼ1，则䁩㌳㌳()A.121B.12C.112D.12㠳香13.若㈠㠳㌳2cos䁩2ሼ㌳ሼ൏，㈠൏，则是的32㠳2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为3，则该圆锥的表面积为()A.2B.2൏3C.12D.15.用一个平面截正方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是()A.锐角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形.若函数㌳sin䁩ሼ香㌳䁩൏㌳的图象与直线㌳1的两相邻公共点的距离为，要得到㌳3sin䁩ሼ香㌳的图象，只需将函数㌳cosሼ的图象向左平移3511A.个单位长度B.个单位长度C.个单位长度D.个单位长度12121212.如图，在正三棱柱䁜11䁜1中，1㌳3，㌳2，则异面直线1与1䁜所成角的余弦值为()512A.B.C.D.13131313.已知函数䁩ሼ㌳是定义域为的偶函数，䁩ሼ香1㌳为奇函数，当ሼ൏1时，䁩ሼ㌳㌳2ሼ香，若䁩൏㌳香䁩3㌳㌳，则䁩log2㌳㌳()A.2B.൏C.3D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知൏，൏，则

1A.B.C.D.10.已知数列的前项和为，则()A.若㌳22，则是等差数列B.若㌳2香11，则是等比数列C.若是等差数列，则2൏23㌳2൏231൏12是等比数列，且൏，൏，则2D.若1212香1211.已知函数䁩ሼ㌳，䁩ሼ㌳是其导函数，ሼ䁩൏㌳，䁩ሼ㌳cosሼ香䁩ሼ㌳sinሼ㌳lnሼ恒成立，则()25A.䁩㌳香3䁩㌳cos13䁩1㌳B.䁩31㌳䁩㌳2䁩㌳3312C.2䁩㌳3䁩㌳D.2䁩㌳䁩3香1㌳䁩㌳412412.如图，正四棱锥䁜正的底面边长与侧棱长均为，正三棱锥正的棱长均为，则A.䁜2B.正四棱锥䁜正的内切球半径为䁩1㌳2C.，，，四点共面D.平面正ܦܦ平面䁜三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量㌳䁩31㌳，㌳䁩䁪2㌳，且䁩香2㌳，则香㌳．1414.已知൏，若3是与3的等比中项，则香的最小值为．15.已知函数䁩ሼ㌳㌳ln䁩ሼ香1㌳䁩ሼ൏㌳，将䁩ሼ㌳的图象绕原点逆时针旋转䁩䁩൏㌳角后得到曲线䁜，若曲线䁜仍是某个函数的图象，则的最大值为．116.如图，在几何体䁜正中，四边形䁜正为正方形，ܦܦ平面䁜正，㌳㌳2，㌳2正㌳㌳䁜㌳23，则该几何体的外接球的表面积为．

2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.䁩本小题1൏.൏分㌳在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，1㌳1，3，22，4成等差数列．䁩1㌳求的通项公式香231䁩2㌳若㌳log2䁩香1㌳，数列的前项和为，证明：2．香1香218.䁩本小题12.൏分㌳产品宣传在企业的生产销售中占据着比较重要的地位，好的宣传对产品打开市场，提高销售额有着重要的作用.某生产企业通过市场调研发现，年销售量䁩万件㌳与宣传费用ሼ䁩万元㌳的关系为㌳42䁩൏ሼ2㌳.已知生产该产品万件除宣传费用外还要投入䁩11香2㌳万元，产品的销售单价定为ሼ香12൏䁩4香㌳元，假设生产的产品能全部售出．䁩1㌳求产品的年利润䁩ሼ㌳的解析式䁩2㌳当宣传费用为多少万元时，生产该产品获得的年利润最大19.䁩本小题12.൏分㌳在䁜中，角，，䁜的对边分别为，，，2香2䁩14cos2㌳㌳，且㌳2cosB.䁩1㌳求䁩2㌳若䁜的周长为4香23，求䁜边上中线的长．20.䁩本小题12.൏分㌳如图，，分别为正方形䁜正的边，正的中点，䁜平面䁜正，平面䁜正，䁜与交于点，㌳4，㌳2，䁜㌳32．䁩1㌳证明：平面䁜䁩2㌳求点到平面的距离䁩3㌳求二面角的大小．21.䁩本小题12.൏分㌳

311如图所示的几何体是由等高的个圆柱和半个圆柱组合而成，点为正的中点，正为圆柱上底面的圆44心，正为半个圆柱上底面的直径，，分别为正，的中点，点，正，，四点共面，，为母线．䁩1㌳证明：ܦܦ平面正15䁩2㌳若平面正与平面䁜所成的较小的二面角的余弦值为，求直线与平面䁜所成角的正5弦值．22.䁩本小题12.൏分㌳已知函数䁩ሼ㌳㌳2ሼlnሼ䁩㌳．䁩1㌳讨论函数䁩ሼ㌳的单调性䁩2㌳设䁩ሼ㌳㌳䁩ሼ㌳sinሼ，若ሼ1，ሼ2䁩൏香㌳且ሼ1ሼ2，使得䁩ሼ1㌳㌳䁩ሼ2㌳，证明：ሼ1ሼ22．

4答案和解析1.【答案】正【解析】【分析】本题考查复数的四则运算、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．【解答】解：因为䁕㌳䁩1䁕㌳，1香䁕所以䁕䁩1香䁕㌳㌳䁩1䁕㌳䁩1香䁕㌳，即䁕香1㌳2，所以㌳1䁕，故在复平面内对应的点为䁩11㌳，位于第四象限．2.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查了集合的基本运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题．【解答】解：由䁩ሼ香1㌳䁩2ሼ㌳൏，得ሼ1或ሼ2，所以㌳12，由ሼ1，得ሼ1或ሼ1，所以㌳ሼሼ1或ሼ1，从而䁩㌳㌳112．3.【答案】【解析】【分析】本题考查条件关系的判断，余弦型函数的值域，分式不等式的求解，属于中等题．【解答】2㠳香1解：由ሼ൏，得2ሼ，所以12，即1㠳2由൏，得1㠳2，因2333㠳2为12㌳1，2，故是的必要不充分条件．4.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，表面积计算，属于基础题．【解答】

5解：设圆锥底面半径为，母线长为，则2㌳，所以㌳2，所以圆锥的高为22㌳3，12所以3㌳3，解得㌳3，3故其表面积㌳2香㌳香1㌳2．5.【答案】正【解析】【分析】本题主要考查正方体的结构特征，截面的形状，属于基础题．【解答】解：易知过不相邻的三个顶点的截面是等边三角形，故A，，䁜都是可能的．故选D．6.【答案】正【解析】【分析】本题考查正弦型函数的周期、图象变换，属于中档题．【解答】2解：由题意，得㌳，解得㌳2，所以㌳cos2ሼ㌳sin䁩2ሼ香㌳，其图象向左平移㠳䁩㠳൏㌳个单位长度，2可得㌳sin䁩2ሼ香2㠳香㌳的图象，即为㌳sin䁩2ሼ香㌳的图象，所以2㠳香㌳香2䁩㌳，解得㠳㌳23231112香䁩㌳，又㠳൏，则㠳min㌳12.故选D．7.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，属于基础题．【解答】解：取1䁜1的中点正，连接䁜1交1䁜于点，连接正，1则正ܦܦ1，且正㌳1，2则正1为异面直线1与1䁜所成的角或其补角．13易求1㌳1䁜㌳13，1正㌳3，则正㌳1㌳2，

61313正2香121正24香43所以cos正1㌳㌳㌳．2正12131313228.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查函数奇偶性及周期性的综合应用，考查了函数值的求解，属中档题．【解答】解：因为䁩ሼ香1㌳为奇函数，所以䁩ሼ香1㌳㌳䁩ሼ香1㌳，又䁩ሼ㌳为偶函数，所以䁩ሼ香1㌳㌳䁩ሼ1㌳，所以䁩ሼ1㌳㌳䁩ሼ香1㌳，即䁩ሼ㌳㌳䁩ሼ香2㌳，所以䁩ሼ香4㌳㌳䁩ሼ香2㌳㌳䁩ሼ㌳，故䁩ሼ㌳是以4为周期的周期函数．由䁩ሼ香1㌳㌳䁩ሼ香1㌳，易得䁩1㌳㌳൏，䁩3㌳㌳䁩1㌳㌳䁩1㌳㌳൏，所以䁩൏㌳㌳，所以香㌳，2香㌳൏，解得㌳，㌳12，3log3所以䁩log㌳㌳䁩5香log3㌳㌳䁩1香log3㌳㌳䁩log31㌳㌳䁩log㌳㌳䁩222香12㌳㌳2222223．9.【答案】䁜【解析】【分析】本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．【解答】1111解：因为൏，所以൏，所以൏，所以൏，又൏，所以，所以，故A错误，B正确因为൏，൏，所以，所以.故D错误，C正确.故选BC．10.【答案】䁜【解析】

7【分析】本题考查数列的性质的应用，属于中档题．直接利用数列的定义和性质求出结果．【解答】解：对于，若㌳22，则1㌳1，当2时㌳1㌳43，显然㌳1时也满足㌳43，故㌳43，故为等差数列，故A正确对于，若㌳2香11，则1㌳3，2㌳21㌳4，3㌳32㌳，23显然，所以不是等比数列，故B错误122൏23䁩1香2൏23㌳对于䁜，因为为等差数列，则2൏23㌳2㌳2൏231൏12，故C正确对于正，，故D错误．故选AC．11.【答案】正【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，涉及函数的构造，利用导数判断函数的单调性，属于较难题．【解答】䁩ሼ㌳䁩ሼ㌳cosሼ香䁩ሼ㌳sinሼlnሼ解：设䁩ሼ㌳㌳䁩൏ሼ㌳，则䁩ሼ㌳㌳㌳，thሼ2cos2ሼcos2ሼ当൏ሼ1时，䁩ሼ㌳൏；当1ሼ时，䁩ሼ㌳൏，2所以䁩ሼ㌳在䁩൏1㌳上单调递减，在䁩1㌳上单调递增，2所以䁩㌳䁩1㌳，䁩㌳䁩1㌳，3所以䁩㌳香䁩㌳2䁩1㌳，即2䁩㌳2䁩1㌳；33香2䁩3㌳cos1所以䁩㌳香3䁩㌳cos13䁩1㌳，故A正确；355因为1，所以䁩㌳䁩㌳，3122312525又cos㌳cos䁩香㌳㌳，所以䁩31㌳䁩㌳2䁩㌳，故B正确；1244312因为൏1，所以䁩㌳䁩㌳，，䁩㌳䁩㌳，1244124即䁩㌳cos䁩㌳cos，䁩㌳cos䁩㌳cos，441244122香因为cos㌳，所以2䁩㌳3䁩㌳，2䁩㌳䁩3香1㌳䁩㌳，故C错误，D正确．124412412.【答案】䁜正

8【解析】【分析】本题考查空间组合体的线线、面面的位置关系，球的切接问题，属于综合题．【解答】解：对于，取正的中点，连接，，则正，正，又，平面，㌳，所以正平面，因为平面，所以正，又正ܦܦ䁜，所以䁜，故A正确对于，设内切球半径为，易求得四棱锥䁜正的一个侧面的面积为㌳1232，所以12sin㌳2343212132䁩2㌳，故B错误；㌳香4，解得㌳23344对于䁜，取的中点，连接正，，，正，易知，正，，所以正，正3分别是二面角正，二面角正的平面角，易求得正㌳㌳㌳，所以cos正㌳2正2香2正21正2香2正21㌳，cos正㌳㌳，2正32正3又正，正൏，所以正与正互补，所以，，，共面，故C正确因为，，，共面，又㌳㌳㌳，所以四边形为平行四边形，所以ܦܦ，平面䁜，㔴平面䁜，所以ܦܦ平面䁜，同理正ܦܦ平面䁜，又正，平面正，正㌳，所以平面正ܦܦ平面䁜，故D正确．513.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的四则运算与数量积，考查模长的求法，属于基础题．【解答】解：香2㌳䁩31㌳香2䁩䁪2㌳㌳䁩2䁪35㌳，由䁩香2㌳，得䁩香2㌳㌳䁩31㌳䁩2䁪35㌳㌳䁪香香5㌳൏，解得䁪㌳．32则香㌳䁩31㌳香䁩2㌳㌳䁩3㌳，3325故香㌳䁩㌳2香32㌳．3314.【答案】3香22【解析】

9【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，指数幂的运算以及等比中项的概念，属于基础题．【解答】141212解：由题意得32㌳3，即㌳香，所以香㌳1，又൏，所以൏，൏，122所以香㌳䁩香㌳䁩香㌳㌳3香香3香22，2当且仅当㌳，即㌳2香1，㌳2香2时等号成立．故香的最小值为3香22．15.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用导数求曲线上一点的切线方程，判断图象是否为函数，属于中档题．【解答】1解：䁩ሼ㌳㌳，所以䁩൏㌳㌳1，故函数䁩ሼ㌳的图象在䁩൏䁩൏㌳㌳处的切线为㌳ሼ，其向上部分与轴正ሼ香1向的夹角为，函数䁩ሼ㌳的图象绕原点旋转不超过时，仍为某函数图象，若超过，轴与图象有两个公共444点，与函数定义不符，故的最大值为．416.【答案】32【解析】【分析】本题考查了几何体的外接球问题，属于中档题．【解答】解：取正，䁜中点，，正方形䁜正中心，中点2，连接，，，2，如图，依题意，2平面䁜正，ܦܦܦܦ，点是的中点，㌳㌳4，

10等腰正中，正，㌳22㌳22，同理㌳22，所以等腰梯形的高2㌳2䁩㌳2㌳，2由几何体的结构特征知，几何体的外接球的球心1在直线2上，连接1，1，，正方形䁜正的外接圆半径㌳22，2㌳2香2111则有222而1㌳1，2㌳2㌳1，1㌳2香21当点1在线段2的延长线䁩含点㌳时，视1为非负数，若点1在线段2䁩不含点㌳上，视1为负数，即有21㌳2香1㌳香1，即䁩22㌳2香2㌳1香䁩香㌳2，解得㌳൏，111所以该几何体的外接球的球心为，半径为㌳22，所以该几何体的外接球的表面积㌳4䁩22㌳2㌳32．17.【答案】䁩1㌳解：设数列的公比为，由题意知42㌳3香4，1㌳1，即41香2㌳41香㌳2香3㌳21香因为，൏，所以൏，所以㌳2，所以㌳21．12䁩2㌳证明：由䁩1㌳得㌳㌳21，所以㌳log22㌳，12香2香211所以㌳䁩香1㌳2香1㌳2䁩香1㌳2香1，香1香2111111所以㌳121222香222323香香2䁩香1㌳2香111㌳2䁩香1㌳2香1．3显然单调递增，所以1㌳，1131因为䁩香1㌳2香1൏，所以2，所以2．【解析】本题考查了等比数列的通项公式以及前项和公式，以及裂项相消法求和和数列的单调性的于应用，属于中档题．2൏18.【答案】解：䁩1㌳䁩ሼ㌳㌳䁩4香㌳ሼ䁩11香2㌳2㌳2香ሼ㌳2䁩4㌳香ሼሼ香14㌳1ሼ䁩൏ሼ2㌳．ሼ香14䁩2㌳由䁩1㌳知䁩ሼ㌳㌳1ሼ，ሼ香1

1144所以䁩ሼ㌳㌳1䁩ሼ香1㌳香12䁩ሼ香1㌳㌳14，ሼ香1ሼ香14当且仅当ሼ香1㌳，即ሼ㌳1时等号成立．ሼ香1所以当宣传费用为1万元时，生产该产品获得的年利润最大．【解析】本题考查函数模型的实际应用，属于基础题．19.【答案】解：䁩1㌳因为2香242cos2㌳又㌳2cos，所以2香22㌳，2香221由余弦定理，得cos䁜㌳㌳㌳．2222又䁜䁩൏㌳，所以䁜㌳，33由㌳2cos及正弦定理，得sin䁜㌳2sincos，所以sin2㌳，22由䁩൏㌳，得2䁩൏㌳，33所以2㌳，解得㌳．322䁩2㌳由䁩1㌳可知㌳，䁜㌳，所以㌳㌳，33所以㌳，由㌳2cos，得㌳3.因为䁜的周长为4香23，所以香香3㌳4香23，解得㌳2．1设䁜的中点为正，则䁜正㌳䁜㌳1．2由余弦定理，得正㌳䁜2221香䁜正2䁜䁜正cos㌳4香1221䁩㌳㌳，32所以䁜边上中线的长为【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，考查正弦定理，属于中档题．20.【答案】䁩1㌳证明：连接正，因为，分别为，正的中点，所以ܦܦ正．因为䁜平面䁜正，正平面䁜正，所以䁜正，所以䁜．因为四边形䁜正为正方形，所以䁜正，又ܦܦ正，所以䁜，又䁜，䁜平面䁜，䁜䁜㌳䁜，所以平面䁜．䁩2㌳解：由䁩1㌳知ܦܦ正，又平面，正平面，所以正ܦܦ平面．设䁜与正的交点为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

12由䁩1㌳知平面䁜，又平面，所以平面平面䁜，作，为垂足，因为平面平面䁜㌳，平面䁜，所以平面，因为㌳4，䁜㌳32，，为，正的中点，所以䁜㌳32，㌳，㌳2，䁜由∽䁜得㌳，得㌳㌳1，䁜即点到平面的距离为1．䁩3㌳解：由平面䁜可得，同理可证，所以为二面角的一个平面角，因为䁜平面䁜正，平面䁜正，所以䁜，同理，又䁜㌳䁜，㌳，所以㌳䁜㌳45，所以㌳൏，即二面角的大小为൏．【解析】本题考查线面垂直的证明、点到平面的距离的几何求法及二面角的求解，考查学生的推理论证能力、逻辑思维能力以及运算求解能力，属中档题．21.【答案】解：䁩1㌳证明：取的中点，连接，，又为正的中点，所以ܦܦ正，又正平面正，平面正，所以ܦܦ平面正，因为ܦܦ，㌳，，分别为，的中点，所以ܦܦ，且㌳，所以四边形为平行四边形，所以ܦܦ，又平面正，平面正，所以ܦܦ平面正，又，平面，㌳，所以平面ܦܦ平面正，因为平面，所以ܦܦ平面正．

13䁩2㌳解：由题意知䁜，䁜，䁜正两两垂直，故以点䁜为原点，直线䁜，䁜，䁜正分别为ሼ轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．1设圆柱的底面半径为，高为，则䁜䁩൏൏൏㌳，䁩൏൏㌳，䁩൏൏㌳，正䁩൏൏㌳，䁩㌳，䁩൏㌳，䁩൏㌳，42222所以㌳䁩൏㌳，正㌳䁩൏㌳，䁜㌳䁩൏൏㌳，䁜㌳䁩㌳，㌳䁩㌳.2222㌳൏ሼ香㌳൏设平面正的一个法向量㌳䁩ሼ㌳，则，即正㌳൏㌳൏令ሼ㌳，解得㌳，㌳，所以㌳䁩㌳䁪䁜㌳൏设平面䁜的一个法向量䁪㌳䁩㌳，则䁪䁜㌳൏㌳൏即香香㌳൏22令㌳2，解得㌳൏，㌳，所以䁪㌳䁩2൏㌳，䁪22香222香215所以cos䁪，㌳㌳㌳㌳，䁪22香242香242香25化简，得2222㌳൏，所以㌳，所以䁪㌳䁩2൏㌳，㌳䁩㌳.22设与平面䁜所成的角为，䁪22123൏㌳2㌳所以sin㌳cos，䁪㌳．䁪51൏2【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量解决平面与平面所成的角，直线与平面所成的角，属于综合题．

142ሼ22.【答案】解：䁩1㌳䁩ሼ㌳㌳2ሼlnሼ的定义域为䁩൏香㌳，䁩ሼ㌳㌳2㌳，ሼሼ当൏时，䁩ሼ㌳൏在䁩൏香㌳上恒成立，所以䁩ሼ㌳在䁩൏香㌳上单调递增当൏时，令䁩ሼ㌳൏，得൏ሼ令䁩ሼ㌳൏，得ሼ，22所以䁩ሼ㌳在䁩൏㌳上单调递减，在䁩香㌳上单调递增．22䁩2㌳证明：䁩ሼ㌳㌳䁩ሼ㌳sinሼ㌳2ሼsinሼlnሼ，由题意知ሼ1，ሼ2䁩൏香㌳，ሼ1ሼ2，不妨设ሼ1ሼ2，使得䁩ሼ1㌳㌳䁩ሼ2㌳.所以2ሼ1sinሼ1lnሼ1㌳2ሼ2sinሼ2lnሼ2，整理为䁩lnሼ2lnሼ1㌳㌳2䁩ሼ2ሼ1㌳䁩sinሼ2sinሼ1㌳，令䁩ሼ㌳㌳ሼsinሼ，ሼ൏，则䁩ሼ㌳㌳1cosሼ൏，所以䁩ሼ㌳㌳ሼsinሼ在䁩൏香㌳上单调递增，又ሼ1ሼ2，所以ሼ1sinሼ1ሼ2sinሼ2，所以ሼ2ሼ1sinሼ2sinሼ1，所以䁩lnሼ2lnሼ1㌳㌳2䁩ሼ2ሼ1㌳䁩sinሼ2sinሼ1㌳2䁩ሼ2ሼ1㌳䁩ሼ2ሼ1㌳㌳ሼ2ሼ1，因为ሼ1ሼ2，所以lnሼ1lnሼ2，即lnሼ2lnሼ1൏，ሼ2ሼ1所以．lnሼ2lnሼ1ሼ2ሼ2ሼ1ሼ1ሼ2下面证明ሼ1ሼ2，即证明1，lnሼ2lnሼ1lnሼ2ሼ1ሼ1ሼ2㠳1㠳1设㌳㠳䁩㠳1㌳，即证明㠳，只要证明ln㠳൏．ሼ1ln㠳㠳㠳1䁩㠳1㌳2设䁩㠳㌳㌳ln㠳䁩㠳1㌳，则䁩㠳㌳㌳൏，㠳2㠳㠳11所以䁩㠳㌳在䁩1香㌳上单调递增，所以䁩㠳㌳䁩1㌳㌳ln1㌳൏1ሼ2ሼ1ሼሼ2所以lnሼ2lnሼ112，所以ሼ1ሼ2，所以ሼ1ሼ2．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，属于较难题．