1①称为"的标准基，"中的自然基，单位坐标向量夕致出”;②q,e2,e”线性无关;③I"/,…,e,J=l；©trE=n；⑤任意一个〃维向量都可以用弓,02,分线性表示.行列式的定义|D"="3?…a；"=Z（一1）'"/…'''《/产2万一.0矶J行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A与8都是方阵（不必同阶），则④关于副对角线:③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.=（一1尸/〃2”…C
2⑤范德蒙德行列式：X；x2n—1n-1大1X2矩阵的定义|由个数排成的胴行〃Ai4伴随矩阵।A*=(&y=A'2?、A["4"""V逆矩阵的求法：①心存注：[ab同(ca②(A沦)一等行变换乂E：.A")/、T(J_、③。2=机<〃J~…X；=口(x,f)„n-l…4a\\a\2…a
3列的表A=0：a：2…?称为mx〃矩阵.记作：A=(他),…或从a।ac,••a,\mlm2mnJ■"•A"2,4为|A|中各个元素的代数余子式.H-])adaJ(aY1(ju\的a2=(%)~V方阵的基的性质：AmAn=A",+n(Am)n=(A)ran
4J设Am*",%*,A的列向量为8的列向量为尸”2,…，月，(hbb\u\\u\2"isbb,••b则AB=Cmxs<=>(a”％,…,%)?'；2；'=化"2,<=>A力=q,(i=l,2,…,s)<=>p.为Ax=q的解也Ibn2b“一<=>4(/],22/一,4)=(4夕1，4夕2，3，4月)=(。,。2，一,，4)0(:/2，。”,生可由4,4,-,,4线性表示.同理：C的行向量能由6的行向量线性表示，A1为系数矩阵.V用对角矩阵A左乘一个矩阵,相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵A右乘一个矩阵,相当于用A的时角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
5V两个同阶对角矩阵相乘只用把时角线上的对应元素相乘.(A8丫(ATCt}V分块矩阵的转置矩阵：=丁丁(cD)[btDt)(AY1(A-'}(A分块矩阵的逆矩阵：=,IB)IB')[B(AeV1_(A*'(A0[o一10B)B分块对角阵相乘：a=[A''t=n]ab=(A''B''<^22JI^22)Iy=［内。)(-5七0B,A”/)
6分块对角阵的伴随矩阵：[A]=[BAJIIASfJd矩阵方程的解法([4卜0)：设法化成⑴AX=茹(II)XA=B(D的解法：构造•初等行变换・>(RX)(II)的解法：将等式两边转置化为4『乂『=3『用⑴的方法求出转置得XJAx=0与5x=0同解(A,5列向量个数相同)，则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.V矩阵4H*”与4,”的行向量组等价=齐次方程组Ax=0与=0同解oP,矩阵4”x.与与X”的列向量组等价=PQ=B(右乘可逆矩阵Q)•V判断小,…，7是Ax=0的基础解系的条件:①/线性无关；②/,〃2,…也都是Ax=0的解；③s=〃-r(A)=每个解向量中自由未知量的个数.V一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.①零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.
74=8（左乘可逆矩阵P）；p教材mi
8②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.⑤两个向量线性相关O对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p故也⑥向量组区,。2,…,凡中任一向量q(1WiW〃)都是此向量组的线性组合.⑦向量组区,。2,线性相关=向量组中至少有一个向量可由其余〃-1个向量线性表示.向量组区,％线性无关。向量组中每一个向量都不能由其余〃-1个向量线性表示.⑧m维列向量组4,%」”,%线性相关。「(4)<〃；m维列向量组a”a2,…,4,线性无关=r(A)=〃.(9)r(A)=O<=>A=O.⑩若名,…,％线性无关，而％,。2,夕线性相关，则6可由4，%，…，%线性表示，且表示法唯一・⑪矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵|可画出一条阶梯线,线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第•个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为|行最简形矩阵⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系：矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A照的朝如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)=
9r向量组的秩|向量组区,。2,…,见的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(a],a2,---,an)矩阵等价|A经过有限次初等变换化为B.记作：A=B向量组等价|%a2，…,a”和力，万2,…应可以相互线性表示・记作：(卬，。2,…，4)三…，以,)⑬矩阵A与8等价=PAQ=8,P,Q可逆。r(A)=r(B)H>A,B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与8作为向量组等价=汽6«2,…、a)=r3,%…，…仪,修…，B")=>矩阵A与5等价.⑭向量组区,夕2,…，月可由向由组区，。2,…，％线性表示=AX=8有解。r(al,a2,--,an)=r(al,a2,---an,j3i,j32,---,j3s)=>“用血，…血)这r(apa2,•••,«„).⑮向量组回，夕2,…,后可由向量组/，。2,…，巴线性表示，且S>〃，则4,22,…，月线性相关.向量组01，瓦，…，氏线性无关，且可由4,。2,…，&线性表示，则S<〃.⑯向量组历夕2，…，4可由向量组四，%，…,％线性表示，且，夕2，…，氏)=「则两向量组等价；PftM9,wl0⑰任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑱向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑲若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.⑳若A是mx〃矩阵，则r(A)Wmin{m,〃},若r(A)=m,A的行向量线性无关；
10若r(A)=〃，A的列向量线性无关，即：4,。2,…,凡线性无关一V矩阵的秩的性质:②r(A)=r(")=r(AZ)°教材101,例15③r(kA)=r(A)若0丰④r(A±B)Wr(A)+r(B)max{r(A),r(B)}r(A)+r(B)^n⑧若可逆=>r(AB)=r(B)⑨若r(4xn)=«=><=>Ax-0只有零解r(AB)=r(B)若BJ逆=>r(AB)=r(A)且A在矩阵乘法中有左消去律[AS=。n8=0[ab=ac=>b=c若r(纥xs)=〃=>r(AB)=r(B)且5在矩阵乘法中有右消去律.V初等矩阵的性质:
11Tg.〜
12<夕可由线腕表示面解<=>Ax=/?<=>r(A)=r(/0<=ru*表示法不唯一
13区,％,…,见线性相关翻睇蒯-时>同=/04尤=夕有唯一组解(0表示法唯一\a?,…,％线性无关出(腰解》克莱姆法则纳皿3同hn<=>Ax=夕有无穷多解[=r(A)Hr(A4)夕不可由线性表示而解3Ax=B|u>r(A)r(A)+l=r(A:y?)Ax=尸有无穷多解出组有非零解、心=尸有唯一•解组只有零解线性方程组的矩阵式|Ak=B|向量式%2***a
14)(玉)(b「_"21%2…a2n_X2n_^2A=...,X=.，/=.am2…a〃〃J\XnJ)xxax+x2a2+・・•+xnan=p‘%、a2jaj=•,j=l,2,…,〃a\mJJ公x2(%,%/••,%).=/3、九
15矩阵转置的性质：(AT)T=A(AB)t=btat(M)r=Mr刈=闺(A±8)r=4，±8，(AT),=(Ar)TW)*=(A*)T矩阵可逆的性质：⑷尸=A(ABY'=B'A-'(M)-1=k''ATl”=l限(A±BY'⑷)&=(AkY'=A-k伴随矩阵的性质：(A)=|A「2A(AB)*=8*A*(kA)'=k"-'A'川=『(A±B)*#A*士8*（才八缶•尸=](屋)*=(&)«〃(4*)=,n若r(A)=n1若r(A)=〃-l0若(4)<〃一1网=|耶|网=《|a|叶I"|a±b|^|a|±|b|AA*=A'A=\A\E（无条件恒成立）
16线性方程组解的性质:71)孱胞解也是它的解十%(2)柜的解刈Df壬意也是它IW解7(3)孱阚解以J>任差怜救激，k对强•它用4解+九％+儿％卜齐次方程组<(4)是的解越其导助组的解是的械=0(5)熔昭两力x解雉其导出组成用为2，/+VAx=PAx=0(6)层的解期也是它的解是其导出红解鳍-〃2Ax=0(7)班魏解则71tAx=p,招iX也的解?+4tzziAx=p<=>4+4+4=1捕%%+4k4kAx=0<=>4+4+4=0V设A为MX〃矩阵，若r(A)=m,=>r(A)=r(A：P)=>Ax=夕一定有解,当m<"时,一定不是唯一解=>方程个数本知数的个数向量维数商量个数则该向量组线性相关.标准正交基〃个〃维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.a与正交(a,尸)=0.a是单位向鬲||a||=J(a,a)=1.V内积的性质：①正定性：(a,a)20,且(a,a)=0oa=o②对称性：(a,P)=(2,a)③双线性：(a,以+Q)=(a，以)+3夕2)(a,+%,夕)=3，夕)+(。2，/)
17(ca,0)=c(a,fi)=(a,c。)A的特征矩阵|AE-A.4的特征多项式|\AE-A\=f(A).V/(㈤是矩阵A的特征多项式=/(A)=04的特征方程I|/IE—A|=O.Ax=Ax4组性相关V|A|=44…%£4=trA,trA称为矩阵A的困1J上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的〃各元素.V若|川=0,则义=0为A的特征值,且Ax=0的基础解系即为属T2=0的线性无关的特征向量.4Vr(A)=1<=>A一定可分解为A="2(仇，b2,…，b“)、A[=(4e+a2b2+…+a,也JA,从而A的特征值为：\=tM=a1/>l+a2b2+---+anbn,4=4=°Pm-V若A的全部特征值4,4,…,4，/(A)是多项式，则：①/(A)的全部特征值为…J“)；|/(/1)|=/(2,)/(^)-/(2„)②若A满足/(A)=0,则A的任何一个特征值必满足f(4)=0.
18V设/（x）=a“y…+《％+旬，对〃阶矩阵4规定：/（4）=品4"+。吁|父7+-+。/+/£：为4的一个多项式.kAkAaA+bEaA+bAV丸是的特征值则:分别有特征值xTA*\A\―入—A川A2A"元”kAkAaA-\-bEaA+bVx是次于的特征向量则也是关于的向量.A2iT\A\――…4-4储A"2,MVA2,A"的特征向量不一定是4的特征向量.VA与有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A与8相似B=P'AP（P为可逆矩阵）记为：ABA与8正交相似B=P-'AP（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵A相似.记为：AA（称A是A的|j似标准形|）VA可相似对角化=〃-r（4E—A）=£.匕为4的重数oA恰有〃个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，为对角阵，主对角线上的元素为A的特征值.设4为对应于4的线性无关的特征向量，则有:A(ai,a2,---,an)=(Aai,Aa2,---,Aaii)=^ai,Z,a2,---,Anan)=(al,a2,---,an)...不；k4〃7
19、jVA注：当4=0为4的特征值时，A可相似对角化。4的重数=〃-r(A)=Ax=0基础解系的个数.V若A可相似对角化，则其非零特征值的个数(重数重复计算)=r(A).V若〃阶矩阵A有〃个互异的特征值，则A可相似对角化.‘我4)、J若AA=>Ak=PAkP'=,e(A)=P°(A)pT=p*.p-'20V对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；④与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形：⑤一定有〃个线性无关的特征向量，A可能有重的特征值，该特征值4的重数=〃-r（4E-A））.正交矩阵|A47'=EVA为正交矩阵。A的〃个行（列）向量构成"的一组标准正交基.V正交矩阵的性质：①A，=aT；②AA1—A'A=E•,③正交阵的行列式等于1或T；④A是正交阵，则A-1也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥4的行（列）向量都是单位正交向量组.fl打二次型IJ\xt,x2,--•,xn）=xTAx=ajjxixj%=%，即A为对称矩阵，x=（占,々，…，x”），/=!j=\A与3合同|B=C'AC.记作：AB（A,B为对称阵为可逆阵）正惯性指数|二次型的规范形中正项项数p；|负惯性指数|二次型的规范形中负项项数；
21|符号差|2p-r.（r为二次型的秩）V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.V两个矩阵合同的充分条件是：ABJ两个矩阵合同的必要条件是：r（A）=r（B）/正交变换“v/（X”尤2,…，x"）=x'Ax经过（合同变换无=Cy化为/=才标准形.、可逆线性变换一V二次型的标准形不是唯一的，与所作的正交变换有关，但非零系数的个数是由r（A）唯一确定的.正惯性指数钝惯性指数V当标准形中的系数4为7或。或1时，为睡废.V实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
22(\1一1V惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵-10V用正交变换法化二次型为标准形：①求出A的特征值、特征向量；②对〃个特征向量正交化、单位化；③构造C（正交矩阵），作变换工=。，则（Cy）Z（Cy）=：/CZcy：上的元素4即为A的特征值.施密特正交规范化|%,%，线性无关，
23合同=y'CTACY=新的二次型为fa的主对角]\yn
24B\=%A=%_（%：⑷笈22（因仇）,33（^7^,）1（a7a）单位化：7=羔〃二A仁因技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：~+赴-9=0取4=正定二次型|王,》2,…,天不全为零，f(x},x2,---,xn)>0.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.V/(x)=/Ar为正定二次型。(之一成立):①Vx¥0,x'Ax>0；②/的正惯性指数为〃；③A的特征值全大于0；④4的所有顺序主子式全大于0；⑤A与E合同，即存在可逆矩阵C使得C「AC=E；
25
26'4、⑥存在正交矩阵C，使得4..⑦存在可逆矩阵P，使得A=P「P；V合同变换不改变二次型的正定性.V4为正定矩阵的必要条件：a,>0；|A|>0.V若A为正定矩阵nA7",A,4”也是正定矩阵.V若为正定矩阵=A+8为正定矩阵，但AB,84不一定为正定矩阵.
27（4大于o）.【完】
