考研 线代总复习课件.ppt

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1、线性代数总复习1要求：理解行列式的概念，计算低阶及特殊的行列式。两个定义：n阶行列式;n阶方阵行列式.一、行列式会用其性质与展开式定理两个重要概念：余子式和代数余子式注：行列式是一个算式，它表示由n2个数按照下列规则运算所得到的一个数。2（项数、乘积项、符号）2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积3、性质4、特殊关系式1、定义是计算行列式的中心环节，性质5用的较多。利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。35、展开定理4例题1---行列式1计算下列行列式解r4-100r2r2-2r1r4-r15例题1

2、---行列式2计算下列行列式2）设行列式解6例题1---行列式3计算下列行列式解7计算解方程此为范德蒙行列式例题1---行列式4,58例题1---行列式7计算下列行列式解9矩阵是线性代数中最基本的概念之一，分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程组。主要内容：二、矩阵它贯穿于全书的各个方面，因而把代数称为矩阵代数。矩阵的概念、运算、初等变换、秩、逆矩阵1、定义由m×n个数(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵.10特别：零矩阵、n阶方阵、行（列）矩阵、n阶对角阵、三角阵、单位阵。2、矩阵

3、的线性运算与若11(1)(2)(4)(3)转置矩阵的运算律12特殊矩阵：A为n阶对称矩阵;若A为n阶反对称矩阵.若阶梯阵A与行最简阶梯阵B:1、每个阶梯只占一行2、每个阶梯使第一个数非零3、阶梯的左下方每个元素为零B中某个阶梯上的第一个数都是1，这些1所在列其它元素全为零。13定义则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵,记为3、可逆矩阵的定义中若存在方阵B,使一般来说可能有14n阶方阵A可逆n阶方阵A可逆的充要条件即齐次线性方程组仅有零解。15设A、B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则4、可逆矩阵的性质16特别：5、求方阵A的逆矩阵的方法1

4、77、初等方阵共三种互换阵倍加阵倍乘阵用初等方阵左（右）乘A，相当于对A作初等行（列）变换得到的矩阵.6、矩阵的初等行变换188、初等矩阵1、阶梯形矩阵2、行最简形矩阵3、矩阵A的标准形2）初等矩阵都可逆；3）初等矩阵与初等变换的关系.191、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：3、关于秩的重要结论：9、矩阵的秩2010、秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数;2）初等变换法：R（A）=T的阶梯数；3）若P可逆，则常需先验证P可逆。21例题1---(逆阵1)解22例题2---(逆阵2)设方阵A满足2A

5、2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，解关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析原式可写为23例题3---矩阵方程设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中由已知，得AXB-XB=C，则得显然A-E、B均可逆，并且解24例题4---矩阵方程两边左乘A则得解设矩阵X满足求X，其中25例题5---(逆阵4)已知解26例题6---矩阵设A是5阶方阵，且求解27分块对角阵及其性质其中均为方阵。282、4、3、R（A）=5、可逆时，则A可逆，且29三、向量组的线性相关性学生应正确理解相关性、线性表示、最大无关组、秩的定义。充分注意命题及其逆命题的

6、叙述与应用。n元行（列）向量可以看作行（列）矩阵。向量的相等、加减与数乘、负向量、零向量、转置的定义与矩阵的相应概念的定义和方法完全一致。30向量1---定义1定义1关键：存在某组不全为的数使（2）成立。推论：31向量1---定义2定义2是否非零无要求关键：存在某组使（1）成立，32向量1---定义3定义3T的最大无关组。如果R(T)=r,则T中任意r个线性无关的向量都构成则称是向量组T的一个最大线性无关组。r称为T的秩，记为33向量2---定理1、2、3、4定理1定理2关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。定理3R（A）=A的列向量组的

7、秩=A行向量组的秩定理4矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。注意：求最大无关组、讨论线性表示主要用此方法；讨论线性相关性、求秩也可用此方法。34向量2---定理5、6定理5定理6数字型数字型有非零解；齐次线性方程组有非零解；35向量3---性质1、2、3、4性质1性质2性质3性质4等价的向量组的秩相等；等价的线性无关组所含的向量个数相等。36向量---例题1设解的一个最大线性无关组，并将其余向量用此线性无关组线性表示。求37向量---例题1(续)其余向量由此最大无关组表示为：所以的一个最大线性无关组为：38向量---例题2解1)因为

8、行列式所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。39向量4---例题4（续）解2）因为40向量---例题4---证明证明设存在数使线性无关，且41向量---例题4---证明则线性