小初衔接_课题及教材

《小初衔接_课题及教材》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

7±：(1)正数和负数教材内容如下:§2.1正数和负数回忆我们已经学过哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1,2,3,为了表示“没有”，引入了数0;有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示.总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.1.相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样的一些量：例1汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；例2温度是零上10℃和零下5℃;例3收入500元和支出237元；例4水位升高5.5米和下降3.6米等等.例5买进100辆自行车和卖出20辆自行车。这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出；升高和下降都具有相反的意义.这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗？2.正数与负数只用原来的那些数很难区分量的相反意义.例如，零上5c用5表示，那么零下5℃就

1不能仍用同一个数5来表示.在天气预报的电视屏幕上我们发现,零下5℃可以用-5℃来表示.一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放上一个“-”（读作负）号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10C表示，零下5℃用-5c来表示.在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么？在例4和例5中，我们如何表示这些具有相反意义的量呢？为了表示具有相反意义的量，我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数（negativenumber）.过去学过的那些数（零除外），如10,3,500,5.5等，叫做正数（positivenumber）.正数前面有时也可放上一个号，如5可以写成+5,+5和5是一样的.注意0既不是正数,也不是负数.

2练习1.将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.朗玛峰和们的高度称为海拔讥的.请讥-155表示2.在中国地形图上，在珠穆吐鲁番盆地处都标有表明它的数，如图所示.这个数通常高度，它是相对于海平面来出图中所示的数8844和的实际意义。海平面的高度用什么数表示?3.下列各数中，哪些是正数?哪些是负数?22+6;-21;54;0;T；-3.14;0.001;-9994.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对？为什么？(2)科学计数法(教材)§2.12科学计数法用乘方的形式，有时可方便地来表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是300000000米/秒；全世界人口数大约是6100000000.这样的大数，读、写都不方便，考虑到10的乘方有如下特点：io2=100,1O3=1000,104=10000,...一般地，10的n次赛，在1的后面有n个0,这样就可用10的赛表示一些大数，如，6100000000=6.1x1000000000=6.1x109.

3象上面这样把一个大于10的数记成ax10"的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法.例2用科学记数法记出下列各数：(1)696000;(2)1000000;(3)58000.解(1)696000=6.96x1O5.⑵1000000=106.(3)58000=5.8x104.注意：一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1,如原数有6位整数，指数就是5.练习1.用科学记数法记出下列各数.(1)800;(2)1800000;(3)1230.2.下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？(l)lx1O5；⑵5.18x10、(3)7.04x1O6.习题2.121.用科学记数法记出下列各数：(1)3210;(2)50600;(3)10000000.

41.下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?(1)2x106；(2)6.03XIO5；(3)5.002x104.2.用科学记数法记出下列各数：⑴地球离太阳约有一亿五千万千米；⑵地球上煤的储量估计为15万吨以上.3.一天有8.64x104秒，一年有365天，一年有多少秒？(用科学记数法表示)4.地球绕太阳转动每小时约通过1.1x105千米，声音在空气中传播,每小时约通过1.2X10,千米.地球转动的速度与声音传播的速度哪个大？阅读材料一一光年和纳米在阅读报章杂志或科技书刊时，有时我们会看到“光年”、“纳米”这两个名称，你知道它们的含意吗？光年(lightyear)是天文学中使用的距离单位，简记为ly或l.y.,主要用于度量太阳系外天体的距离o1光年是指光在真空中经历一年所走的距离。真空中光速为c=299792.458千米/秒，而1年怒60x60x24x365.25(秒)，故1光年^299792.458.259.46x60x60x24x365.25(千米)，即约等于9.46万亿千米。离太阳最近的恒星(半人马座比邻星)与太阳的距离为4.22光年。银河系的直径约10万光年。人类所观测的宇宙深度已达到150亿光年。同学们，你能算出这些距离等于多少千米吗？从中你是否可以体会到用光年作单位的优越性。光年是表示较大距离的一个单位，而纳米(nanometer)则是表示

51微小距离的单位。1纳米=仔■米，即1米mo,纳米。我们通常使用的1尺上的一小格是一毫米(mm),1毫米=10、米。可见，1毫米=1。6纳米，容易算出，1纳米相当于1毫米的一百万分之一。可想而知，1纳米是多么的小。超微粒子的大4、一般在1〜100纳米范围内，故又称纳米粒子。纳米粒子的尺寸小，表面积大，具有高度的活性。因此，利用纳米粒子可制备活性极高的催化剂，在火箭固体燃料中掺入铝的纳米微粒，可提高燃烧效率若干倍。利用铁磁纳米材料具有很高矫顽力的特点，可制成磁性信用卡、磁性钥匙，以及高性能录像带等.利用纳米材料等离子共振频率的可调性可制成隐形飞机的涂料。纳米材料的表面积大，对外界环境(物理的和化学的)十分敏感，在制造传感器方面是有前途的材料，目前已开发出测量温度、热辐射和检测各种特定气体的传感器。在生物和医学中也有重要应用。纳米材料科学是20世纪80年代末诞生并正在崛起的科技新领域，它将成为跨世纪的科技热点之一。（3）列代数式§3.1列代数式1.用字母表示数为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据（单位：厘米）：下落高度405080100150弹起高度2025405075在这个问题中，如果我们用b（厘米）表示下落高度，那么相对

6应的弹跳高度为（厘米）.概括这里，我们用字母b表示下落高度以后，得出表示弹跳高度的一个式子2,反映了这种皮球弹跳高度和下落高度之间的数量关系.让我们再看几个用字母表示数的例子：（1）如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a+b=b+a.乘法交换律可以用字母表示为：ab=ba.（2）图3.1.1中由长方形和正方形拼成的I1大正方形的面积是多少？。①②容易知道：6③④正方形①的面积为a2,长方形②和③的面|一|积都为ab(或ba),正方形④的面积为b2.因此，大正方形的面积为我们还可以这样想：图3.1.1中大正方形的边长是,因此，它的面积是(3)我们知道：1+2+3=3xI|i1)=6>1+2+3+4=10,l+2+3+4+5==,

71+2+3+…+100==*一般的，有1+2+3+…+〃=山/这就是说，从1到n这n个正整数的和为.从这些例子，我们可以体会到，用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了.例1填空：(1)某地为了治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山，如果每年植树绿化x公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山公顷；(2)如果王红用t小时走完的路程为s千米，那么她的速度为千米/时；(3)每本练习本m元，甲买了5本，乙买了2本，两人一共花了元，甲比乙多花了元.解(1)绿化荒山5x公顷.(2)速度为上千米/时.(3)两人共花(5m+2m)元，甲比乙多花了(5m-2m)元.练习1.填空：(1)一打铅笔有12枝，n打铅笔有枝。(2)三角形的三边分别为3a,4a,5a,则其周长为;(3)如图，某广场四角铺上四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，则共有草地平方米。

81.我们知道：23=2x10+3865=8x102+6x10+5类似地，5984=xlO3+xlO2+xlO+若某三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则此三位数可表示为.2.代数式做一做填空(1)某种西瓜的单价为16元/千克，则n千克需要元。(2)小刚上学步行速度为5千米/时，若小刚家到学校的路程为s千米，则他上学需走小时。(3)钢笔每支a元，铅笔每只b元买2支钢笔和3支铅笔共需一元。概括S16上述各问题中出现的如16n,5,2a+3b,以及前面出现的2,+sa,b,a+b,ab,,(“+”),15,5050,2,5x,t等式子,我们称它们为代数式(algebraicexpression).例2填空：(1)圆的半径为rcm,它的面积为cm~;(2)长方形的长与宽分别为acm、bcm,则该长方形的周长为cm;

9(3)小强在小学六年中共攒了a元零花钱，上中学后买文具用去b元，剩下的钱全部存入银行，则小强可以存款元；(4)某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则有人被精简.解(1)圆的面积为二(2)长方形的周长为2(a+b)cm.(3)小强可以存款(a-b)元.1(4)被精简的人数为20%-m,即5m.例3结合你的生活经验对下列代数式做出具体解释：(1)a-b(2)ab解(1)今年小明b岁，小明爸爸a岁，小明比他爸爸小(a-b)岁。(2)长方形的长为a厘米，宽为b厘米，长方形的面积是ab平方厘米。注意(1)代数式中出现的乘号，通常写作“或省略不写，如6xb常写作6♦b或6b;(2)数字与字母相乘时，数字写在字母前面，如6b一般不写作b6;(3)除法运算写成分数形式，如1+a通常写作。练习1.填空：(1)a千克含盐为10%的盐水中含盐千克；(2)某同学军训期间打靶成绩为10环、8环、8环、7环、a环，则他的平均成绩为环；(3)甲以a千米/时、乙以b千米/时(a>b)的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8

10千米处开始追乙，则甲要追上乙需小时；(4)一枚古币的正面是一个半径为r厘米的圆形，中间有一个边长为a厘米的正方形孔，则这枚古币正面的面积为1.说出下列代数式的意义：

11(2)5x;(4)a+b；(1)2(a+b);(3)s/60;1.列代数式，L，.，，，.做一做某地区夏季高山上地温度从山脚处开始每升高100米降低0.7℃o如果山脚温度是28℃,那么山上300米处地温度为;一般地，山上x米处地温度为o概括容易知道，300米处的温度为25.9℃,x米处的温度为在上一节，我们知道可以用字母来表示数.在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.例4设某数为x,用代数式表示：(1)比某数的2大1的数;(2)比某数大10%的数;(3)某数与S的和的3倍;(4)某数的倒数与5的差.解(1)211(2)x+10%*x,即10

12--5(4)x例5用代数式表示：(1)a、b两数的平方和减去它们乘积的2倍；(2)a、b两数的和的平方减去它们的差的平方;(3)a、b两数的和与它们的差的乘积；(4)偶数，奇数.解(1)a?+b?-2ab.(2)(a+b)2-(a-b)\(4)(a+b)(a-b).(5)2n,2n+1(n为整数).练习1.用代数式表示：(l)a与b的差的2倍；(2)a与b的2倍的差；(3)a与b、c两数之和的差；(4)a、b两数之差与c的和.2.填空：(1)连续三个整数，中间一个是n,则第一个和第三个整数分别是(2)连续三个偶数，中间一个是2n,则第一个和第三个偶数分别是3.某市出租车收费标准为:起步价10元，3千米后每千米价L8元则某人乘坐出租车x(x>3)千米的付费为元.

13习题3.11.设a、b、c均为有理数，根据相应的运算律填空：(1)(a+b)+c=(加法结合律);(2)(ab)c=(乘法结合律);(3)a(b+c)=(乘法分配律).2.有一根弹簧原长10厘米，挂重物后，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据填空：所挂重物质笊(克)123n弹簧伸长量(厘米)0.511.5弹班总长度(厘米)10.51111.5…3.所有偶数都可以表示成2n(n为整数)的形式.请你用一个恰当的形式表示所有能被5整除的数.4.用代数式填空：(1)七年级全体同学参加市教委组织的国防教育，一共分成n个排,每排3个班，每班10人.则七年级一共有名同学；(2)某班有共青团员m名，分成两个团小组.第一团小组有x名，则第二团小组有名；(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个脚

14(4)在一次募捐活动中，每名共青团员捐款m元，结果一共捐了n元，则一共有名共青团员参加这次募捐活动.2.根据生活经验，是对下列代数式做出解释。(1)a-2b;(2)2(1+p).6.用代数式表示:(1)a的3倍与b的和;(2)x的倒数与y的差.7.用代数式表示：(1)底面半径为r,高为h的圆锥的体积；(2)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积；(3)m个人n天的工作量为p,求一个人一天的工作量；(4)某种汽车用a千克油可行s千米，则用b千克油可行多少千米？(5)m千克含盐为p%的盐水含水多少千克？8.摄氏温度(℃)与绝对温度(K)是表示温度的两种不同的温标.下表给出了摄氏温度与绝对温度之间的一些数量关系：摄氏温度CC)-5-30132D绝对温度(K)268.16270.16273.16286.16293.16绝对温度与摄氏温度的差CC)请先在表内填空，由此可以猜测，当摄氏温度为t℃时，绝对温度为K,9.自强中学体育馆内东、南、西三面有座位.东、西两面各有m排，每排有n个座位；南面座位排数是东面的2倍，每排有p个座位.问该体育馆内一共有多少个座位?(4)立体图形的表面展开图

15§4.3立体图形的表面展开图我们知道圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形.但在实际生活中常常需要了解整个立体图形展开的形状，如包装一个长方体形状的物体，需要根据其平面展开图来裁剪纸张.我们下面要讨论的是一些简单多面体的平面展开图(net).做一做准备12个一样大的三边都相等的三角形，用透明胶粘贴成如图4.3.1、图4.3.2、图4.3.3所示的三种形状。你能想象出哪一个可以折成多面体吗？动手做做看。(图4.3.1)(图4.3.2)(图4.3.3)多面体(polyhedron)是由平面图形围成的立体图形，沿着多面体的棱将它剪开，可以把多面体变成一个平面图形.上面的图4.3.1实际上是由三棱锥展开而成的平面图形，我们把它叫做三棱锥的平面展开图试一试图4.3.4-4.3.7的四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗?

16同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.想想看，图4.3.8-4.3.13的图形都是正方体的展开图吗?练习1.下列图形是某些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称.（第1题）2.下面的图形都是多面体的展开图吗?

17（第2题）1.下面是一多面体的展开图，平面图形的旁边都标注了字母，请根据要求回答问题:⑴如果A面在多面体的底部，哪一面会在上面？⑵如果面F在前面，面B在左面，哪一面会在上面？哪一面会在上面？（第3题）习题4.31.下面的图形中哪一个是四棱柱的侧面展开图？

18（第1题）1.下面的图形是三棱柱的展开图吗?2.下面的图形都是由6个大"、一样的正方形拼接而成的:你还能画出一些其他不同的拼接图形吗？这些图形中哪些可以折成正方形？7下：（5）解一元一次方程§6.2解一元一次方程1.方程的简单变形联想’测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放上祛码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的

19质量.如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平依然平衡；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡.图6.2.1-6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形.曲向ji向曲曲曲x+2=5ZYx=5-2=>图6.2.1n图6.2.2△3x-2x=2△3x=2x+22x=6n图6.2.3x=6+2归纳我们可以看到，方程能够这样变形：方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变.方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变.通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解.例1解下列方程:（1）x-5=7；解（1）由两边都加上5,得即（2）由两边都减去3x,得即（2）4x=3x-4.x—5=7,x=l+5,x=12.4x=3x—4,4x-3x=-4,x=-4.概括像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项（transposition）.例2解下列方程：31（1）—5x=2；（2）-x=-.23

20解(1)方程两边都除以一5,得2x=—.522(2)方程两边都除以士(或乘以士),得231、，2X——X一,33_2x.9这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.概括以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x=a的形式.练习1.列方程的变形是否正确？为什么？7(1)由3+x=5,得尤=5+3;(2)由7方=-4,得x=—;4(3)由gy=O,得y=2;(4)由3=x-2,得x=-2-3.2.(口答)求下列方程的解：(1)x-6=6;(2)7x=6x-4;(3)-5x=60;(4)-y=-.4-23.用方程的变形解§6.1中问题1所列出的方程./[/,/|7,做一做利用方程的变形，求方程2x+3=l的解，并和同学讨论与交流.例3解下列方程：(1)(3)8x=2x―7；c11Czy=—y—322'(2)6=8+2x；(1)(2)(3)8x=2x7,8x—2x=-7,6x=-7,7x=—.66=8+2x,8+2x=6,lx——2,x=-1.c11c2y—=—y—322

21C1C12y-y=-3+22—y——2练习解下列方程:1.3x+4=0.3.5x+2=7x+85.-x-8=--0.2x.542.7y+6=6y4.3y~2=y+l+6y.习题6.2.11.解下列方程：(1)18=5—x;(3)3x-7+4x=6x-2;(5)a—l=5+2a;2.解下列方程：(1)2y+3=ll-6y(3)—x—1—2x=-1;33.已知yi=3x+2j2=4—x.(1)当X取何值时，yi=y2?(2)(4)(6)(2)(4)-x+2=3--x10y+5=lly-5-2y;0.3x+1.2—2x=1.2—2.7x.2x—1=5x+7-x~3=5x+-⑵当x取何值时，yi比”大4?2.解一元一次方程前面我们遇到的一些方程，例如44x+64=328,\3+x=-(45+x)3等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程(linearequationwithoneunknown).我们再一起来解几个一元一次方程.例4解方程：3(x—2)+1=x—(2x—1).解原方程的两边分别去括号，得3x-6+1=x-2x+1，3x-5=—x+1,3x+x=1+5,4x=6,_3x・2

22练习1.解下列方程：(1)5(x+2)=2(5x-l);(2)(x+l)-2(x-l)=l-3x;(3)2(x-2)-(4x-l)=3(l-x).2.列方程求解：(1)当x取何值时，代数式3(2-x)和2(3+x)的值相等？(2)当y取何值时，2(3y+4)的值比5(2y-7)的值3?3.解§6.1中问题2所列出的方程.例5解方程：解由原方程得3(x—3)—2(2x+1)=6>3x—9-4x-2=6,3l4l6+9+2,—x=17,x=-17.在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6,使方程中的系数不出现分数.这样的变形通常称为“去分母”.讨论在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变形？如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？练1.习指出下列方程求解过程中的错误,(1)解方程：3£ZJ=4x+2_125解：15x-5=8x+4-l,15x-8x=4-l+5,7x=87x——8并给予纠正:(2)解方程：---=—362解：2x-2-x+2=12-3x2x-x+3x=12+2+24x=16x=4.2.解下列方程：/1、5ci—17(I)=—84例6如图6.2.4,天平的两个盘内分别盛有51g、45g内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？盐，问应该从盘AD45«A52gYg(51—x)g1鎏运，(45+x)gIT6.24分析设应从盘A内拿出盐xg,可列出表6.2.1.

23表6.21慨.4楸B原有盐（g）5145现有盐（g）解设应从盘A内拿出盐xg放到盘8内，则根据题意，得51—x=45+x.解这个方程，得x=3.经检验，符合题意.答：应从盘A内拿出3g盐放到盘8内.例7学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学？分析设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2.图6.2,2男同学女同学总数参加人数X65每人搬砖数6X4共搬砖数1800解设新团员中有x名男同学，则根据题意，得32x+24（65-x）=1800.解这个方程，得x=30.经检验，符合题意.答：新团员中有30名男同学.练习1.学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺阶段花了多少时间？2.将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.3.练习第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？归纳用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.这一过程也可以简单地表述为:问题方程(组)解答刑家检验其中分析和抽象的过程通常包括：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；

24(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程.在设未知数和解答时，应注意量的单位.习题6.2.21.解下列方程：(1)3=l-2(4+x);(2)3(2x+5)=2(4%+3)+12.解下列方程：/八5—3尤3—5x,1_1(1)=；(2)1一一x=3——x；2326(3)463.(1)在等式S=〃("+'中,已知S=279,b=7,〃=18,求。的值.2(2)已知梯形上底a=3,高人=5,面积S=20,根据梯形的面积公式S=；(a+b)/i,求卜一底b的长.4.球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2,问两种皮块各有多少？5.学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？6.学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元，他们共乘坐了多少路程？阅读材料丢番图的墓志铭与方程古希腊数学家丢番图(Diophantus),是以研究一类方程(不定方程)著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，

25又过四年，他也走完了人生的旅途.请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.如“啊哈，它的全部，它的上，是19”；“一堆，它的士」「，居然是33”.译得3327|71|更明白一点就是：x+—x=19;x+—x+—x+—x=33.7327在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年(公元前后)的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.(6)三角形三边关系3.三角形的三边关系做一做画一个三角形，使它的三条边长分别为7cm、5cm、4cm.如图9.1.12,先画线段48=7cm；然后以点A为圆心，5cm长为半径画圆弧;再以点8为圆心，4cm长为半径画圆弧；两弧相交于点C,连结AC、BC./^ABC就是所要画的三角形.试一试以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？(1)7cm,4cm,2cm;(2)9cm,5cm,4cm.在上述画图的过程中，我们可以发现，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形的.在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条最长的线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形.换句话说：三角形的任何两边的和大于第三边.用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这一个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定

26性用四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构.(如图9.1.13所示)练习1.(口答)下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm>7cm；(2)4cm、5cm、10cm；(3)3cm、8cm、5cm；(4)4cm、5cm、6cm.2.一木工有两根分别为40厘米和60厘米的木条，要另找一根木条,钉成一个三角木架.问第三根木条的长度应在什么范围之内？3.举两个三角形的稳定性在生产实践中应用的例子.习题9.11.已知△ABC是等腰三角形.(1)如果它的两条边长的长分别为8cm和3cm,那么它的周长是多少?(2)如果它的周长为18cm,一条边的长为4cm,那么腰长是多少？2.按图中所给的条件，求出Nl、N2、N3的度数.3.如图，飞机要从A地飞往8地，因受大风影响，一开始就偏离航线048)18°(即NA=18°)飞到了C地，经B地的导航站测得NA8C=10°.此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达能到达B处.那么这一方向与水平方向的夹角/BCD的度数？4.如图，在△A8C中，NABC=80°,ZACB=50°,BP平分NABC,CP平分NAC8,求NBPC的度数.对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.解：,/BP平分NABC（已知）

27:.ZPBC=-ZABC=-X80°=40°.22同理可得/PCB=■:ZBPC+ZPBC+ZPCB=180°()二ZBPC=180°-NPBC-NPCB(等式的性质)=180°-40°-=.（7）平移§15.1平移1.图形的平移在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象:滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象.

28图15.1.1我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果.■9VW••WW■［一父二父.父.父Q父，■MMM)45V'W'VFV'W)■MM"MM、图15.1.2这种图形的平行移动，简称为平移(translation).它由移动的方向和距离所决定.当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，△ABC沿着直尺PQ平移到WCz，就可以画出AB的平行线A，B，T.我们把点A与点卜叫做对应点，把线段AB与线段NB，叫做对应线段，NA与NAZ叫做对应角.此时：点B的对应点是点;点C的对应点是点;线段AC的对应线段是线段;线段BC的对应线段是线段;NB的对应角是；NC的对应角是.

29△ABC平移的方向就是由点B到点B，的方向，平移的距离就是线段BB，的长度.试一试在图15.1.4中，△ABC沿着由点A到点火的方向，平移到△A，B，（7的位置.你知道线段CA的中点M以及线段BC上的点N平移到什么地方去了吗?请在图上标出它们的对应点M'和N'的位置.练习1.举出现实生活中平移的一些实例.2.如图所示的△ABC和4DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形.指出点A、B、C的对应点，并指出线段AB、BC、CA的对应线段，NA、ZB,NC的对应角.（第2题）3.如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?请补上.（第3题）2.平移的特征

30如图15.1.5,在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上.但不管怎样，我们总可以推得A'B'//AB,AzBz=AB,ZBZ=ZB.同时也有A'C'II,A'Cz=,ZCZ=.这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.图15.1.5注意在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上（如图15.1.5中的WCz与BC）.探索观察图15.1.6,△ABC沿着PQ的方向平移到aA，B，5的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?图15.1.6

31我们可以看到，AABC上的每一点都作了相同的平移：A-*AZ,B-B，,C-C'.不难发现AA'IIII;AA'==.即平移后对应点所连的线段平行并且相等.试一试将图15.1.6中的△及B，C,沿RS方向平移到4A"B"C"的位置，其平移的距离为线段RS的长度.注意如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上.图15.1.7例如图15.1.8(1),△八8(3经过平移到4人，BzU的位置.指出平移的方向，并量出平移的距离.

32B'8'(I)(2)图15.1.8解由于点A与点N是一对对应点，因此，如图15.1.8(2),连结AAZ,平移的方向就是点A到点"的方向，且平移的距离就是线段AA'的长度，约2.4厘米.试一试在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的△ABC向右平移5格后的AA，B，5，然后再画出将AA，WCz向上平移2格后的△A〃B〃C〃.AA,ZB〃C〃是否可以看成是ZXABC经过一次平移而得到的呢?如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢？做一做如图15.1.10,在纸上画△ABC和两条平行的对称轴m、n.画出△ABC关于直线m对称的AA，B，(7，再画出AA，WCz关于直线n对称的4A〃B〃C〃.

33

34图15.1.10观察aABC和4A〃B〃C〃，你能发现这两个三角形有什么关系吗？练习1.如图，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,画出△A0B平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长.2.先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格.3.将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长.画出平移后的新图形.（第3题）习题15.11.在纸上任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60。的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形.2.平移方格纸中的图形（如图），使点A平移到点V处，画出平移

35后的图形.（第3题）1.如图，AB=DC,画出线段AB平移后的线段DE,其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长.平移后所得的线段DE与线段DC相等吗?连结EC,ZDEC与NDCE相等吗?试说明理由.8下：（8）变量与函数§18.1变量与函数问题1图18.1.1是某日的气温变化图.

36看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看到，随着时间r(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：存期X三月六月一年二年三年五年年利率y(%)1.8()2.252.523.063.694.14观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的.问题3收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数：波长X(m)30050060010001500频率/(kHz)1000600500300200细心的同学可能会发现：2与/的乘积是一个定值，即或者说说明波长入越大,/tf=300000,*300000户F-频率/就问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S=.利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：半径r(cm)11.522.63.2圆面积S(cm2)由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就.概括在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这

37里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间，和气温T,气温了随着时间，的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variab/e).上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(.function).表示函数关系的方法通常有三种：(1)解析法，如问题3中的六等竺，问题4中的S="R这些表达式称为函数的关系式.(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表.(3)图象法，如图18.1.1中的气温曲线.在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant},如问题3中的300000,问题4中的兀等.练习L举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.年冷组(岁)另生平均身高(cm)(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗？(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?3.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间咿寸)的关系式；(3)〃边形的内角和S与边数〃的关系式.试一试(1)填写如图18.1.2所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式.(2)试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.(3)如图18.1.3,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△A8C向右运动，最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积yfem2)与MA长度x(cm)之间的函数关系式.思考(1)在上面“试一试”中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。(2)在上面“试一试”的问题(1)中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，

38横向的加数是多少？例1在上面“试一试”的问题(2)中，自变量底角的度数x的取值范围是什么？分析我们知道，等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90,因此它的取值范围为—<%<—.例2求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=3x~l；(2)y=2xy="+7；(2)y=x2-x-2；,2q(3)y=:(4)y=Jx+34x+82.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式：在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S(cn?),求$关于「的函数关系式.3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间f(秒)滑下的距离s(米)由下式给出：s=10r+2*.假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？+7；(3)尸一1—;(4)y=yJx-2.x+2分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)、(2)中，x取任意实数时，3x-l与2产+7都有意义；而在(3)中，分母犬+2不能为零；在(4)中，因为负数没有平方根，所以被开方数不能是负数。例3在上面试一试的问题(3)中，当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少？解设重叠部分面积为ycm\MA长为xcm,容易求出y与x之间的函数关系式为当x=1时，y=—x12=—-22所以当M4=lcm时，重叠部分的面积是,cm22练习1.求下列函数中自变量X的取值范围：习题18.11.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高/?(cm)的关系式是S——h；2(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为a,则另一个锐角£(度)与a间的关系式是£=90—a：(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y

39(元)与x间的关系是：y=ax.1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄〃封这样的信所需邮资y(元)与〃间的函数关系式；(3)矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.2.求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=-2x-5x2；(2)y=x(x+3)；(3)y=；(4)y=J2x-1X+34.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表.m1234V2.014.910.0317.!则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的().A.v=2mB.v=m2+1C.v=3m~\D,v=4m~25.当x=2及x=—3时，分别求出下列函数的函数值：(1)y=(x+1)(x-2)；(2)y=2x2-3x+2；6.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.