初升高衔接教材

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中学初高中数学衔接教材目录引入乘法公式第一讲因式分解1.1提取公因式1.2.公式法(平方差，完全平方，立方和，立方差)1.3分组分解法1.4十字相乘法(重、难点)1.5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a£0)的因式分解.第二讲函数与方程1.1一元二次方程1.1.1根的判别式1.1.2根与系数的关系(韦达定理)2.2二次函数2.1.1二次函数丫=2*2+6乂+©的图象和性质2.1.2二次函数的三种表示方式2.1.3二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(2)完全平方公式(。土b)2=q2±2ab+/.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(a+b)(a——uh+=/+h；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a+/7+c)〜=a~+b~+c~+2(ab+be+gc)；(a+姆=a3+3a2b+3ab2+b3；(。一bp=/-3/b+3加,对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

1例1计算：(X+l)(x-l)(x2-X+1)(?+X+1).

2解法一：原式+=(x2-l)(x4+x2+1)=x6-1.解法—：原式=(x+1)(r-x+l)(x—1)(%2+工+1)=(x3+l)(x3-l)=x6-1.例2已知q+/?+c=4,ab-^bc+ac=4,求。2+/+。2的值.a~+h~+c~=(q+8+c)~—2(ab+be+etc)—8.习1.填空：(1));121,2A,1、，―q———b-=(—b+—a)(9423(2)(4/n+)2=16/n2+4m+((3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+();)■2.选择题：(1)若/+,加工+攵是一个完全平方式,2(A)tn2(C)-m23,、12(D)—m~16(2)不论a,b为何实数,(A)总是正数(C)可以是零。2+从-2"4b+8的值((B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式：(1)x2~3x+2；(2)?+4x-12；(3)x2—(a+h)xy+aby2；(4)xy—1+x-y.解：(1)如图1.1-1,将二次项？分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是X2—3x+2中的--次项，所以，有

3x2—3x+2=(x—l)(x—2).说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1—1中的两个x用1来表示(如图1.1—2所示).(2)由图1.1-3,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图1.1-4,得x2-(ab)xyaby2=(x-ay)(x—by)(3)xy—l+x—y=xy+(x-y)—1=(x-l)(y+l)(如图1.1—5所示).课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1)+5x-6=o(2)x2-5x4-6=o(3)x+5x+6=o(4)x2-5x-6=。(5)/_(q+1,+Q=o(6)x2-11x4-18=o(7)6x2+7x+2=o(8)4m2-12m+9=。(9)5+lx-6x2=o(10)12x2+xy-6y2-o2、x__4x+=(x+3)(x+)3、若/+〃无+6=(工+2*无一4)则。=,b=o二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)1、在多项式(1)x~+7x+6(2)x'+4x+3(3)x"4-6x+8(4)x"+7x4-10(5)/+15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)2、分解因式。2+8。。-33b2得()A、(a+11)(a—3)B、(a+1lb)(a—3h)C、(a—1lb)(a—3b)D、(a-1l/?)(a+3/?)3、(4+6)2+8[+。)一20分解因式得()A、(q+b+10)(q+/?—2)B、(a+/?+5)(a+8一4)C、(a+/?+2)(a+。-10)D、(a+/?+4)(a+。-5)4、若多项式12-3工+。可分解为(工一5*工一。)，则〃、b的值是()A、ti=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=—10,b=—2D、a=-10,

4b=25,若Y+如-10=(x+a)(x+b)其中a、b为整数，则m的值为()A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9三、把下列各式分解因式]、6(2p_q)_[l(q-2P)+32、o—Sub+(tub4、b4-2b2-83、2y2-4y-62.提取公因式法例2分解因式：(1)a2(fe-5)+a(5-fe)(2)?+9+3x2+3x解：(1).ci~(b—5)+a(5—b)—a[b—5)[a—Y)(2)x3+9+3/+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).或x3+9+3x2+3x=(jc3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+l)3+23=[(x+1)+2mx+1)2-(x+1)x2+22]=(x+3)(x2+3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6/〉-2q2+4孙z中各项的公因式是o2、m[x-y)+-x)=(x-y)•°3、m(x-y)2+n(y—x)2=(x—y)"•«4、m(x-y-z)+〃(y+z-x)=(x-y-z)・。5、m(x_y-z)-x+y+z=(x-y-z)・。6、一13时2/-39a3b2/分解因式得。7.计算99?+99=二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()3、-3x，+6x~-15尤=-3x(x〜+2x-5)()4、xn+xn-'=xn-'(x+l)()3：公式法

5例3分解因式：（1）一/+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2解：(l)-a4+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)(2)(3x+2“一(x-a=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)课堂练习一、a2-2ah+b2,a2-b2,的公因式是二、判断题：（正确的打上“J”，错误的打上"X”）1、-(o.l)2=^|x+0.1^|x-0.1j()2、9a2-8b2=(3a)2-(4Z>)2=(3a+4b)(3a-4Z>)()3、25a2-\6b=(5a+4b)(5a-4b)()4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()5、a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)()五、把下列各式分解1、-9(m-n)2+(m+n)22、3x2--3、4-(x?-4x+2)4、x4—2x~+14.分组分解法例4(1)x2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2x2+孙一,2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x—y+2)(x+y—3).课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)x2-y2-^a2-h2+2ax+2by(2)a?—4。/?+4人2—6。+12人+95.关于x的二次三项式”，加什以0才))的因式分解.若关于X的方程。尢?+/?x+c=O(qr0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式ax2+bx+c(a丰0)就可分解为a(x-*)(x-x2).例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2+2x-1；(2)x2+4xy-4y2.

6解：(1)令V+2x—1=0,则解得芭=—1+及，々=一1一逝，/.x2+2x-l=[x-(-1+(-1-6)]=(X+1-&)(x+1+&).(2)令x?+4盯一4)，2=0,贝D解得演=(—2+2&)y,%=(一2—20)〉,x2+4xy-Ay2=[x+2(1-y/2)y][x+2(1+y/2)y].练习1.选择题：多项式21-砂—15)2的一个因式为()(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x—5y2.分解因式：(1)x2+6x+8；(2)8d3-Z?J；(3)x2—2,y—1；(4)4(x-y+1)+y(y-2x).习题I.21.分解因式：(1)+1；(2)4x4-13x“+9；(3)Z?2+c2+lab+lac+2bc；(4)3x2+5盯-2y2+x+9y-4.2.在实数范围内因式分解：(1)r一5x+3；(2)-2>/2x—3；(3)3x^+4xy—y~；(4)(x2-2x)2—7(x2—2x)-1-12.3.AABC三边a,b,c满足。？+b2+c2=ab+bc+ca,试判定A4BC的形状.4.分解因式：x2+x—(a2—a).

7第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根(1)x2+2x-3=0(2)x2+2x+l-0(3)x2+2x+3=0；用配方法可以将其变我们知道，对于一元二次方程ax2-\-bx+c—0(。切),形为/b.2b2-4ac(x+—广=-2a4a2因为。邦，所以，4«2>0.于是

8(1)当廿一4团>0时，方程①的右端是•个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-b+yjh2-4ac(2)当/一4祀=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bX\=©=-；2a(3)当。2—4改〈0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边。+幺)22a一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程aXi+bx+c=Q(a/0)的根的情况可以由b2~4ac来判定，我们把从一4祀叫做一元二次方程公2+bx+c=0(存0)的根的判别式,通常用符号来表示.综上所述，对于一元二次方程ar2+Ax+c=0(4邦)，有(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根_-b+\b2—4ac(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bXi=应=-；2a(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中。为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.⑴/-3x+3=0；(2)f—以一1=0；(3)X2—ax-\-{a-1)=0；(4)x2—2x+a=0.解：⑴•••A=32-4xlx3=-3V0,.•.方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式△=d-4xlx(-1)=。2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根a++4a-yJa2+4122(3)由于该方程的根的判别式为A=a2-4xlx(a-l)=a2-4a+4=(a-2)2,所以，①当。=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根X\=应=1；②当。羊2时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根X]=l,必=。-1•(3)由于该方程的根的判别式为△=2?—4x1xq=4—467=4(1—a)9所以①当△>(),即4(1一〃)>0,即时，方程有两个不相等的实数根—a,/=1—V1—a;②当A=0,即。=1时，方程有两个相等的实数根X\=%2=1；③当AV。，即时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而

9变化，于是，在解题过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一-思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程尤+c=0（。和）有两个实数根-b+yjb2-4ac-b-yJb2-4ac则有-b+yjh2-4ac-b->Jb2-4ac-2bbX]+/=1==；2a2a2aa-b-^yJh2-4ac-h-y/h2-4ach2-(h2-4ac)4accX1X2==2=2=-2a2a4a4aa所以，•元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2+Z>x+c=0（存0）的两根分别是Xl，X2,那么》1+》2=-2,X1X2a=-.这一关系也被称为韦达定理.a特别地，对于二次项系数为1的一,元二次方程x2+px+q=0,若修，应是其两根，由韦达定

10理可知x।H-%2=p，即P=-（X1+%2）>q=X1X2,所以，方程r+px+qu。可化为/—（X]+m）x+x/x2=0,由于x”型是一,元二次方程f+px+qn。的两根，所以，X],也是一元二次方程x2—（xi+m）x+x/X2=0.因此有以两个数F，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2—（Xi+X2）r4-Xi-X2=o.例2已知方程5/+履-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出人的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：二？是方程的一个根，.,.5x22+*x2-6=0,：.k=~7.所以，方程就为5/—7x—6=0,解得町=2,x2=--.所以，方程的另一个根为一亡，火的值为-7.解法二：设方程的另一^根为R,则2xi=一《，=—T.k由（一士）+2=一£,得k=-7.55所以，方程的另一个根为一3,k的值为-7.例3已知关于x的方程?+2（/n-2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设©，也是方程的两根，由韦达定理，得工1+工2=-2（/72—2）,乃・工2=〃/+4.VX|2+X22-X\*X2=219•••（X）X2）—3%1,%2=21,即[-2（/71—2）]2-3（/+4）=21,化简，得用2—16m—17—0,解得加=-1,或川=17.

11当m=-1时，方程为W+6x+5=0,A>0,满足题意；当m=17时，方程为小+30犬+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.综上，/«=17.说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的”的值即可.（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是x,y,则x+y=4,@xy=-12.②由①，得y=4~x,代入②，得x(4—x)=—12.x2—4x—12=0,x2=6,』2=一2.因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x-4x-12=02n_n的两个根.解这个方程，得X\=,-2,X2=6.所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷.例5若Xi和也分别是一元二次方程2^+5尤-3=0的两根.（1）求|r一刈的值；（2）求4+二的值；(3)xi3+x23.解：和X2分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根,.53♦♦元.+X-=9x.x^=.=竺+6=竺,

12.,•|xi-x2|=j.（3）X]+%2=（X1+X2）（龙广-X1X2+X2）=（X1+》2）[（Xi+为2）-3X1X2137~9说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设尤1和©分别是一元二次方程”2+云+,=0(。邦)，则-b+y/b2-4ac_-b-yJb2-4ac_\/b2-4ac_Va=⑷=两・于是有下面的结论：若xi和M分别是一元二次方程or2+bx+c=0(a#)),则|4一间|=—(其中A=Z>2—4ac).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程f-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.解：设两，必是方程的两根，则xM2=a—4V0,(T)且A=(-l)2-4(a-4)>0.②由①得a<4,17由②得的取值范围是a<4.练习1.选择题：(1)方程工2-2百5+3女2=0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)m<—(B)m>——44(C)mV—,且加和(D)m>——,且加和442.填空:

13(1)若方程工2—3》-1=0的两根分别是看和必，则!+-!-=.x]x2(2)方程川小+戈—2加=0(〃[/))的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3.已知Ja2+8a+i6+|，-l±0,当A取何值时，方程匕2+以+匕=0有两个不相等的实数根？4.已知方程3x—1=0的两根为X]和M，求(X[—3)(X2~~3)的值.习题2.11.选择题：(1)已知关于x的方程，+丘一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)-3(B)3(C)-2(D)2(2)下列四个说法：①方程x2+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；②方程/一级+7=()的两根之和为一2,两根之积为7；7③方程3x2—7=0的两根之和为0,两根之积为一一；3④方程3f+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)l个(B)2个(C)3个(D)4个(3)关于x的一元二次方程以2-5*+°2+。=0的一个根是0,则。的值是((A)0(B)1(C)-1(D)0,或一12.填空:(1)方程—1=0的两根之和为-2,则％=(2)方程Zr?-x—4=0的两根为a,p.则1+/=.(3)已知关于x的方程¥一以一34=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2%2+2¥—1=0的两根为X]和X2，则[X1一应|=3.试判定当切取何值时，关于x的一元二次方程序》2—(2用+1)》+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程？一7k-1=0各根的相反数.B组1.选择题：若关于x的方程x2+(Jt2-l)x+k+\=0的两根互为相反数，则k的值为()(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)02.填空：(1)若in,n是方程x2+2005x—1=0的两个实数根，则m2n+mn2—mn的值等于-(2)如果a,b是方程x2+x—1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+bi的值是.3.已知关于x的方程x?一乙一2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为即和X2,如果2(X|+X2)>X|X2,求实数k的取值范围.

141.一元二次方程”2+儿+0=0(a#))的两根为乐和求：(1)|X|-X2|和(2)婷+应3.2.关于x的方程/+4x+/n=0的两根为X|,©满足|X[—xz|=2,求实数m的值.C组1.选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2f—8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()(A)(B)3(C)6(D)9(2)若莺，©是方程2?一以+1=0的两个根，则工+生■的值为()(A)6(B)4(C)3(D)-2(3)如果关于x的方程x2一2(1—ni)x+"J=o有两实数根a,P，则a+|3的取值范围为()(A)a+P>—(B)a+旺；(C)a+花1(D)a+p

152.2二次函数2.2.1二次函数y=ox2+〃x+c的图象和性质｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图(1)y=?(2)y=-Y(3)y=x2+2x-3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝问题1函数与的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2f,y=^x2,y=-2f的图象，通过这些函数图象与函数y=f的图象之间的关系，推导出函数y=a?与的图象之间所存在的关系.

16先画出函数y=f,y=27的图象.先列表：X~3-2-10123X294101492r2188202818从表中不难看出，要得到2?的值，只要把相应的/的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=7,y=的图象（如图2—1所示），从图2—1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2f的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yy=-2?的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数旷=妙2（分0）的图象可以由的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数7=依2（分0）中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a（x+/i）2+k与丁=以2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数丁=2。+1猿+1与y=2?的图象（如—图2—2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2（xo图2.2-1图2.2-2y=2(x+l)2A)y=2(x+l)2+l+1/+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3f,y=-3（x-l）2+l的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a（x+〃/+无（存0）中决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，无负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=o?+bx+c（a#））的图象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+—x)+c=a(*+—x+-^-)+c-aa4ab24ab、2h2-4ac=CI(X4)—H2a4a所以，ynaf+以+c（存o）的图象可以看作是将函数丁=以2的图象作左右平

17移、上下平移得到的，于是，二次函数丫=以2+以+《。和)具有下列性质：h4”-h2(1)当。＞0时，函数y=ax2+6x+c图象开口向上；顶点坐标为(一二,'——),2a4ahhh对称轴为直线无=一=;当xV-9■时，)，随着x的增大而减小；当工＞一二时，)，随着2a2a2ab4cic~b~X的增大而增大；当x=-=时，函数取最小值y=:.2a4ab4〃/'—h~(2)当qVO时，函数j，=a?+〃x+c图象开口向下;顶点坐标为(-一,),2a4ahhh对称轴为直线*=一二；当时，)，随着x的增大而增大；当工＞-二时，)，随着2a2a2ah4ac—b2X的增大而减小；当x=-=时，函数取最大值J，=二.2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3f—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：y=—3x2—6x+l=-3(x+1)2+4,...函数图象的开口向下；对称轴是直线为=一1；顶点坐标为(-1,4)；当x=-1时，函数y取最大值y=4；当xV-l时，y随着x的增大而增大；当x＞一1时，y随着x的增大而减小；图2.2—5采用描点法画图，选顶点A(—1,4)),与x轴交于点8(25-3,0)和。(一24+3,0),与丁轴的交点为0(0,1),过这五点画出图象(如图2—5所示).

18说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数尸加+bx+c图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数a决定(2)确定对称轴：对称轴方程为x=-22a(3)确定图象与x轴的交点情况，①若△>()则与x轴有两个交点，可由方程下+方^^^求出②①若^力则与x轴有一个交点，可由方程c=0求出③①若△"则与x轴有无交点。(4)确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0,C)(5)由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图(1)y=x~—x—6(2)y—+2x+1(3)y=-x~+1例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示："元130150165W件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量yx(销售价x—120),日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设旷=履+(B)将x=130,y=70；x=150,y=50代入方程，有j70=130k+b,[50=150k+b,解得k=-T,b=200.y=—x+200.设每天的利润为z(元)，则z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600,...当x=160时，z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数y=f+6x+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求江c的值.h序解法一：y=x2+bx+c=(田-y+c——，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移424个单位，得到y=(x+2+4)2+c-幺+2的图像，也就是函数的图像，所以，24

19b2解得b=-8,c=14.c——+2=0,4解法二：把二次函数y=f+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图像，等价于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数y=*的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数、=(x—4尸+2的图像，即为y=x2—8x+14的图像，二函数y=f—8x+14与函数y=，+bx+c表示同一个函数，.*./>=—8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=f,-2

20m=时，函数图象的顶点在x轴上；当机=时，函数图象经注原点.(3)函数丫=-3。+2y+5的图象的开口向,对称轴为，顶点坐标为；当x=时，函数取最值y=；当x时，y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况,并画出其图象.(1)y=x2-2x—3；(2)y=1+6x—x2.4.已知函数y=-x2-2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)烂一2；(2)烂2；(3)一2—1；(4)0

21轴交点个数与根的判别式八=从-4ac存在下列关系：(1)当A>0时，抛物线y=ax2+Ax+c(a#))与x轴有两个交点；反过来，若抛物线7=/+取+<：(分0)与x轴有两个交点，则A>0也成立.(2)当A=0时，抛物线》=++以+«存0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=or2+)x+c(a#))与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AV0时，抛物线尸—十加r+c(a#O)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ox2+〃x+c(分0)与x轴没有交点，则AV0也成立.于是，若抛物线y=ax2+bx+c(arO)与x轴有两个交点A(xi，0),B(x2>0),则Xi，©是方程ax2+/?x+c=0的两根，所以,_b_cX\IX2~9X\X2~-9a-ahc即一=—(即+12)，—=X1%2-aa所以，y~~H-bxH-c~~tz(h—x4—)aa=6f[x2—(X|+X2)x+xi%2]=a(x-x\)(x—X2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线旷=。/+以+<:(分0)与x轴交于4(X1，0),5(X2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—xi)(x—x2)(a#).这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：1.交点式：y=a(x—xi)(x—*2)(。邦)，其中x”X2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例1已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.解：•••二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，...顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+l上，所以，2=x+L/.x=l.二顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+l(a<0),•.•二次函数的图像经过点(3,-1),—1=a(3—2)2+1,解得a=-2.二次函数的解析式为y=-2(x-2>+1,即y=-2x2+Sx-7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.

22解法一：：二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),.,.可设二次函数为y=a(x+3)(x—1)(*0),展开，得y=ax2+2ax—3a,-12a2-4a2顶点的纵坐标为一^~~—=-4a,4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,4a|=2,即a=±g.1,31,3所以，二次函数的表达式为丫=上/+》一己，或丫=一上》2—式+己.22-22分析二：由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以，对称轴为直线x=-l,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：：二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),二对称轴为直线x=-l.又顶点到x轴的距离为2,.•.顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为y=a(x+l)2+2,或y=a(x+l)2—2,由于函数图象过点(1,0),.*.0=a(l+1尸+2,或0=a(l+l)2-2.所以，所求的二次函数为y=-L(x+iy+2,或y=L(x+l)2-2.22说明：上述两种解法分别从与X轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y=or2+bx+c(ar0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

23—22=。—b+c,-8=c98=4。+2h+c,解得a=-2,6=12,c=-8.所以，所求的二次函数为y=-2f+12x—8.通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题：()(D)无法确定()(1)函数y=-f+x-l图象与x轴的交点个数是(A)0个(B)1个(C)2个(2)函数y=一夏。+1尸+2的顶点坐标是(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)2.填空：(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a(a#)).(2)二次函数y=-f+2yiv+l的函数图象与x轴两交点之间的距离为.3.根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,—3),(―1,—6)；(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；(3)函数图象与x轴交于两点(1—0)和(1+啦，0),并与y轴交于(0,-2).2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1.平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这•特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.

24例1求把二次函数y=W-4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：(1)向右平移2个单位，向下平移1个单位；(2)向上平移3个单位，向左平移2个单位.分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变…次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式.解：二次函数y=2/-4x-3的解析式可变为y=2(;r—I)2—1,其顶点坐标为(1,-1).(1)把函数y=2(x—l)2-l的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x—3)2—2.(2)把函数y=2(x-l)2-l的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(-1,2),所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(无+1了+2.1.对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是耍抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.例2求把二次函数y=2?—4x+l的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：(1)直线》=-1；(2)直线y=l.解：(1)如图2.2-7,把二次函数y=2r2—4x+l的图象关于直线8=-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状.由于y=2x2~4x+1=2(x-l)2-1,可知，函数y=2f—4x+l图象的顶点为A(l,-1),所以，对称后所得到图象的顶点为4(一3,1),所以，二次函数y=2?—4x+l的图象关于直线xy=2(x+3)2—1,即y=2f+12x+17.(2)如图2.2-8,图2.2-7一1对称后所得到图象的函数解析式为把二次函数y=2f—4x+1的图象关于直线x=-l作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状.由于y=2/一以+1=2(尤-1)2—1,可知，函数y=2?—4x+l图象的顶点为A(l,—1),所以,对称后所得到图象的顶点为B(l,3),且开口向

25下，所以，二次函数y=2?—4x+l的图象关于直线y=l对称后所得到图象的函数解析式为y=-2(无一1尸+3,即y=-2x2+4x+1.练习1.选择题：(1)把函数y=—(x-1)2+4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为()(A)y=(x+l)2+l(B)y=-(x+l)2+l(C)y=-(x-3)2+4(D)y=-(x-3)2+l第三讲三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-2如图3.2-1,在三角形aABC中，有三条边,三个顶点A,8,C,在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、尸分别为AABC三边BC、CA、A8的中点，求证AD.BE、CF交于一点,且都被该点分成2：1.证明连结。E,设AO、BE交于点、G,QD、E分别为BC、AE的中点，贝ljDE//AB,且DE=-AB,2\YGDEsYGAB,且相似比为1：2,\AG=2GD,BG=2GE.图3.24设A。、CF交于点G，,同理可得,AG'=2G'D,CG'=2G'F.则G与G，重合，\A。、BE、CF交于■一点、,且都被该点分成2:1.

26图3.2-5即AE=AF=b+c-a三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2已知V48C的三边长分别为8C=a,AC=c,I为VA8C的内心,且I在7ABe的边8C、AC、A8上的射影分别为D、E、F,求证：证明作V45C的内切圆，则。、E、尸分别为内切圆在三边上的切点，QAE,A/为圆的从同一点作的两条切线，\AE=AF,同理，BD=BF,CD=CE.\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知。为三角形A8C的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明如图，连A。并延长交于DQ0为三角形的内心，故A。平分DB4C,\丝=股（角平分线性质定理）ACDCQ。为三角形的重心，。为8c的中点，即BD=DC.AR\—=1,即A8=AC.AC同理可得，AB=BC.\VA8C为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心•定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

27例4求证：三角形的三条高交于一点.已知VA8C中，AD人BC于D,BE八AC于E,AD与BE交于H点、.求证CH~AB.A证明以C”为直径作圆，/鼠QA0ABC,BE^AC,\?HDC?HEC90",/\\。、E在以C”为直径的圆上，//'I；、、\\?FCBDEH./，I/、''c同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得畛与?BEDBAD.D\?BCHBAD，图3.2-9又V48O与VC8尸有公共角£)8,\?CFB?ADB90",B|JC/7AAB.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心。为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.(1)若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为a、b、c,则三角形的内切圆的半径是；(2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c(其中c为斜边长)，则三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.