初中数学 定角夹定高

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定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值A（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形ABC当中，∠BAC是一个定O角，过A点作BC边的高线，交BC边与D点，高AD为定值。从动态图中（如图定角定高1.gsp）我们可以看到，如果顶角和高，都为BDC定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC的长是最小的，从而三角形ABC的面积也是最小的。定角定高1.gsp定角定高.html（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接OA,OB,OC。过O点作OH⊥BC于H点.（如图1）显然OA+OH≥AD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”。由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆o的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值。因此OH和圆O的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH也和⊙?的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH≥AD，就可以求得圆O半径的最小值。[简证：OA+OHADOEDH为矩形，OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]下面我们根据一道例题来说明它的应用。例：如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4，AD∥BC，∠B=60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°，则△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。AD【简答】图中有角含半角模型，因此我们想到旋转的方式来处理.F将△ADF绕A点顺时针旋转120°，得△ABF′，则∠EAF′=60°，易证△AEF′≌△AEF，作△AEF′的外接圆⊙O，作BCOH⊥BC于点H，AG⊥BC于点G，则∠F′EOH=60°，AG=√3??=2√3，设⊙O的半径为AD2???Fr，则OH==.22?4√3O∵OA+OH≥AG，∴?+≥2√3，∴?≥23CF'BHGE1∵∠FAE=∠F’AE=∠FOE=60°2

1∴F’E=√3?1′∴?∆???=?∆???′=⋅??⋅??21=×√3?⋅2√3≥4√32∴△AEF的面积最小值为4√3以下是两到相关的针对练习题，大家学习完以后可以去自主的完成一项，后面也有详细的解答过程，做完以后大家可以对照一下答案，学会了这种类型题的解法。解题步骤：1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值。【针对练习】1.（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由.（2）如图2，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草。在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6√2，点E、F分别为边AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。CDFCADBAEB图2图1（1）解：如图1-1作△ABC的外接圆⊙?，连OA、OB、OC，作OH⊥AB于H11√3①设⊙?半径为r，则OH=??=?，AB=2AH=2×??=√3?2221②∵CO+HO≥CD即r+?≥4得r2③（2）分析：此处求面积最大值，而定角定高一般求面积最小值。由于：四边形四边形=（）

2因此，只要最小，面积最大四边形解：如图1-2所示在AB上找一点H，使AH=HC。延长AB至G，使BG=FD，连CG，作△CEG的外接圆①证AC为∠BAD平分线②求面积。∠CHB=45°，AH=CH=四边形HB=BC=AB=12+四边形=③△CDF≌△CBG，则=④求最小面积∠ECG=135°-90°=45°定角，CB=定高Ⅰ.设的半径为r，则EK=OK=，EG=2EK=Ⅱ.CO+OK即r+rⅢ.⑤求的最大值。四边形四边形四边形=（）2.已知等边△ABC，点P是其内部一个动点，且AP=10，M、N分别是AB、AC边上的两个动点，求△PMN周长最小时，四边形AMPN面积的最大值.分析：①△PMN最小值即将军饮马问题。如图2-1。APBC

3②四边形AMPN面积该如何表示？如图2-2AP=10，则P在以A为圆心10为半径的圆上由轴对称性可知，，=四边形∵∴只要最小，则最大四边形③最小，且∠MAN=60°定值，AD=定值，即定角定高问题解：①求△PMN周长最小。作P关于AB的对称点，作P关AC的对称点，连。此时，△PMN周长即为最小（两点之间线段最短）②四边形AMPN面积表达式。连、，过A作AD⊥，，又∴AD=∴四边形∴当最小时，最大四边形③求的最小值。如图2-3作△AMN的外接圆，连OA、OM、ON，作OH⊥MN于HⅠ.设的半径为r，则OH=，Ⅱ.AO+OH，即，rⅢ.④四边形∴四边形AMPN面积最大值为这就是我们所说的定价定高类隐形圆的处理方法。相对来说难度还是比较大的，这类题通常会作为中考压轴题出现，如果没有学习过解题方法的话，自己是很难想出来它的做法，希望同学们下去以后多加练习。只要方法掌握了以后，其实也是很容易拿到满分的。

4【同类配题】1.如图3，四边形ABCD中，AB=AD=4，∠B=45°，∠D=135°，点E，F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF=∠C=60°，求△AEF的面积的最小值.2.如图4，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=60°，∠D=120°，AD=5，AB=6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF=45°，求△AEF面积的最小值.3.如图5，四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，∠C=90°，AD=2AB=2，M、N分别在直线BC、CD边上，∠MAN=60°，求△AMN面积最小值.4.如图6，四边形ABCD边长为6的菱形，其中，，E、F分别在射线AB、BC上，∠EDF=90°，求△EDF面积的最小值.