6［例1.10］选择题56设函数/（x）=J『sin（产W，g（x）=\+誉，则当x->0时,/（%）是g（x）的（）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小［例1.11］求linJ「（1+rJ-'%.注《。）.——XT8丫J',［例1.12］确定a,b,c值，使limfInIX［例1.13］填空题设lim（土即］=8,则。=.X^°Vx-a）［例1.14］选择题xf0时，e*-+法+1）是比『高阶无穷小，则（（A）a=—（B）a=1,/?=12
7（C）a=—,b=1（D）a=—\,b=1［例1.15］设xf0时，（1+以2尸一1与cosx-1是等价无穷小，求常数a之值.［例1.16］填空题设“x）=（c°sx）"，x*0,在》=0连续，则。=_a,x=0,［例1.17］当大90时，下列无穷小：ln（l+x）,x-sinx,/tanx,l-Vcosx21巾|中（）是X的低阶无穷小；（）是X的一阶无穷小；（）是》的二阶无穷小；（）是f的高阶无穷小.［例1.18］选择题当X—>0+的无穷小量a=j；cos产力，尸=£tan&dt,y=。sin-力排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）.（A）a、（3,y（B）a,y,。（C）/3,a,y（D）p、y,a［例1.19］求limx"，x“=£J+-^■一1.
8［例1.20］求limH—>00.71sin——+,2ttsin——T-+...+sin^二n旬>0,［例1.21］设a>0,数列｛%｝满足《%+1n=0,1,2,...求liman.［例L22］填空题(\r1limn——；"—>+oo-Ie"-17［例1.23］设a>0,尸HO且lim(x2a+xaV-x2=£,则(a1)=
9［例1.24］设/(x)是区间［0,+8)上单调减少且非负的连续函数，(n=1,2,…)，证明数列｛4｝的极限存在.hl题型五讨论函数的连续性与间断点的关系［例1.25］设〃x)=X2,x<1,l-x,x>1,x,x<2,g(x)=<2(x_l),25.的连续性，若有间断点并指出类型.［例1.26］选择题1-COSX八X>(J设/(x)=14'’其中g(x)是有界函数，则/(x)在尤=0处().［x2g(x),x<0,(A)极限不存在；(B)极限存在，但不连续；(C)连续，但不可导；(D)可导.［例1.27］选择题
10—ln(l+x3)sin-,x<0,xv7x设〃x)=<0,x=0,则/(x)在工=。处().—［sin(J)dr,x>0,(A)极限不存在；(B)极限存在，但不连续;(C)连续，但不可导；(D)可导.［例1.28］选择题{xarctan二，x工0,则“X)在》=0处()0,x=0,(A)不连续；(B)连续，但不可导；(C)可导但f(x)在x=0处不连续；(D)可导且f(x)在x=0处连续.［例1.29］求函数/(x)=(l+x)4在区间(0,2万)内的间断点，并判断其类型.［例1.30］设/(x)在(-8,+oo)内有定义，且列mf(x)=a,x—><30=则().|o,x=O,(A)x=0必是g(x)的第一类间断点；
11(A)x=0必是g(x)的第二类间断点；(B)x=0必是g(x)的连续点；(C)g(x)在点x=0处的连续性与。的取值有关。［例1.31］设/(尤)在［0,+8)连续，lim/(x)=A>0,求证:(1)lim£f{t}dt=+oo;(2)limf/(nx)dx=A.71->+00M\/［例1.32］设/(x)在［a,可上连续〃a)=/(b),证明:至少存在/e［a,b］,使/(入0)=/(/+勺］.［例1.33］填空题limtan""TOO712一十一4n［例1.34］填空题在区间［0』上函数，(x)=nx(lT)”的最大值记为M(〃).则
12limM(n)=n->oo'7［例1.35］填空题ln(l+x)X=0,在x=0处可导，则常数a,b,c分别等于sin/?x八4-ex,x<0［例1.36］以卜］表示不超过x的最大整数，试确定常数a的值，使limxtO(2\Inl+evIJln[14-e—［例1.37］选择题存在，并求出此极限.设常数q>0(i=L2,3)，4<4<4.则方程
13(A)没有根;(B)正好有一个根;(C)正好有两个根;(D)正好有三个根.二、一元函数微分学（-）本章的重点内容与常见的典型题型一元函数微分学在微积分中占有极甫要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.本章内容归纳起来，有四大部分.1.概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；2.运算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式：3.理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；4.应用部分：利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面的应用.常见题型有：1.求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导.2.利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证明在开区间至少存在一点满足……”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等.
141.利用洛必达法则求七种未定型的极限.2.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。3.利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。（二）知识网络图
15r导数的定义导数的概念］导数的几何意义、切线方程的求法导数的计算（基本初等函数的导数导数的四则运算反函数的导数隐函数的导数复合函数的导数高阶导数导数L罗尔定理中值定理＜拉格朗日中值定理、柯西中值定理洛必达法则求极限r函数的单调区间研究函数性质I函数的极值、最值应国及几何应用I曲线的凹凸性及拐点、渐近线、函数作图济/边际、弹性＜经济中的最大值和最小值应用L微分概念微分微分的计算、一阶微分形式不变性
16(三)典型题型分析及解题方法与技巧题型一有关一元函数的导数与微分概念的命题［例2.1］选择题设/(无。)=0J(x)岔=X。连续，则/(x)在x0可导是(x)|在X。可导的()条件.(A)充分非必要；(B)充要：(C)必要非充分；(D)非充分非必要.［例2.2］填空题设/(x)在X。处可导，则⑴］而如匚吐3=；%-»oh⑵一/d一")=;/i—>0h(4)"小。+》小。-£l卜——；(5)lim-----r=;—7(/)-/(%+无)(6)当〃―8时，X.与y“为等价无穷小，则lim，［例2.3］选择题设/(x)在x=a处的某个定义域内有定义，则/(x)在x=a处可导的一个充分条件是().
17(A)Jim+存在；(B)1汕3生空叫存在;/t->0h(C)lim存在；1。2h(D)--存在./»->0h［例2.4］tillf(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式：/(1+sinx)-3/(1—sinx)=8x+a(x),期1a(x)是当x—>0时比x高阶的无穷小，且/(x)在x=l处可导，求曲线y=/(x)在(6,/(6))处的切线方程。［例2.5］求下列函数在指定点处的导数(Df(x)=(arcsinx)J^-SinX»求尸(0)；V1Isir^(2)设=--匕x),其中0(x)在x=a处可导,求/'(0);(3)设函数/(x)在x=0处可导，且/'(())=§,又对任意的x,有/(3+x)=3/(x),求尸⑶.
18题型二利用导数定义函数方程［例2.6］设“X)在(一叫+oo)上定义，且尸(0)=a(ar0),又Vx,ye(—8,+oo)有/(x+>)=，求了").类似题：设/(x)在(0,+oo)上有定义，且/'(l)=a(aH0),又对Vx,ye(0,+oo),有f(M=f(x)+f(y)，求”x).题型三可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论［例2.7］设=g(x)e(x),°(x)在x=a处连续，但又不可导，又g'(a)存在，则g(a)=O是/(x)在x=a处可导的()条件.(A)充要；(B)充分非必要；(C)必要非充分；(D)非充分非必要［例2.8］函数/(x)=(x2-x-2)|x3-x|#()个不可导点.(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.
19题型四求函数导数与微分［例2.9］求下列函数的导数与微分tan—.1⑴设y=ex-sin—,dy；(3)设尸(%)=$吊(r)j/，sinx2W，求^~；(4)设sin(/+丁2)+靖—“J=o,求牛;
20(5)已知y=f3x-23x+2=arctan(x2)»则dydx.v=0(6)由方程组《:'+2Z，(021题型五利用导数研究函数变化的命题［例2.12］选择题若〃力=-〃-x)，在(0,m)内尸(x)>0J"(x)>0,则/(x)在(一8,0)内().(A)/,(x)<0,/,,(x)<0；(B)/,(x)0；(C)/•(x)>0JM(x)<0；(D)/•(x)>0,/M(x)>0.［例2.13］设函数“x),g(x)是大于零的可导函数,且/'(x)g(x)-/(x)g*(x)<0,则当时，有().(A)f(x)g(b)>/(b)g(x)；(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)；/(b)g(b)；(D)f(x)g(x)>f(a)g(a).［例2.14］选择题已知函数f(x)在x=0的某个邻域内连续，且/(0)=0,叫］，(；)=2,则在点x=0处/(x)().(A)不可导；(B)可导，且尸(0)H0；(C)取得极大值；(D)取得极小值.［例2.15］选择题若lim［型"犯］=。，则）.1。（XJXT。X（A）0；（B）6；（C）36；（D）oo.［例2.16］选择题设在二阶连续导数且/'（0）=0,1盘/晶=1,则（）成立
22（A）40）不是/（x）的极值，（0,〃0））也不是曲线y=/（x）的拐点；（B）/（0）是〃力的极小值：（C）（0,/（0））是曲线的拐点；（D）/（0）是/（到的极大值.［例2.17］选择题设函数y=/（无）是微分方程y"-2y'+4y=0的一个解且/（x0）>0,/'（xo）=O,则/（x）在点与处（）.（A）有极大值；（B）有极小值；（C）在某邻域内单调增加：（D）在某邻域内单调减少.［例2.18］设e［例2.19］证明：当023［例2.20］设y=/(x)=-1)arctanx,求渐近线.［例2.21］求证：方程Inx=4一］：J1一cos2xdx在(0,+8)内只有两个不同的实根.题型六杂例与中值定理证明题［例2.22］设/(x)在［0,可上连续，且j=0,1/(x)cosxdx=0.试证明：在(0,万)内至少存在两个不同的点短基/(^)=/«2)=0.［例2.23］设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且满足:1/(1)=xe]~xf(x)J依>1),证明：至少存在一点Jw((M),使得广(4)=(1—三|)/(4).
24［例2.24］设/(x)在区间卜a,a］(a>0)上具有二阶连续导数，/(0)=0(1)写出了(力的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;⑵证明在［-a,a］上至少存在一点〃，使：//"(〃)=3£'［例2.25］设函数/(x)和g(x)在功上存在二阶导数，并且g"(x)w。，/(a)=/(b)=g(a)=g(b)=O，试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)#O；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点自，使(鲁=彳3・［例2.26］设/（x）在区间［0』上连续，试证明存在&e（O,l）,使若又设/（x）＞0且单调减少，则这种自是唯•的.［例2.27］设函数”X）在区间［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且/（0）=/。）=0，/（；）=1•试证：（1）存在77e（g,l）,使/（〃）=〃：（2）对任意实数4,必存在自€（0,〃），使得/信）一式/（《）一自］=1
25三、一元函数积分学（一）本章的重点内容与常见的典型题型本章和一元函数微分学一样，重点内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及应用部分.1.概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及反常积分的概念.考试的重点偏重对定积分概念的理解上.2.运算部分：变上限积分及其导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法.3.理论部分：变上限定积分及其求导定理，牛顿-莱布尼茨公式，积分中值定理..应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量；5.综合性试题.（二）知识网络图
26像函数，不定积分不定积分〈积分法W基本积分表俄元积分法《承一换无法（凑微分法）分部积分法磔-换兀法<‘二次根式——用三角函数换元UL类函数的积分心理函数的积分最简根式一部分分式法（定枳分的概念L简单三角函数有理式的积分定义——分割，近似代替，求和，取极限I何意义——平面图形面积的代数和f(x)士g(x)px=f(xg土fg(x)rfx2、对积分区间nJ■加性^f(x)dx=^f(x)dx+^f(x)dx定积分定积分的性质4、比较性质：f（x）27
28(3)dxarctanlU=arctanl71~2(4)若mV/(x)WM,则-a)Wf^cM［b-aj.［例3.4］函数尸(*)=［es,n,sintdt().(A)为正数；(B)为负数；(C)恒为零；(D)不是常数.［例3.5］选择题n•n设M=R；n：=SaxdxN=［(sin3x+cos4xpx,P=jX(^2sin3x-cos4x),贝ij().(A)N29(D)当/(x)是单调增函数时，产(力必为单调增函数.［例3.7］设在［a,句上连续,xe(a,fe),证明:题型二求分段函数的原函数与定积分,、fsin2x,x<0,...,［例3.8］设皿2川口〉0求小)的原函数广⑸［例3.9］计算/=JJk(x-2)|dx.［例3.10］设/(%)在(-00,+8)内满足/(x)=/(x-^)+sinx,且f(x)=x,xg［0,^］,计算/=题型三不定积分与定积分的计算-1m.rarctan",［例3.11］求J——dx.
30［例3.12］求f-勺J（2x2+1）a/P+1［例3.13］设〃lnx）="（［'）,计算［例3.14］填空题「工dx_，（x+7）Jx-2一［例3.15］设函数5（x）=jJcosM,(1)当"为正整数，且〃；r«x<(〃+l))时，证明:2n+00X［例3.16］设/(x)在(-8,+00)上有定义，对于任意的x,y,恒有/(x+y)=/(x)+/(y),求£/(x)(l+cosx)t/x.
31［例3.17］求，xj(x-a)(b-x)dx.［例3.18］设/(x)=£詈/r,求］：/(xg.
32(类似)设/(x)=［＞)%,求［例3.19］设=Inx2-且/(e(x))=Inx,求x〜_2J［例3.20］求『xe~x(")2题型四证明积分等式与不等式［例3.21］设/(x),8(力在区间［一。,可(。＞0)上连续，g(x)为偶函数，且/(x)满足条件/(x)+/(—x)=A(A为常数).(1)证明：£/(x)g(x)dx=g(x)Jx；(2)能利用(1)的结论计算「|sinx\arctanexdx.~2［例3.22］对于xNO,证明/（x）=（«-产卜亩2"/力（〃为自然数）的最大值不超过7777•
33（2〃+2）（2〃+3）［例3.23］设/（x）在［a,b］有二阶连续导数，〃a）=，（b）=O,M=max|/"（无）］.证明：£f{x}dxW（\；）M.［例3.24］设f（x）在［0』可导,/（0）=0,0
34(1)*x)一定能表示成f(x)=Ax+e(x),其中k为某常数，8(x)是以T为周期的周期函数；⑵理;□(加孙(9；⑶若又有/(x)20(xw(-8,+oo)),〃为自然数，则〃TVxW(〃+l)丁时，有题型六定积分的几何应用［例3.27］(1)由曲线y=lnx与两直线丁=6+1-》及y=0围成平面图形的面积S=；
35(2)下列可表示双纽线+/)2=x2-y2围成平面区域的面积是()；其(A)2fcos26de；(B)4fcos26d6＞；n(C)2^y[co^20d0；i兀(D)-Fcos22^.2J)）；（3）由曲线y=x（x—l）（2—x）与x轴围成平面图形的面积5=（(A)j^x(x-l)(2-x)dr-Jx(x-l)(2-x)tZx；(B)(C)-jx(x—1)(2—；1)(2-x)dx+jx(x-l)(2-x)Jx；(D)jx(x-l)(2-x)dr.（4）由参数方程4x=〃(1—sinf),y=6f(l-cosr).（00是常数.试确定a的值.［例3.29］已知抛物线y=pf+g尤(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与X轴所围成的平面图形的面积为S,(1)问p和q何值时，S达最大值？(2)求出此最大值.［例3.30］过坐标原点作曲线y=Inx切线，该切线与曲线y=lnx及X轴围成平面图形O.
36(1)求。的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.［例3.31］曲线y=―-—与直线x=r(f>0)及y=0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(r),侧面积为S(r),在x=r处的底面积为F(r).(1)求当"的值；
37(2)计算极限limS”)尸⑴［例3.32］设曲线方程y=eT(xNO).(1)把曲线y=e-x,x轴，y轴和直线x=J(J〉O)所围成的平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积v(g)：求满足V(a)=g"mV⑷的a；(2)在此曲线上找•点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.
