启未教育__五升六奥数讲

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(1)9.9x6.8+0.68【例1】.简算：思路导航：题中，9.9接近10,解法一：9.9x6.8+0.68=99x0.68+1x0.68=(99+1)x0.68=100*0.68=68想想还有别的解法吗？同步导练一：1)272.4x6.2+2724x0.38第1讲小数的巧算与速算且6.8和0.68都是有6、8这两个数字解法二：9.9x6.8+0.68=9.9x6.8+0.1x6.8=(9.9+0.1)x6.8=10*6,8=68(2)1.25x6.3+37x0.125(3)7.24x0.1+0.5x72.4+0.049x724(4)6.49x0.22+258x0.0649+5.3x6.49+64.9x0.19启未数育名校冲刺班奥数教程

1【例21：(2+0.48+0.82)x(0.48+0.82+0.56)-(2+0.48+0.82+0.56)x(0.48+0.82)思路导航：整个式子是乘积之差的形式，它们构成很有规律，如果把2+0.48+0.82用A表示，把0.48+0.82用B表示，则原式化为Ax(B+0.56)-(A+0.56)xB,再利用乘法分配律计算，大大简化了计算过程.解：设A=2+0.48+0.82B=0.48+0.82,原式=庆、0+0.56)-/+0.56)、8=AxB+Ax0.56-(AxB+0.56xB)=AxB+AxQ.56-AxB-0.56xB=0.56x(A-B)=0.56x2=1.12同步导练二：(1)(37+4.8+5.9)x(4.8+5.9+7)-(3.7+4.8+5.9+7)x(4.8+5⑼启未数育名校冲刺班奥数教程

2(1)(4.6+4.8+7.1)x(4.8+7.1+6)-(4.6+4.8+7.1+6)*(4.8+7.1)【例三】：计算76.8+56x14思路导航：这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在后面添括号，括号里面要变号，也”变变“X”。不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。解：76.8+56x14=76.8+(56+14)=76.8+4=19.2同步导练三：⑴144+15.6x13(2)63x55-7+11

3(3)(48x75x81)+(24x25x27)［例四］:0.999x0.7+0.111x3.7思路导航：本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算=0.111x9*0.7+0.111x3.7=0.111x6.3+0.111x3.7=0.111x(6.3+3.7)=0.111x10=1.11(2)0.222x0.778+0.444x0.111同步导练四：(1)0.999x0.6+0.111x3.6

4(3)0.888x0.9+0.222x6.4(4)0.111x5.5+0.555x0.9Zj=0.00...08,Vf2000个05.下面有两个小数:a=0.00...0125\/Y1996个0试求a^b,a-b,axb,a：b.启未数育名校冲刺班奥数教程

5第2讲用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。A分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质,差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）>2+2=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。启未数育名校冲刺班奥数教程

6例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于10x8-2+10=50（厘米2）。例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形启未数育名校冲刺班奥数教程ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。例4下页上图中，ABCD是7x4的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

7分析：直接求出三角形BC。与三角形EF。的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B,E(见左下图)。三角形BCO与三角形EF。都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4、(10-7)+2-2*(10-7)+2=3o解法二：连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4、(10-7)+2-2x(10-7)+2=3。启未数育名校冲刺班奥数教程解法三：延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BC。与三角形EF。都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)x(10-7)+2-2x(10-7)=3。

8解法四：延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4x(10-7)-(10-7)x(4+2)+2=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图)，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4x4+2=8(厘米2)。

9练习:1.左下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。1.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。07.下图中，三角形ABC的面积是30厘米2,AE=ED,BD=-BC,求阴3影部启未数育名校冲刺班奥数教程分的面积和。A

10第3讲逻辑问题从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。逻辑推理必须遵守四条基本规律：（1）同一律在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。（2）矛盾律，在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。

11（4）理由充足律.在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件"”与“x”只有一个成立，就是利用了排中律。例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：（1）英语老师和数学老师是邻居；（2）王仁年纪最小；（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；（4）体育老师比语文老师年龄大；（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程。分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出下图的表格,表内用"”表示肯定，用“x”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个%/”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“，，其余均为“X”。语数英音美体张王陈语数英音美体张XX王XXX除由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到右上表由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到左下表。

12悟数英音美体张XXX王XJXXX陈XXy语数英音美体张XXXX王XXXX陈XXXX由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见右上表。所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个%;”，每列只有一个其余都是，，X”这个隐含条件。例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：启未数育名校冲刺班奥数教程

13却表2表3一小二小三小一小二小三小一小二小例X岫J小芳X小芳X羽初械X因为各表中，每行每列只能有一个%/”，所以表3可补全为表4。一小二小三小翻JXX可钳XX/践原XX奏4耒5一小二小孙悔X/X精XXJ悔XX由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4,得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”请判断这一天是星期几。分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。例4A，B-C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。A："C>D两人中有人做了好事。”B：“C做了好事，我没做。”C："A，D中只有一人做了好事。”

14D：“B说的是事实。”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？分析与解：我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1）假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。综上所述，做好事的是B与D。练习1.A-B-C-D-E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。A说："我坐在B的旁边。"B说："坐在我左边的不是C就是D。”C说：“我挨着D。”D说：“C坐在B的右边。”启未数育名校冲刺班奥数教程实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？2.从A，B，C-D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：

15（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A-E，F三种产品中要选两种；（4）B-C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；（2）老张的女儿不是小红；（3）老陈和方丽不是一家人。请你将三户人家区分开。4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；（3）乙不是工人。后未教育名校冲刺班奥数教程求这三人各自的籍贯和职业。5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（1）三人都说谎；

16（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎。3.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。第4讲：分解质因数专题分析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。【例1】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1,小于18。一共有多少种不同分法？启未数育名校冲刺班奥数教程练习：1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人，有哪几种分法？

172、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1,一共有几种分发?3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少？【例2】、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。启未数育名校冲刺班奥数教程

18练习：1、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积。2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？3、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少？【例3】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。练习:2、5、14、24、27、55、56、99启未数育名校冲刺班奥数教程把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。

19【例4】、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？练习：1、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。求有多少个同学？2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几号？3、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个?第5讲：最小公倍数专题分析：

20几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。记住以下公式：最大公因数X最小公倍数=这两个数的积。【例1入两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90。挺两个数分别是多少？练习：1、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90。求这两个数分别是多少？2、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60。求这两个数的和是多少？后未教育名校冲剌班奥数教程3、两个数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。求这两个数分别是多少？【例2】：甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去1次，乙4天去1次，丙5天去1次。有一天三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们又在图书馆相会？针对练习：1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三路车同时发车后，至少要

21过多少分钟又有这三条线路的车同时发车？2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。二班的同学每隔6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷第6讲：裂项法(一)专题简析同学们知道,在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。例如！--=一，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把3412这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：11_〃+1nn〃+1n(n+l)n(n+l)_〃+_1〃(〃+1)n(n+l)〃(〃+1)n724-1下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。［例1］计算：5+5+5+••••・•+51985x19861986x19871987x19881994x1995111H111995x19961996x19971997

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23像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中•部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。【课堂随练】求10x1114F11x121+59x60的和。[例2].计算:1111—I1Fd11+21+2+31+2+3+—+100【例3】.请在()、<>里填上适当的自然数，使得算式■!=」—+—!_成6()<>11111+1x33x55x711993x19951995x1997启未数育名校冲刺班奥数教程

24【课堂随练】计算^7+7^?+9xll-llxl3-13x15【例5】.计算：-+—!—+—i—+i+•••+i22+32+3+42+3+4+52+3+4+…+200裂项法（一）练习1111+++…+1x22x33x449x50

252.计算:-+-+—+—+—+—+3610152128136111+一+一+一+455566178+一+——+——911051203.1x33x55x7199x1014.求和：-+—1—+1+…+133+43+4+53+4+5+63+4+5+-+20

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275.求和:,1—Jr1cl,,11—+3—+5——+7——+9+11——104088154238340裂项法（一）作业1.计算:1+1x21111FF***dF2x33x498x9999x1002.]+-!-+―!—+!+・・・+!1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+---+53.求出一对自然数x与y,使得等式-L=,+_L成立。18xy

284.——4-1x44x7+7xl0+…+49x52第7讲：裂项法（二）【例1】求二-+1x32213x55x72H97x99的和

29【例2】计算:1F1x3x53x5x74493x95x9795x97x99【例3】计算:1Flx2x3x42x3x4x5【例4】99989711FF,••+1x2x32x3x43x4x599x100x101

30【例5】计算+++…H1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2+3+…+49)x(l+2+3+・・・+50)裂项法（二）练习2.—!—+—!—+—1—+・・・+!1x3x52x4x63x5x720x22x243」+2+-2_+22x32x3x42x3x4x5+…-I2x3x4…xl启未数育名校冲刺班奥数教程

314计算:1111+++++F244880120168224x64裂项法（二）作业1.++1x2x32x3x43x4x5+…+119x20x22.H19x21x214+1x3x53x5x75x7x9

323.42,d+LLLLU82448801201684.计算:1612I20+9F11F131-15304256I72[]]5.计算：Ix2x3x42x3x4x5……1Ml€阳2启未数育名校冲刺班奥数教程

33第8讲消去法解题（一）知识要点在一些比较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比较简单的应用题来解答。我们把这一类的思考方法叫做消去法。消去法的实质就是根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数，等式依然成立的道理来求未知量。例1某宾馆第一次买了5个热水瓶和20个茶杯，一共用去165元；第二次又买了同样的5个热水瓶和16个茶杯，一共用去149元。算一算，热水瓶和茶杯的单价分别是多少？例23箱苹果和5箱梨一共是86千克；6箱苹果和4箱梨一共是112千克。一箱苹果和一箱梨各重多少千克？启未数育名校冲刺班奥数教程例3

34体育组买9个足球和3个皮球一共要花780元，已知5个足球比3个皮球的价钱要贵340元。一个足球多少钱？一个皮球多少钱？例4妈妈去水果店买水果，如果买5千克苹果和3千克梨，要付35元。如果买3千克苹果和2千克梨，则要付22元。每千克苹果和梨的价钱各是多少？课后练习：1、小明买了4只铅笔和3块橡皮，一共付了7.2元；红红买了同样的3块橡皮和2只铅笔，一共付了4.8元。一只铅笔和一块橡皮的价钱各是多少？2、张大爷第一天乘车2小时，步行3小时，共行115千米，第二天乘车1小时，步行5小时，共行75千米。请问：张大爷乘车的速度和步行速度各是多少？3、一袋黄豆和一袋绿豆共重50千克，买5袋黄豆和3袋绿豆共重210千克。一袋黄豆比一袋绿豆重多少千克？

354、食堂若要买5袋大米和3袋面粉，一共要用476元。已知买3袋面粉比买2袋大米要便宜14元。一袋大米多少钱？第9讲消去法解题（二）知识要点怎样用消去法解题呢？1、如果同类事物的数量相同，可以直接用加法或减法将数量相同的同类事物消去。2,如果同类事物的数量不相同，必须先分别用扩大几倍的方法，使其中一种同类事物的数量相同，然后消去。例1学校食堂第一次买7袋大米和3袋面粉，共重410千克；第二次买同样的3袋大米和7袋面粉，共重290千克。问：每袋大米和每袋面粉的重量？启未数育名校冲刺班奥数教程例2买足球、篮球和排球各2个，共需240元；买4个篮球、3个排球和2个足球共需365元；买5个篮球、4个排球和2个足球共需450元。篮球、和足球的单价各是多少元？

36例3买一千克奶糖、2千克水果糖和3千克酥糖，一共要花76元：买这样的2千克奶糖、4千克水果糖和5千克酥糖，一共要花136元。而且水果糖的单价是奶糖的1.25倍。问：奶糖、水果糖和酥糖的单价各是多少？例4爸爸买一件大衣、一条裤子和一双袜子，一共花了268元。爸爸只记得大衣的价钱比裤子贵35元，大衣和裤子共起来比袜子贵222元。你知道每件东西的价钱吗？课后练习：1、5箱苹果和3箱梨共重134千克，同样的3箱苹果和5箱梨共重138千克。每箱苹果和每箱例各重多少千克？2、甲买了5盒糖和8盒蛋糕共用去171元，乙买了同样的2盒糖和5盒蛋糕共用去了90元。一盒蛋糕多少钱？一盒糖呢？3、红星小学买2个足球和3个篮球共用去154元，光明小学买同样的3个足球和5个篮球共用去了245元。足球和篮球的单价分别是多少？

374,买文竹、仙人掌、兰花各2盆需要24元；买文竹4盆、仙人掌3盆、兰花2盆需要32元；买文竹5盆、仙人掌4盆、兰花2盆需要38元。这三种花的单价各是多少？

38第10讲流水行船问题流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速(1)逆水速度=船速-水速(2)这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。根据加减互为逆运算的原理，由公式(1)可得：水速=顺水速度-船速(3)船速=顺水速度-水速(4)由公式（2）可得：

39水速=船速-逆水速度（5）船速=逆水速度+水速（6）这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法,可知：船速=（顺水速度+逆水速度）+2（7）水速=（顺水速度-逆水速度）+2（8）*例1一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？*例3一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？启未数育名校冲刺班奥数教程*例4某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从

40甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？*例5某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？*例6甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米,水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？*例7一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的启未教育名校冲剌班奥数教程水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？

41*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时?*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。*例10人、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）解：甲船逆水航行的速度是：180-18=10（千米/小时）甲船顺水航行的速度是：180+10=18（千米/小时）根据水速=（顺水速度-逆水速度）+2,求出水流速度：启未教育名校冲刺班奥数教程（18-10）+2=4（千米/小时）乙船逆水航行的速度是：180-15=12（千米/小时）乙船顺水航行的速度是：12+4x2=20（千米/小时）乙船顺水行全程要用的时间是：180+20=9（小时）综合算式：

42180-（180-15+（180+10-180+18）+2x3]=180+（12+（18-10）+2x2]=180-[12+8]=180+20=9（小时）1、一只油轮，逆流而行，每小时行12千米，7小时可以到达乙港。从乙港返航需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？2、某船在静水中的速度是每小时15千米，河水流速为每小时5千米。这只船在甲、乙两港之间往返一次，共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少干米？3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2.5小时到达。已知水流速度是每小眈，鼻勿冰，名校冲刺班奥数教程甲、乙两地间的距离是多少千米？4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？

435、某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？第11讲鸡兔同笼问题与假设法专题解析：鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。【例1】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？启未数育名校冲刺班奥数教程【例2】：100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？［例3］：彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？

44例4：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？启未数育名校冲刺班奥数教程例5:现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个?分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。例6:一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？例7:乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？例8：小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

45练习1.鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？启未数育名校冲刺班奥数教程

462.学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？3.班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？4.龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？启未数育名校冲刺班奥数教程

473.一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天?4.振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？5.有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？6.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？7.鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？

48第12讲还原问题例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？分析：例2.甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？分析：例3、一筐鱼连筐重122千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的地半，这时连筐还重35千克。原来筐和鱼各重多少千克?练习与思考1.小亮在计算一道除法题的时候，把除数36写成62,结果重到的商是30余12。正确的商应该是多少？2.小明在做一道减法题的时候，把被减数个位上的4错写成7,把十位的1错

49写成5,把百位上的3错写成2,这样，他算得的差是143。正确的差应该是多少？1.小兰问一位老师今年多大年纪，老师说：“把我的年龄除以6后加上14,再乘以3,最后减去27,是33岁。”这位老师多少岁？启未数育名校冲刺班奥数教程2.操场上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多8盆，第二次搬走了余下的一半少4盆，将剩下了摆成6排，每排恰好放2盆。原来有多少个花盆？3.甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张，如果甲给乙13张，乙给丙23张后，他们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张？4.甲、乙、丙共有72元钱，甲拿出与乙同样多的钱给乙，乙再拿出与丙同样多的钱给丙，这时三人的钱数同样多。甲、乙、丙三人原来各有多少钱？

501.甲、乙两个车站共停了90辆汽车，如果从乙站开到甲站12辆汽车，又从甲站开出30辆汽车，这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍。原来甲、乙两站各停了多少辆汽车？2.甲、乙两个车站共停了90辆汽车，如果从甲站开到乙站38辆汽车后，乙站开到甲站14辆，这时两站停的汽车辆数相等。两站原来各停了多少辆汽车？3.某车间分成甲、乙两个组，因生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了，后来改变工作程序，又把乙组工人中的25人调到了甲组，这时甲组有45人，乙组有22人。甲、乙两个组原来各有多少人？4.一个水桶里面装有水，连桶称是5千克，把水加到原来的4倍，连桶称是11千克。桶里原来有多少千克水？桶有多重？启未数育

51名校冲刺班奥数教程第13讲周期问题［例】1.10个2连乘的积的个位数字是几?分析:（例】2.1998年元旦是星期四，1999年元旦是星期几？【例3】.黑珠、白珠共185个串成一串，排列如图：O*OOO»OOO*OOO……最后一个是什么颜色的？这一串共有多少白珠，多少个黑珠？【例4】.把自然数按下图的规律排列后，分成A、B、C、D、E五类，例如,4在D类，10在B类。那么，1998在哪一类？启未数育名校冲刺班奥数教程

52【例5】有一个1111位的数，各位数字都是1,这个数除以6余数是几？商的末位数字是几?练习与思考【例6】2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几?启未数育名校冲刺班奥数教程1.42个8连乘以积的个位数是几？

531.99个999连乘，所得积的个位数字是几?2.1988年2月1日是星期日，1992年2月1日是星期几？1998年2月1日呢？3.如果时钟现在表示的时间是18时整，那么，分针旋转1990圈以后是几时？4.黑珠、白珠共150个串成一串，排列如图：。“。。・・。。”。。最后一个是什么颜色的？这一串共有多少个白珠，多少个黑珠？5.英文字母A、B、C、D探险BCDABAACDABAACDABAACD…排歹U，共250个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D各多少个？6.按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上？ABCDABCD1234246876514121089101116182022141312282624

541.一个200位的数，每位上的数字都是3,用它除以7,余数是几？商的末位数字是几？2.3x3x3x...x3共85个3相乘，力口上4x4x4x..,x4共80个4相乘，它们和的个位数是几？第14讲尾数与余数专题简析自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。启未投育名校冲刺班奥数教程【例1】写出除213后余3的全部两位数。【课堂随练】：1.写出除109后余4的全部两位数。【例2】(1)125x125x125x……x125[100个25]积的尾数是几?(2)(21x26)x(21x26)x......x(21*26)[100个(21*26)]积的尾数是几？

55【课堂随练12.21*21x21x……x21[50个21]积的尾数是几?【例3】⑴4x4x4、……、4[50个4]积的个位数是几？(2)9x9x9x……x9[51个9]积的个位数是几？启未数育名校冲剌班奥数教程【课堂随练13.24x24x24x……、24[2001个24],积的尾数是多少?【例4】把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？【课堂随练】：4..把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。【例5】555...55[2001个5户13,当商是整数时，余数是儿？【分析与解答】：如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。

56启未数育名校冲刺班奥数教程【课堂随练】:5.444……4+6[100个4],当商是整数时，余数是几?练习：1.写出除1290后余3的全部三位数。2.1.5x1.5x1.5x……x1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.94x94x94x……x94[102个94]79'49x……x49[101个49],差的个位是多少？4.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第I000个数被3除后所得的余数是多少？启未数育

57名校冲刺班奥数教程5.当商是整数时，余数各是几？⑴888…8+7]200个8](2)111…1+7[50个1]作业:1.178除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些？2.(12x63)x(12x63)*(12*63)x......x(12*63)(1000个(12x63)]积的尾数是几?3.1x2x3*……x98x99,积的尾数是多少?4.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？启未数育名校冲刺班奥数教程5.当商是整数时，余数各是几？(1)666…6+4[100个6]

58(2)444…4+74[200个4]第15讲一般应用题专题简析一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起,有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际解题时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。【例1】五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩F的同学相当于原来4个班的人数。原来每班多少人？【课堂随练】：1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少？【例2】某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？【课堂随练工2.汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米？【例3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工,

5940天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？【课堂随练工3.甲、乙两车同时从A,B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？【例4】服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务，实际每天比计划多加工60件,照这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少件？启未数育名校冲刺班奥数教程【课堂随练工4.用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨,这样运了6小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时运多少吨煤？【例5】王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？

60【课堂随练】：1.食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨？练习：1.把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？2.小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远？启未敢音名校冲刺班奥数教程3.甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120元。已知甲工作了10天，乙工作了12天，且甲5天的工资和乙4天的工资同样多，求甲、乙每天各分得工资多少元？4.小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页？5.造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5吨，实际每天比原计划多生产1.5吨，结果提前6.5天完成了任务。实际用了多少天？作业：

611.老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵？2.加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务，由于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？3.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了5天，20天后,甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个?4.汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划多行15千米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米？5.机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台？

62启未数育名校冲刺班奥数教程