3(2)7X7X7=6(3)(7+8+3)X9=39(4)3X3=3那么应该是我们通常的哪四个算式?8、如果2*4=2X3X4X55*3=5X6X7,请按此规定计算(1)(3*4)-(5*3)(2)(4*4)+(3*3)9、规定(25)=2+5=7(123)=1+2+3=6(65)=6+5=(11)=1+1=2则计算(1)(56489)(2)(92045)+(904-5)4-(12)10、规定64=2X2X2X2X2X2表示成F(64)=6；243=3X3X3X3X3表示成G(243)=5I试求下面各题的值(1)F(128)=()(2)F(16)=G()(3)F()+G(27)=611、如果1=1!1X2=2!1X2X3=3!试计算(1)5!(2)X!=5040I求X12、有一种运算符号“&”使下列算式成立2&3=75&3=134&5=139&7=25求995&9=?A+B13、A*B=A+8在X*(5*1)=6中,X的值是多少?6XY14、对于任意的整数X、丫定义新运算“¥"X¥Y=MX+2y（其中M是ー个固定的值）如果1¥2=2,那么2¥9=?
4第二讲二元一次不定方程ー、学习目标:掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基础知识:我们知道,一般的ー个方程只能解答一个未知数,而有的题目却必须设两个未知数,且列不出两个方程,类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时,常常会附有其他•些限制条件,有的条件是明显的,也有隐蔽的,但它们对解题至关重要,这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例题解析:（一）基本方法例1、小明要买•・只4元9角的钢笔,他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱?分析:本题可以用多种方法解答,这里用不定方程来解。设小明付了X枚贰角和丫枚伍角列方程,得2X+5丫=49方法一1、利用奇偶性。49是奇数,2X是偶数,那么5Y必定是奇数。这样，Y只能取1,3,5,7,9这五个数。2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有,而X至多为10,那么5丫不小于49—2X19=29,这样,可得丫大于6。方法二观察系数的特点,利用尾数（个位数）解答由例1可以看出,对于二元一次不定方程,尽量缩小未知数的取值范围,再求解。不定方程常常利用奇偶性,最值和尾数来帮助解决例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人,现有378人要乘车,问要大、小汽车各儿辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理,要求车辆数最少,应该选择哪个方案?分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后,答案的变化。试・试：ー个同学把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和是170,你知道他出生于儿月儿日?例3、现有铁矿石73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车ー次运走,且每辆车都要装满,已知载重量7吨的卡车每台车运费65元,载重量5吨的卡车每台车运费50元,问需用两种卡车各多少台运费最省?分析:根据条件用不定方程可以求出卡车的台数,但是要注意问题求运费最省。
5例4、一个同学发现自己199I年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和,请问这个学生!991年时多少岁?分析与解:设他出生于19XY年,那么1991—19XY=l+9+X+Y1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y（二）能力拓展例5、ー・辆匀速行驶的汽车,起初看路标上的数字是ー个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx（又行驶了一小时路标上的数字是ー个三位数xOy,求每次看到的数字和汽车的速度。分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶,因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的,根据这个关系可以列出方程。试一试：一个两位数,如果把数字1放在它前面可得一个三位数,放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414,求原来的两位数。例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数,且长＞宽＞高,将这个长方体横切两刀,竖切两刀,得到9个长方体,这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米,求原来长方体的体积。分析与解:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,分析可得,横切两刀，增加了4ab的面积,竖切两刀增加了4ac的面积,所以可列方程：4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。练习,、基本题1、求方程6x+9y=87的自然数解。2、求方程2x+5y=24的自然数解3、大客车有48个座位,小客车有30个座位。现在有306名旅客,要使每位旅客都有座位而且不空出座位来,需要大、小客车各几辆?4、装饼干的盒子有大、小两种,大盒每盒要11元,小盒每盒要8元,妈妈用了89元,问大小盒子各买了多少个?
65、ー个两位数,交换个位和十位上的数字,就得到ー个新的两位数,已知新两位数比原两位数多54,求原来的两位数。6、ー个两位数,各位数字之和的6倍比原数大3,求这个两位数。7、ー个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装!2个,每个小盒子装5个,恰好装完。如果弹子数为99,盒子数大于10,问两种盒子各有多少个?二、综合题8、在ー个两位质数的两个数字之间,添上数字6以后,所得的三位数比原数大870,那么原数是多少?9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有・•个班的学生（不足70人）来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅,其余的同学每三人坐ー一把四座的长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生?
7思考题10、有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?第三讲分数乘除法计算分数乘除法的计算方法用字母表示为:-x-=—(a,c都不等于〇);acacbdbcbe一+——=—X—acadー、课前准备:1、计算下列各题:(1)-4-104--ad(a,c都不等于〇)。36(2)-+-4- 7515(3)—4--X—18735(3)217——4-94--812(4)-4--X-(6)-4-(1+-)2、在ロ或〇里填上合适的数字或符号,并说明使用了什么运算定律?ヽ167,ヽ(1)25XテX-=X(X)(〇528,ヽ(2)-X-X—=(X)X8315ヽ2,29ヽ,ヽ(3)—X(15X—)=X(X)(4)25-X4=X+X
87(1)7X7=X〇X4(2)1-X25=X〇X85(3)54X(--7)=X〇X9〇二、例题讲解例1:计算:⑴竺X37；(2)27x—04526【分析】认真观察这两道题的数学特点:第(1)题中的竺与1只相差・!-,如果把写成4545(1-丄)的差与37相乘,再运用乘法分配律就能简化运算了。同样,第(2)题中的27可以45写成(26+1)。325X6练习:“挑战自己!”比ー比,看一看,谁的方法最巧妙?263X5例2:计算:-X27+-X41分析仔细观察因数的特点可知,丄X27可转化为士X9,这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。练习:计算:-x23—+16X-+-X—7137713例3:计算:229-+7 79
9【分析】把几个分数的和作为ー个整体去处理,往往会使计算简便得多。在本题中,把;与丄的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。例4:计算:(1)166-4-41；(2)2003-2003—^0【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题,你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动…下脑筋,就会发现:可以把题(1)中的166丄分成一个41的倍数与另ー个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题(2)中的2003”曳化为假分数时,把分子用两个数相乘的形式表示,便于约分和计算。例5:计算:777x—+37x11—1010例6：计算：17x(3n~1n)X0-7X281ー、基本练习1、下面各题,怎样简便就怎样算。811—X——91215,115——xl———X16416丄42315x(-+-)354—X(25x68)1711.-X-+3212—X—2354-X392.“考考你”下面各题怎么算简便就怎么算?
1018一5X\)/5-9-5-64-53-3X6352X4-533-4X+3-4X5-11-22-25XXI78-9+4-7分数四则混合计算:4.丄6—)X100010010(1)((3)7で41.5——X————~r——85126(4)(0.19X6-+0.19X3-)4-0.0588二.能力提高1.计算:⑴!|X82(2)会X126⑶35x||002008(4)74(5)2008x73X200975计算:
11偿+玲+か信+泊）
123.计宣:238+238翁5磚+17•価靑+4%4.计算:333111.Q7乂56l37X前112第四讲分数四则混合运算ー、课前准备:27999—4-935“80162—x—(&+3)X”899351637.3।53、/4-T——十——X——(-+---)X24104103346二、例题讲解例1:计算:(888+1卜1.125-360+2+23%2237练习:9—5-1—+5.46+2—x(4.875—2—)3358
13例2:计算:(598.1X37-+5981X6.26)-?1—+190X—51730,K,i〇1213,,14,,1516例3、31-X-+41-X-+51—X-+61-X-+71-X-2334455667例4；计算;4.44+4“卫+生+型X4〃8371113725练习:1.下面各题怎样算简便就怎样算。（»+ユー”）X27(-+-)35「石3425-X424-4-54543232332—z\IZXI713137132.用简便方法计算。14-13X100---91X—13131.1X4—+40.94-5—-4.09X—9719973、计算下面各题。55x—5656x—5515且+2+2工
144454厶ユ+5JJ+61しユ36918224x1—+4+1—75(―X0.87+0.23X—)-3%11115.6X0.375+-X5.4—3.75x1081110+llx3115.8-6-+-+12.5%[581.1x4—+40.94-5--4.09X—9719975—0.8+2—jx99丿7.6、+2|xl.25第五讲估算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外,还有去尾法和收尾法（进一法）。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种:（1）省略尾数取近似值,即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围,即估计范围。这就是估计与估算,估计与估算,是・种十分重要的算法,在生活实践和数学解题中有广泛的应用。ー、去尾法和收尾法（进一法）例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时,飞去时速度为900千米/时,飞回时速度为850千米/时。问:该飞机最远飞出多少千米就应返回?（精确到1千米）
15解:设该飞机最远能飞出x小时,依题意有此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则,那么得到x-1749,当飞机真的飞出1749千米再返回时,恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。例2、某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全?（精确到0.1米）此题采用收尾法。如果你的答案是L1米,执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆,那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法例3、有三十个数:1.64,1.64+—,1.64+—,……1.64+—1.64+—,如果取每个数的整数部分（例如:1.64的整数部分是1,1.64+U的整数部分是2）,并将这些整数相加,那么其和是多少?分析:关键是判断从哪个数开始整数部分是2例4、A=123456789101112134-31211101987654321,求A的小数点后前3位数字。分析：本题可以采用取近似值的办法求解,还可采用放缩法估计范围解答的。方法一:放缩法:A>12344-3122=0.3952-A<12354-3121=0.3957-所以〇.395216例6、已知:S=一|11+++一,求s的整数部分。+1980198119821991分析与解:如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几,就能知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时,就容易判断出s的整数部分了。设A=说明：本题如果直接计算,不但非常麻烦,而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法,就是先把s的倒数（分母部分）的每•个加数都看成最大的ー个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。“，，11111ヽA=1+（FHFH）练ー练:求!9961997199819992000的整数部分。练习ー、基本题1、(1+—)+(1+—X2)+(1+—X3)+(1+—X10)+(1+—XII)的结果是X,9292929292那么,与x最接近的整数是多少?2、求算式0.1234……50514-0.5150……4321的小数点后前二位数字是多少?3、为了修水电站,需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料,以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米:那么为保障一次截流成功,至少需多少台运输车?4、用5米长的花布做上衣,已知每件上衣需用布2米,求这块布料可以做儿件上衣?
175、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时,将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83,正确答案应是多少?6、求下式中S的整数部分:S=~1~~]f919293100（提示:注意385=5X7X11,可以先用乘法分配律化简,再估算。）三、思考题:8、在1,丄,……,—,丄中选出若干个数,使得它们的和大于3,至99100少要选几个数?第六讲分数运算的技巧对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握ー些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。（-）一般分数乘除法的计算:
187l.A-2lxlg+gxiJ*(2-y*ly)（二）分数的简便计算1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律）,使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。例1、6彳X0.164-264X京+5yX6.25-20+ly例24-X25+32-+4+0,25X125例3、计算:1991X、+599；X1J..20sx岳-6011x2.2.约分法:斯4卄管.1X2X3+2X4X6+7X14X21'''1x3x5+2X6X10+7x21x35分析:仔细观察可知,分子的每ー项（每ー个加数）都可以分解出1X2X3,分母的每ー项都可以分解出1X3X5。把它们作为公因数提出来后,括号内的和是相等的。例5、计算:362+548x361362x548-186
19分析:仔细观察分子、分母中各数的特点,就会发现分毋中的被减数362X548可以变形为:(361+1)X548=361X548+548.同时发现548—186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子,简化运算。例6、计算:(1+y)¢1-y)X(1+J)X(1-；)X—X(1+-^-)XQ-得)例7,计算:101019292922、分组法例8、计算：，1111、/22222342034520z3,3,...,3ヽr18,18x,19(—+-++>++(+)+4520192020分析：利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。4、代数法例9、ヘ111、し，1111、ル1111、ー111、23423452345,'234,分析与解:通分计算太麻烦,不可取。注意到每个括号中都有く+：+く不妨设9+g+：=A,则
20练习:y+9y+99=+9991+1□-(ホ,+ljx純1.75。K15+2が坳+]20032004X20051999+199919992000696969x696696969969x9696967949く+7+99/+9〇]1l+l+l)x(l+l+l)e91113,ゝ79IV12101+—+—4--4--+…4--10101010987X655-3212004+2005X2003666+987X6542004X2005-1
21(i+g)x(i+J.)x(1+2.)x……(1+A)第七讲简单的分数应用题（…）ー、基础知识:1、分数应用题的一般关系式是:表示单位“1”的量（标准量）X分率=分率的对应量。2、解题思路:①一道分数应用题中,先根据分率所在的哪个条件,找出并判断“1”。分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数,反映的是两个数之间的ー种倍数美系。）单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份,哪个数量就是单位“1二②表示单位“1”的量是已知的,则该题用“X”。表示单位“1”的量是未知的，则该题用“小”或方程。③解题的关键是:寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。二、例题解析:（一）基本方法例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。2①ー只鸡的重量是鸭的ア。把（）平均分为3份,把（）看作单位“ド,（）相当于这样的2份,2/3对应的数量是（）。3_②甲的ラ相当于乙。把（）平均分为5份,把（）看作单位“1”，（）相当于这样的3份,3/5对应的数量是（）〇3③现价是原价的40。把（）平均分为40份,把（）看作单位“1”，（）相当于这样的3份,3/40对应的数量是（）〇现价比原价少的部分对应的分率是（）〇7④小红的书比小明少マ。把（）平均分为8份,把（）看作单位“1”，（）相当于这样的7份,7/8对应的数量是（）〇小明的书对应的分率是（）〇例2、根据已知条件用“一”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。（1）白兔只数的工是黑兔的只数。（2）已经修了公路全长的3。21(3)二班植树棵数相当于ー班的3。(4)今年棉花产量比去年增加9
22(4)第三季度冰箱价格比第二季度便宜丄。(6)还剩这堆煤的え。ュ2例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1ラ元,钢笔的价格比本子的价格多ラ,钢笔的价格是多少元?例4、一条裤子比ー件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3,一件上衣多少元?例5、商店运来ー批水果,运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4,梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐?例6、学校买来54本新书,其中科技书占!/6,文艺书占1/3,文艺书比科技书多多少本?(二)能力拓展例7、小强看一本故事书,每天看16页,看了5天后,还剩全书的3/5没有看,这本故事书有多少页?分析:把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应,看了的已知量16X5与1—3/5相对应。例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时,两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇?如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析:本题的关键是要求相遇时间,我们知道相遇时间=相遇距离4•速度和,而本题要求的就是相遇距离,怎么办?可以假设全程为单位“1”。
23练ー练:ー项工作,由甲单独做需要10天;由乙单独做需要12天.如果两人合做,儿天才能完成?练习:ー、基本题1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。上①白兔是黑兔的不。把（）平均分为6份,把（）看作单位'’1"，（）相当于这2样的5份,不对应的数量是（）〇②・种毛衣现价是原价的4/7。把（）平均分为7份,把（）看作单位“1”，（）相当于这样的4份,4/7对应的数量是（）〇现价比原价少的部分对应的分率是（）〇3③九月份的产量比八月份增加了40。单位“1"：（）〇九月份的产量对应分率（）〇2、根据已知条件用"一”线标出单位"1”的量,再写出数量关系式。（1）妈妈年龄的ユ是女儿的年龄。（2）已经用这根绳子的ヨ。1211(3)男生人数占总数的竺。（4）今年车祸比去年减少ヨ。（4）现价比原价增加丄。10（6）没有看的占这本书的，。3、六年级有男生100人,女生有80人。（1）男生人数是女生的儿分之儿?（2）女生是男生的几分之几?
24（3）女生是全年级学生的儿分之儿?（4）男生人数比女生多几分之几?3、某生产队挖一条长300米的水渠,第一天挖了全长的1/4,挖了多少米?还剩多少米?24、某车间五月份生产零件3000个,六月份比五月份多生产了ラ,六月份生产了多少个零件?分析:把（）看作单位“1”,是（）知的。可用（）方法2计算。ラ对应的数量是（）,六月份生产的对应分率是（）〇解答:5、某小学有学生若干人,其中女生占3/8,还已知该校男生有240人,这所小学共有多少人?分析:把（）看作单位“1”,是（）知的。可用（）方法计算。男生的对应分率是（）〇解答：6、小亮在银行存了240元,小华存的钱是小亮的5/6,小华存的钱是小新的2/3,小新存了多少元?7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了4/7,粮店还有大米多少千克?8、商店有红气球和黄气球,共有48只,其中黄气球的只数是红气球的3/5。红气球和黄气球各多少只?9、ー只大雁由北方飞往南方要6天,ー只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?二、综合题:
2510、王琳看一本连环画共80页,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看?11、本站有一批货物,上午运走了总数的2/5,下午运走了总数的3/8,还剩下2700吨没有运,这批货物ー共有多少吨?12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克,这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克?13、小刚读一本书’先读了全书的I,又读了全书的!’已读的比没读的多70页’这本书共有多少页?14、根据算式写出问题。(说明:35%=7/20)一条水渠长2400米,第一周修了全长的第二周修了全长的35%。还剩下全长的1/3没有修完,?(1)2400X1/4?(2)2400X35%?(3)2400X(1/4+35%)?(4)2400X1/3?(5)2400X(35%-1/4)?(6)2400X(1/3-1/4)?(7)2400X(1/4+35%-1/3)?第ハ讲较复杂的分数应用题(二)本讲继续学习较复杂的应用题——两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。例1、ー根140厘米长的绳子,第一次用去它的4/7,第二次又用了余下的3/5,两次共用去多少厘米?分析:本题有2个分率,相对应的有2个单位“1”。例2、小红看一本书,第一•天看了全书的4/7,第二天又看了剩下的3/5,还剩下42页没有看,这本书共有多少页?丄2练一练:某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的Z,第二天挖了余下的ラ,第三
26天恰好挖完，第三天挖了多少米?例3、ー瓶油第一次吃了1/5千克,第二次吃了余下的3/4,这时瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克?分析:根据条件“第二次吃了余下的3/4"，我们先确定“1”;再利用线段图来找出:“与量对应的率”或“与率对应的量”。例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人,女生人数比全校学生总数的4/7多15人求益•校学生总人数。分析：利用线段图来找出:“与量对应的率”或‘’与率对应的量”。而单位“1”是未知的,可以用除法或方程解答。例5、有一瓶酒精,第一次倒出2/3又80克,然后倒回140克;第二次再倒出瓶里酒精的3/4,这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克?分析：本题2个分率,相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的,可以用除法或方程解答。试ー试:东盛化肥厂生产ー批化肥,分三次运出,第一次运出的比总数的3/5还多300吨,第二次运出的是第…次的1/3,第三次运出的450吨,求这批化肥有多少吨?例6、某エ厂二月份比元月份增产1/10,三月份比二月份减产"10.问三月份比元月份增产了还是减产了?分析:本题没有告诉我们具体的数量,要求的也是不具体的分率,所以我们可以假设老三年龄为“1”，或者假设一个具体的数量、字母。练ー练:有兄弟三个,老大比老二年龄大2/5,老二比老三年龄大2/5,老大的年龄是老三的几分之儿?
27练习:1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨,比第一个月多生产1/4,第一个月生产水泥多少吨?第三个月生产的水泥,比第一个月少生产1/5,那么第三个月生产水泥多少吨?2、小红看一本240页的书,第一天看了全书的1/4,第二天又看了剩下的1/3,还剩下多少页没有看?3、某粮店,第一天卖了全部大米的4/7,第二天又卖了余下的3/5,这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克?4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产1/10,三月份生产了多少个零件?5、某工厂去年制造ー种零件,成本逐渐下降,每一季度的成本都比前一季度降低1/4.问第三季度的成本是第…季度的儿分之儿?6、某班学生中,男生人数比全班人数的5/9少5人,女生人数比全班人数的3/7多11人,求全班人数。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5,第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油.问这桶油有多少千克?二、综合题8、两队合修一条水渠,甲队完成的比全长的1/2还多7.2千米,乙队完成的相当于甲队的1/3〇这条水渠有多长?9、小王做零件,已经做了240个,比计划还少20%,为了超额25%,小王还应再做多少个?
2810、ー袋大米第一周吃了1/3又6千克,后又加入8千克,第二周又吃了剩下的1/3,这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克?11、向阳村用拖拉机耕地,第一天耕了全部土地的1/4,第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷,问这个村共有多少公顷土地?12、ーー种商品,先提价",再降价丄,现价相当于原价的儿分之儿?第九讲阶段复习与考试
29第十讲简单的工程问题（一）准备题:修建一条长1200米的公路,甲队需要30天,乙队需要40天,如果两队合修需要多少天?在日常生活中,做某ー件事,制造某种产品，完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是:工作效率メエ作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量+工作效率，工作效率=工作总量+工作时间）,在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做‘‘工程问题”。工程问题中的本质关系为:工作效率X工作时间=工作总量。分数工程问题的特点,常常不给出具体的工作总量,我们把全部工程看作单位“ド,这样,工作效率=1/工作时间,然后再根据エ总、工效和工时这三个量的关系解题。ー、基本方法例1、加工ー批零件，甲单独做6小时完成,乙单独做9小时完成。（1）甲、乙合做,每小时完成这批零件的儿分之儿?（2）合做3小时完成这批零件的几分之几?（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时?(4)如果合做2小时后,剩下的由甲单独做还需要多少小时做完?
30练ー练:现在打ー份文稿,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由甲、乙合作完成,还需要做儿天可以完成全部工作?例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行,货车从甲地开往乙地需要10小时,客车从乙地开往甲地需要8小时,现货车先行2小时后,客车オ出发，求客车出发后多少小时两车相遇?分析;没有告诉我们甲、乙两地的路程,我们把甲、乙两地路程看做单位“ド,速度用1/时间来表示。求相遇时间,相遇时间=相隔路程4•速度和。例3、ー个水池有两个进水管，ー个出水管。单开甲管!2小时可把空池注满,单开乙管20小时可把空池注满,单开丙管15小时可把满池水放空,三管同开,多少小时把空池注满水?分析:注意本题是两个进水管,ー个出水管,进水管来灌水,出水管来放水。例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头,单开甲龙头60分钟可注满水池,现在两个水龙头同时注水,20分钟可注满水池的1/2,如果单开乙龙头需要多长时间注满水池?分析:根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和,再根据甲龙头的エ效,就可以求出乙龙头的エ效了。进而求出乙龙头的工作时间。二、能力拓展例5、ー项工程,先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3,再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30,然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成?例6、ー项工程,甲队独做需要45天完成,乙队独做需要60天完成,现在甲、乙两队合作,中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30天,求乙队工作了几天?分析：这项工程,我们可以看成甲队做了一部分,乙队也做了一部分。例7、某项工程,甲、乙两队合做,30天可以完成。今两队合做12天后,剩下的由甲队独做,经过24天才完成。问:乙队独做全部工程需儿天完成?分析:根据条件可以求出两队エ效和。
31例8、加工ー批零件,甲独做20天完成,乙独做每天完成这件零件的1/30,现在两人合作完成这批零件,甲中途休息了2.5天，乙也休息了几天,这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天?分析:乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样:按前面例题的思路,可用方程的方法,或假设方法。练习:ー、基本题:1、修一栋楼房,甲公司单独做5个月完成,乙公司单独做6个月完成。(1)合做2个月完成这栋楼房的儿分之儿?(2)如果合做2个月后,剩下的由甲公司做还需要多少个月做完?2、一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。现在两队合作,多少天可以完成?3、一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?4、做ー批零件,甲单独做12天完成,乙单独做16天完成,现在两人合作4天后,余下的由乙独做多少天可以完成?5、ー个水池上装有一根进水管和一根出水管,单开ー根进水管30分钟可以将水池注满,单开ー根出水管45分钟可以将一•池水放完。现在水池有1/2的水,两管齐开,多少分钟水池可以把水池灌满?6,ー只大雁从甲地飞向乙地需要10天,ー只野鸭从乙地飞向甲地需要12天,现野鸭先飞了3天后,大雁オ出发,求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇?
327、一项工程,甲队单独做5天完成;乙队单独做6天完成,甲、乙两队合做2天后,甲队因事调走,余下的部分由乙队单独做完,还需要多少天完成?二、综合题8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后,余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天?9、有一项工程,甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成,现在已知两队合做这项工程,但中间甲队因另有任务调走儿天,所以经过27天才完成全部工作,甲队离开了儿天?10、一件工程,甲5小时先完成了1/4,乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半,最后余下的部分由甲、乙合作,还需要多少小时才能完成?11、ー项工程,先由甲做10天完成了全部工程的1/6;再由乙做5天完成了全部工程的1/4；
33然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程,还要儿天可以完成?第H^讲:圆和扇形（一）（"）基本知识1、圆:圆周长公式:C="d或C=2nr。圆面积公式:S=加2。圆环面积:5环=た（废一パ）2、扇形。如上图二,连接两条半径OA、0B,就可得到ー个扇形OAB,扇形面积公式是:S=—〇扇形的圆弧长=所在圆周长的36°。其中r是指扇形的在圆的面积,n指的是圆心角的度数。例1、图二中n=60°,半径为6厘米,扇形面积是多少?弧AB是多少?3、弓形。如上图三,S弓AC=S扇AOC—SAAOC
34例2、图三中,直角三角形AOC的直角边OA=6厘米,求弓形AC的面积。（二）基本运用例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米?例4、计算下图阴影部分的面积.（单位:厘米）例5、在ー块长4.5米,宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后,剩下的铁板面积是多少平方米?例6、从ー块边长10厘米的正方形铁皮上剪下ー个最大的圆,这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米?剩下的面积是多少?例7、从ー个直径为10厘米的圆中,剪去一个最大的正方形,正方形面积是多少?
35例8、求下图中阴影部分的面积和周长。练习ー、基本题1、ー个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米?2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米,求这个圆的周长。3、下图涂色部分是个环形,它的内圆半径是10厘米,外圆半径是15厘米,它的面积是多少?4、从ー块边长8厘米的正方形铁皮上剪下ー个最大的圆,阴影部分面积是多少?5、下图圆的半径为6厘米,圆心角为45度,扇形AOC的面积是多少?弧AC是多少?6、下图是ー个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。
367、求阴影部分的面积:（单位:分米）（n=3）8、右图中直角三角形ABC的底AB=20厘米,以AB为直径画成一个圆,圆心为〇,CO垂直于AB,求弓形AC的面积。9、求下图中阴影部分面积和周长（1）等腰梯形的腰是0.8。（单位:厘米）1.41（2）三角形ABC是等边三角形,底BC=6厘米,扇形圆心角为120度。思考题:10、在下图中左右两个正方形一样大小,且图（2）中四个小圆ー样大.试问是图（1）中的大圆面积大,还是图（2）中四个小圆的面积之和大?请说明理由。(1)⑵第十二讲简单的百分数应用题（…）百分数是表示一个数是另ー个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。一般地,我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。
37ー、一般百分数应用题例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨,实际生产了72万吨。实际产量比计划超过百分之儿?例2、商店卖ー种袖珍收音机,现在按八折出售,每台是14.4元,这种收音机原价每台多少元?例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的60%,已知乙仓库存粮1500吨,甲仓库存粮多少吨?例4、工程队挖一条水渠,每天挖1.4千米,10天挖了全长的70%,还剩多少千米没有挖?例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85%,去年秋季植树的成活率为90%。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树?分析:成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之儿。根据去年春季成活率85%,可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死了的棵数,再根据去年秋季植树的成活率90%,求出去年秋季种的树。例6、纺织厂的女工占全厂人数的80%,ー车间的男工占全厂男工的25%。问:ー车间的男エ占全厂人数的百分之几?分析:没有告诉我们具体的数量,而且求的也是ー个不具体的数量百分比，这样,我们可以采用设参数的方法。二、特殊的百分数应用题ー一利润问题在这类问题中,特别的在于,它涉及两个量的相乘,一是商品的单价,另ー个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化:总价=单价X数量利润:一般地,商店购进货物的钱叫成本（或购入价）。卖出去的钱叫售价（或卖出价）。售价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。售价=成本+利润=成本+成本x利润率=成本X（1+利润率）利润=售价一成本例7、某商店进货的批发价为50元…袋,规定零售价为70元一袋,求商品的利润率是多少?
38例8、商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空调。该商店以20%的利润率来定价,空调的定价是多少?如果全部按这个价卖出,商店共获利多少元?例9、商场以400元的成本购进ー・见商品，该商店准备以50%的利润率来定价,但因为价高,没有人购买,只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元?练习1、曙光面粉厂①5000千克小麦可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少?②面粉的出粉率是80%,4000千克小麦可以出面粉多少千克?③面粉的出粉率是80%,加工3200千克面粉需要多少千克小麦?2、把20克盐溶解在80克水中,盐占盐水的百分之儿?3、一家大型超级市场,一月份的营业额是5000万元,如果按营业额的5%缴纳营业税后,还剩余多少万元?4、甲数比乙数多20%,乙数比甲数少百分之儿?5,某化肥厂第一季度生产化肥2400吨,完成了全年任务的25%,他们准备在第二季度完成全年任务的30%,那么第二季度应生产化肥多少吨?6、运送ー批树苗,已运了总数的62.5%,未运的比已运的少420棵,这批树苗总数多少棵?7、某商场以每套64元的价格,购进童装100套,全部销售完后,共得10000元,求商场销售这些童装的利润率。8、中国书店收购一本旧书,原价12元.收购时按八折作价,然后又按比收购价多5%的价钱售出.书店售出这本书的价钱是多少元?
399、在某校学生中,男生人数占全校人数的60%,女生人数占全校的40%,那么,男生人数比女生多百分之儿?10、采煤队三月份上半月完成月计划的60%,下半月完成月计划的65%,这个月实际采煤2.5万吨,这个月超过月计划多少万吨?11、一家服装店出售两种春装,ー种是新式样,每件卖240元,可赚20%,另ー种样式过时,是处理品赔本20%,每件售价也是240元,问:两种春装各出售一件,是赔还是赚?赔（或赚）多少?12、某校绿化校园植了水杉,柏树、梧桐三种树,其中种植水杉的棵数为总数的40%,柏树的棵数是水杉的7/8,其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多144棵,水杉是多少棵?第十三讲分数应用题复习例1:数量和分率直接对应・辆汽车4小时行了全程的2/5,照这样的速度,再行儿小时到达?练习:六（1）班,男生比女生少8人,女生比男生多1/3,全班多少人?例2:已知量的——对应分率1、一条公路第一天修了全长的1/4,第二天修了全长的2/5,两天共修了1.3千米,这条公路全长多少米?2、ー辆汽车行了全程的3/5,这时已超过中点15千米,已行了多少千米?3、服装店分两次加工ー批服装，第一次做了全部的1/5,第二次比第一次多做90件。这批服装共多少件?4,汽车从A城开往B城,第一•小时行全程的1/4,第二小时行全程的1/3,超过中点15千米,A、B两城相距多少千米?
405、电视机厂9月份生产一批电视机,上旬生产了全部的3ハ0,中旬生产的是上旬的2/3,下旬全部完成任务。已知下旬比中旬多生产2250台,9月份生产电视机多少台?例3r找对应关系1.小红看一本小说,第一天看总页数的1/12还多19页,第二天看的比总页数的1/8少17页,还余下93页,这本书共多少页?2、服装店加工ー批服装,第一次做了全部的1/5,第二次比第一次多做8件。这时做完的比没做完的少2件,这批服装共多少件?3、一批木料,先用去总数的2/5,又用去总数的4/9,这时用去的比剩下的多21方,这批木料共多少方?4、有两只桶装油50千克,若第一桶里倒出1/5,第二桶里倒进4千克,则两桶内油相等。原来每只桶各装油多少千克?5、ー个班女生比男生的2/3多4人,如果男生减少3人,女生增加4人,那么男女生恰好相等。这个班男、女生各有多少人?6,甲、乙、丙、丁四人共同购买■・只游艇,甲支付的现金是其余三人所支付的!/4,乙支付的比其余三入所支付的总数少1/2,丙支付的是其余三人所支付的1/3,丁支付9100元。这只游艇价值多少元?7.小强读一本书,第一天读全书的4/7,第二天又读了余下的1/2,这时还有30页没读,这本书共有多少页?8、学校举行ー项数学讲座,整个教室坐满了人,其中两人中有一个六年级学生,四人中有一个五年级学生,七人中有一个四年级学生,还有六位老师，整个教室听课的有多少人?六年级分数应用题练习1、修一条长3000米的路,已经修了30%,还剩多少米没有修?
412、码头上有一堆石子，卖出ラ,正好是600吨。这堆石子有多少吨?卖出了多少吨?3、有300千克的面粉,第一天吃了20%,第二天吃了35%〇两天一共吃了多少千克?第一天比第二天少吃多少千克?4、植树节同学们植了160棵松树,植的杉树是松树的40%。两种树一共多少棵?松树比杉树多多少棵?
425、李大伯家今年收小麦2000千克,比稻谷少!〇今年收稻谷多少千克?6,ー辆汽车从A地到B地,上午行了全长的と,下午行了全长的30%。下午比上午多行了80千米。A地到B地的路程有多少千米?7、李老师带了1200元钱去购物,买衣服用去了20%,买DVD用去了25%。李老师身上还剩多少元钱?8、王师傅买了一套西服用了800元钱,其中裤子的价钱是上衣的|〇上衣和裤子各是多少元钱?9、小明步行上学,走到商场正好是全长的う,再走50米就走了全长的］。小明的家离学校有多少米?10、一件衣服打八五折是340元，比原来降价了多少元?（八五折是85%）),DVD有多少台?126X1/61264-1/6126X(1+1/6)1264-(1+1/6)126X(1-1/6)1264-(1-1/6)11、选择合适的算式,连线。商店运来彩色电视机126台,DVD比彩电多1/6,DVD比彩电少1/6,DVD是彩电的1/6彩电比DVD少1/6彩电比DVD多1/6彩电是DVD的1/612、张师傅和黄师傅要加工400个机器零件,已经加工了60%。又知道张师傅与黄师傅加工的个数比是5：7。两人各加工了多少个零件?
43第十六讲复杂的利润问题（二）本讲继续学习较复杂的利润问题。利润率:利润与成本的比利润=售价一成本售价=成本+利润=成本义（1+利润率）例1、出售甲种产品的利润是25%,乙种产品利润是20%,如果分别各用2000元购进甲、乙两种产品,共获利多少元?如果两种产品ー起买可以优惠15%,此时的售价是多少?例2、一件商品按30%的利润定价,然后又按八折出售,结果赚了64元,这件商品的成本是多少元?分析:成本为单位1未知,可以用除法或方程解答。售价ー成本=赚的钱,作为等量关系。例3、一件商品如果按原价出售可以盈利25%,如果降价30%出售,则要亏本30元,那么这件产品的进价是多少元?分析:条件“一件商品如果按原价出售可以盈利25%”实际上告诉我们了利润率是25%〇成本为单位1未知,可以用除法或方程解答,由于成本一售价=亏的钱,可作为等量关系。例4、某商品按定价出售,每个可获得45元的利润。已知按定价打八五折出售8个获得的利润与按定价每个减少35元出售12个所获得的利润一样多。这种商品每个定价多少元?分析:根据条件“利润ー样多”,找到等量关系,所以可以用方程解答。例5、某商店从外地购进360个玻璃制品,运输时损坏了40个，剩下的按进价以117%售出,商店可盈利百分之儿?分析:由于求的是ー个不具体的数量——利润率,而且没有告诉我们关键的数量——进价，可采用设参数的方法解答。要注意,损坏的40个，要算成本,但无售价。还可以采用设参数方法:设具体的数，设单位1,设字母。解:设一个玻璃制品的进价为x元,则每个售价为1.17x元。练习:1、商店从生产厂家以每台120元的价格,购进了一批电风扇。该商店以20%的利润率来定价,电风扇的定价是多少?如果打九折卖出，这时的实际利润率是多少?
442、新光商店把进货价是3元,原零售价是5.4元的800双袜子降价出售。开始按原零售价ハ折出售,卖了500双;剩下的按原零售价六折出售。卖完这800双袜子是盈利还是亏本?3、・批西瓜按20%的利润定价,由于下雨,只好按6折出售,结果亏了120元。这批西瓜的成本是多少元?4、某种商品按原价出售可获利20%,如果打九折出售,要赚60元,求这种商品的成本价?5、商店购进ー批每双6.5元的凉鞋,售价为7.4元,当卖到还剩下5双时,除去全部成本还已获利44元,那么这批凉鞋共有多少双?6、甲种产品总成本价为800元,如果按获25%的利润价格出售一半以后，剩下的一半降价10%出售,全部售完可获利多少元?7、商店进了一批钢笔,用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少钱?8、A、B两种商品成本共200元。商品A按30%的利润定价,商品B按20%的利润定价。后来两种商品按定价的90%售出,结果获利27.7元,A种商品的成本是多少元?9、某商店进了一批钢笔,按30%的利润定价。当售出这批钢笔的80%后,为了尽快销完，商店把余下的钢笔按定价的一半售出。销完后商店实际获得的利润率是多少?
