专题05 隐圆问题（解析版）

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专题05“隐圆”问题一、题型选讲题型一、利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)或者垂直确定隐圆题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆。例1、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．【答案】　【解析】由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆；又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤≤2＋1，即1≤≤3，解之得实数a的取值范围是.例2、(2017南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．【答案】3　【解析】思路分析因为直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上．解法1直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上．圆C的圆心为C(1,1)，半径r＝.因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝＝2，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3.解法2当k＝0时，点P(2,2)到直线x－y－4＝0的距离为2；当k≠0时，解方程组得两直线交点P的坐标为，所以点P到直线x－y－4＝0的距离为＝，为求得最大值，考虑正数k，则有＝≤，所以≤＝3.解后反思直接求出l1，l2的交点P的坐标(用k表示)虽然也能做，但计算量较大．找出点P变化的规律性比较好．本题的解法1明显好于解法2·

1题型二、两定点A，B，动点P满足·＝λ确定隐圆；[满足条件：两定点A，B，动点P满足·＝λ的轨迹为圆—）例3、(2019宿迁期末）已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的取值范围是________.【答案】[－2，1]　【解析】解法(坐标法求轨迹)设M(x，y)，因为·＝3，所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3即x2＋y2＝4，表示圆．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.例4（2016年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．【答案】[－5，1]【解析】　满足·≤20，点P(x，y)的轨迹方程是x2＋y2＋12x－6y≤20.又因为x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0.点P(x，y)满足的所有约束条件是与线性规划类似，点P对应的图形是：以E(－5，－5)，F(1,7)为端点的左侧圆弧，圆弧在x轴上的射影为线段，点P横坐标的范围是[－5，1]．题型三、　两定点A，B，动点P满足PA2＋PB2是定值确定隐圆；满足条件：到两定点A，B，动点P满足PA2＋PB2是定值的轨迹为圆‘’例5、(2018苏锡常镇调研）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是．【答案】【解析】思路分析：根据条件可得动点的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.解题过程：设，因为所以，化简得，则圆与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为，代入可得，所以点

2的纵坐标的取值范围是．解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.题型四阿波罗尼斯圆：若给定两定点A，B，动点P满足AP＝λBP(λ>0，λ≠1)的关系，则P点的轨迹为隐圆。我们称为阿波罗尼斯圆。例6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是▲．【答案】【解析】设点，因为为中点的弦，且，所以，在中，，，，由得：，即，显然，所以，即所求是实数的取值范围是。题型五、有轨迹确定圆所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程。求轨迹方法为相关点法求轨迹．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．本题也可以利用点P运动，求出点Q的轨迹方程，再转化为曲线与曲线的位置关系问题．例7、(2019南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．【答案】±或±【解析】　根据直线PA，PB在y轴上的截距之积为5可得到点P所满足的条件，从而得到它的轨迹方程，再根据点P在圆M上来求出实数m的值．设点P(x0，y0)，则直线PA方程为：y＝(x＋1)，它在y轴上的截距为，同理得PB在y轴上的截距为－，由截距之积为5，得－·＝5，化简得(x0－2)2＋y＝9，由题意P的轨迹应与圆M恰有一个适合题意的点．

3①若A，B不在圆M上，则圆心距等于半径之和或差，＝5，解得m＝±；或＝1，m无解，此时m＝±，A，B不在圆M上；②若A或B在圆M上，把点A代入圆M可得点A不在圆M上，把点B代入圆M，解得m＝±，经检验也成立．例8、(2017南通一调）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．【答案】[－，＋]　【解析】思路分析本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把求BC的长转化为求2AM的长，而A为定点，思路1，求出M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，设出AM＝x，OM＝y，寻找到x，y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理．解法1设BC的中点为M(x，y)．因为OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2，所以4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得2＋2＝，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是[－，＋]．解法2设BC的中点为M，设AM＝x，OM＝y.因为OC2＝OM2＋CM2＝OM2＋AM2，所以x2＋y2＝4.因为OA＝，所以x＋y≥，x＋≥y，y＋≥x.如图所示，可得x∈，所以BC的取值范围是[－，＋]．

4解后反思求线段的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解．二、达标训练1、(2019镇江期末）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．【答案】－2≤a≤2.【解析】考察点P的轨迹C，轨迹C与圆M有公共点．利用圆与圆的位置关系求解．由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四边形PAOB是正方形，所以P的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆．又点P也在圆M上，所以OM≤＋，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.2、(2016苏北四市期末）已知||＝||＝，且·＝1.若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是________．【答案】[－1，＋1]　【解析】如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则＝＋，因为||＝||＝，·＝1，所以||＝|＋|＝＝＝，由|＋|＝1得|＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1，所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上，而||表示点C到点O的距离，从而||－1≤||≤||＋1，即－1≤||≤＋1，即||的取值范围是[－1，＋1]．3、（2018江苏卷）满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．【答案】2　【解析】解法　以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系xOy，则由AB＝2得A(－1，0)，B(1,0)．设C(x，y)，由AC＝BC得＝·，即(x－3)2＋y2＝

5(2)2，所以点C在以(3,0)为圆心，半径为2的圆上(去掉与x轴的交点)，从而△ABC的面积的最大值为×2×2＝2.4、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(b－c)＝1，则的最大值是________．【答案】＋1【解析】首先要根据题目条件求出c＝(x，y)的轨迹方程，再利用|c|的几何意义求解即可；另外，也可以考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解．解法1设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，－y)，由题意得－x(1－x)－y(－y)＝1，整理得x2＋y2－x－y－1＝0，即2＋2＝2，它表示以为圆心，以为半径的圆，则表示该圆上的点到原点(0,0)的距离，从而|c|max＝＋＝＋1.解法2由解法1得2＋2＝2，令(α为参数)，则|c|2＝2＋2＝3＋cosα＋sinα＝3＋2cos(α－θ)(其中tanθ＝)，所以|c|＝3＋2，于是|c|max＝1＋.5、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1,2)．(1)若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．思路分析第(1)问，注意到A，B已知，MN＝AB，MN∥AB，所以直线l的斜率已知，因此，本题的本质就是已知弦长，求直线的方程问题，因此，利用弦长公式可以求出直线方程中的变量的值，由此得到直线l的方程；第(2)问，通过假设存在后，这样就增加了一个条件，注意到点P满足PA2＋PB2＝12

6，由此可得到点P的轨迹方程，又注意到点P在已知圆上，从而问题转化为两个曲线有没有交点的问题来加以处理．规范解答(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，(2分)则圆心C到直线l的距离为d＝＝.(4分)因为MN＝AB＝＝2，而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2，(6分)解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(8分)(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.(10分)因为|2－2|＜＜2＋2，(12分)所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.(14分)6、(2018南京、盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为________．【答案】－　【解析】由于点Q在圆上运动，导致点P也随之移动，所以可以根据＝3，得出点P的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题．设点P(x，y)，由＝3可得Q.又点Q在圆x2＋(y－1)2＝1上，可得＋＝1，即x2＋(y－3)2＝9，所以点P既在圆x2＋(y－3)2＝9上，又在直线y＝k(x－3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d＝≤3，解得－≤k≤0.7、(2018南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．【答案】3　【解析】P在直线AB：y＝x＋4上，设P(a，a＋4)，可以求出切点弦CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．

7解法1(几何法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)，又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为＋＝，所以AM的最大值为＋＝3.解法2(参数法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为＋＝(除去原点)，所以AM的最大值为＋＝3.8、(2017扬州期末）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，则||的最小值是________.【答案】－　【解析】解法1以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则＝(3,0)，＝，设Q(x，y)，P(x′，y′)，由＝＋，得＝，即所以两式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2)，因为点P(x′，y′)在以A为圆心的单位圆上，所以x′2＋y′2＝1，从而有2＋2＝，所以点Q是以M为圆心，R＝的圆上的动点，因此BQmin＝BM－R＝－＝－.解法2＝－＝＋－＝.令＝－，则＝(－)，那么||＝|－|，求||的最小值，就转化为求|－|的最小值，根据不等式的知识有：

8|－|≥＝，而||2＝2＝2＝2－·＋2＝×32－×3×3×＋×32＝，即||＝，所以|－|≥＝－1，从而||＝|－|≥－，当且仅当与同向时，取等号．解法3　＝－＝＋－，设－＝，则2＝2＋2－·＝1＋9－×3×3×＝7，||＝，所以2＝2＋2＋·＝×1＋7＋×1×cosθ＝＋cosθ，其中θ是，的夹角，由于P在圆上运动，所以θ∈[0，π]，所以||2的最小值为－，所以||的最小值为.9、（2018年苏州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．【答案】3【解析】P在直线AB：y＝x＋4上，设P(a，a＋4)，可以求出切点弦CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．解法1(几何法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)，又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为＋＝，所以AM的最大值为＋＝3.解法2(参数法)因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为＋＝(除去原点)，所以AM的最大值为＋＝3.

9此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1运用了几何法，解法2运用了参数法，消去参数a得到轨迹方程．另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论．