数值分析 - 第二章：多项式插值

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1、数值分析第⼆章：多项式插值张亚楠1苏州⼤学数学科学学院March7,20181Email:ynzhang@suda.edu.cn........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20181/40Contents1.插值法基本原理2.Lagrange插值多项式3.Newton插值4.Newton插值公式推导........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20182/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(

2、xj);0jn如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数？1存在性？........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(xj);0jn如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数？1存在性？2唯⼀性？........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(xj);0j

3、n如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数？1存在性？2唯⼀性？3若存在唯⼀，如何给出？........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40插值法基本原理Definition1设函数y=f(x)定义在区间[a;b]上,x0;x1;


;xn是[a;b]上取定的n+1个互异节点,且已知节点处的函数值f(x0);f(x1);


;f(xn)；若存函数ϕ(x),满⾜ϕ(xi)=f(xi);i=0;1;2;


;n则称ϕ为f(x)的⼀个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,上式为

4、插值条件,⽽误差函数R(x)=f(x)−ϕ(x)称为插值余项。从计算⽅便和理论分析的⾓度出发，我们选择多项式。也即是：对n+1个插值节点选择n次多项式作为插值函数。∑njPn(x)=ajx....................j=0....................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20184/40从计算⽅便和理论分析的⾓度出发，我们选择多项式。也即是：对n+1个插值节点选择n次多项式作为插值函数。∑njPn(x)=ajxj=0（1）多项式P(x)是否存在唯⼀？（2）若存在唯⼀，如何求P(x)？..........................

5、..............张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20185/40Contents1.插值法基本原理2.Lagrange插值多项式3.Newton插值4.Newton插值公式推导........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20186/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,201

6、87/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。解：设P1(x)=ax+b利⽤插值条件得到⽅程组ax0+b=y0;ax1+b=y1解得斜率,进⽽得到点斜式y1y0P1(x)=y0+(xx0)x1x0........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20187/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。更改形式为xx1xx0P1(x)=y0+y1:=y0l0(x)+y1l1

7、(x)x0x1x1x0P(x)isalinearcombinationofl0(x)andl1(x),thecoefsarethefunctionvalueongrids,thetwolinearfunctionsl0(x)andl1(x)satisfyKroneckerdeltali(xj)=ij........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7