数值分析多项式插值实验报告

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1、数值分析多项式插值实验报告数值分析实验报告数值分析课程实验报告实验名称插值与拟合数值分析实验报告123(转载于:海达范文网:数值分析多项式插值实验报告)45数值分析实验报告12实验报告：函数逼近插值多项式补充问题1：对于给函数f(x)?12k?lx?cos?,k取0,1,…，non取10,取点kl+25x22n?21在区间［-1,1］上取xi=T+，试求3次1+25x2或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。问题2：对于给函数f(x)?计算实习题2的结果进行比较。实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近,加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实

2、际算例。实验要求:1.认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2.编写相关程序并进行实验；3.调试程序，得到最终结果；4.分析解释实验结果；5.按照要求完成实验报壬口O实验原理:详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。实验内容：冋题1:这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。当n二10时，代码为:clearallclck=0:10;n=length(k);xl二cos((2*k+l)/2/n*pi):yl=l./(1+25.*xl・八2);f=yl(:);forj=2:nfori=n：-l:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(xl(i)-xl(i

3、-j+1));endendsymsFxp;F(l)=l;p(l)=yl(1):fori=2:nF(i)=F(i-1)*(x-xl(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsymsPP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);xO=_l::1;yO=subs(P,x,xO);y2=subs(1/(l+25*x2),x,xO);plot(xO,yO,xO,y2)gridonxlabel('x')ylabel('y')由此我们可以得到PIO(x)=-*x"10+*x"9+*x"*x"*x"6+*x"5+*x*x*x*x+并可以得到牛顿插值多项式在［-1,1］上的图

4、形，并和原函数进行对比，得Fig.1o牛顿插值多项式函数和原函数图形当n=20,将上述代码中的“20:10;”改为“k=0:20;”即可。由此我们可以得到P20(x)=*x"20+*x"*x"*x"17+*x"*x"14+*x"l3+*x"*x"10+*x"*x"*x"6+*x"*x"2+并可以得到牛顿插值多项式在［-1,11上的图形，并和原函数进行对比，得Fig.2。牛顿插值多项式函数和原函数图形回顾一下实验一的结果，我们不难发现，仅仅是改变了x的取值，结果发生了很大的变化。实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我

5、们不难发现,虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。实验一结果这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。问题2：分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的11个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。首先釆用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下:clearallclcn=3;xl=-l::1;yl二1・/(1+25・*xl.八2);symsSGdax;fori=l:n+l;forj=l:n+1;G(i,j)=sum(x1.八(i+j-2));e

6、ndendfori=l:n+1;d(i)=sum(xl.(i一l)・*yl);enda=G^-l*d';fori=l:n+lX(i)二x"(i~l);endS=vpa(X*a,5)xO=~l::1;yO=subs(S,x,xO);y2=subs(1/(l+25*x2),x,xO);plot(xO,yO,xO,y2)gridonxlabelCx')ylabelCy')我们可以得到一个三次多项式：S3=*x"3-*x"2-*x+o同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图Fig.4o最小二乘法n=3的结果我们发现得到的结果和原函数产生了巨大的误差。首先观察得到的多项式，我们发现它的3次项

7、系数非常小，原因是原函数是一个偶函数，这将导致奇次项系数基本为Oo这里我们调整n,对结果进行观察，取n=4,6,8,10,20o我们可以得到。S4二*x"4+*x"*x"*x+S6二-*x飞+*x八5+*x”*x八*x八2+*x+S8=*x八*x八*x飞+*x八5+*x八*x八*x八2+*x+S10二一*x’*x"9+*x“8+*x八*x八*x八5+*x八4+*x八*x八*x+S20二-*x"20+*x”19+*x“*x“17+*x"16+*xJ5+*x"*x八13+