数值分析——多项式插值的振荡现象

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1、皱值今斩实验报告多项式插值的振荡现象数值分析实验报告实验名称多项式插值的振荡现象实验时间2013年10月23E1姓名班级学号成绩一、实验目的1.理解多项式插值，懂得它的振荡现象。2.研究样条插值，并分析它的收敛性。3.学会在实际生活中使用二维插值。二、实验内容1.设区间卜上函数考虑区间卜1,1］的一个等距划分，分点为则拉格朗日插值多项式为其中的厶（兀）丿=0,1,2,…/是n次拉格朗日插值基函数。2.3.请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可

2、以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。三、算法描述（1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M文件中；(2)考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。故而n的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10.n=3:4:11与n=40三种情况；(3)节点的选取分为均匀节点

3、、切比雪夫节点两种四、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。五、实验结果具体结果在实验分析里：整理的结果如下实验一的结果：1.11+25/当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点

4、为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。3.=arctanx当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。2＞实验二的结果通过作图可以发现：插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收敛性很好；但是发现lagrange插值却出现偏离，即存在误差，而且随着节

5、点的增加，偏离越明显。由此，可以发现，三次样条插值的收敛性比lagrange插值好。3＞思考题结果通过分析计算可知，最高点为：166178该点的高程为：721.098六、实验结果分析1＞实验一结果分析首先尝试了一•些n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见：O故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法;1•节点为均匀节点时：天i=一1十一=n(1)f(x)=1+25/a）当节点为奇数吋，即n=2：2：8,可以得到如下图像从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多,附近的区域拟合越好

6、；节点数越多，两端误差越人；b）当节点为偶数时，即”3：2：9,可以得到如下图像从图屮可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多;附近的区域拟合越好；节点数越多，两端课差越人；和奇数结果人致札I同。c）当n=40吋:160001400012000100008000600040002000'0n=39-20001111111111-1・0・8・0・6・0・4・0.200.20.40.60.81由图可知：插值函数也是左右对称，而几0附近几乎和被插值函数重合，但是两端课差很人，所以结论可以算是准确的。2•

7、当节点为切比雪夫节点时：耳=土+_cos（空二乂］,£=1,2,…,+122（25+1）丿即错误！未找到引用源。，节点是对称的a）当节点为奇数个时,即n=2:2:8时，可以得到:4从图中可以看出：节点数为棊数个并H.对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，所冇区域拟合都越好；b）当节点为偶数个时，即n=3:2:9时，可以得到：0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.20.40.60.81%-0.8-0.6-0.4-0.2此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值两数的图像是对称的；观察结论与节点数为奇

8、数时几乎一样：节点数越多，所有区域拟合都越好；c）当n=40时，得到：1.41.20.60.8n=70.40.2-0.806・0.4-0.20.20.40.60.8从图小我们看到，插值函数左右对称，插值函数儿乎和被插值函数重合。故而，上面的观察结论是正确的。-1•1•节点为均匀节点吋：心=-5+—,7=