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《数值分析 - 第二章:多项式插值》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、数值分析第⼆章:多项式插值张亚楠1苏州⼤学数学科学学院March7,20181Email:ynzhang@suda.edu.cn........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20181/40Contents1.插值法基本原理2.Lagrange插值多项式3.Newton插值4.Newton插值公式推导........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20182/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(
2、xj);0jn如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数?1存在性?........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(xj);0jn如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数?1存在性?2唯⼀性?........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40问题提出在某个区间[a;b]上给出⼀系列函数点值yj=f(xj);0j
3、n如何得到定义在整个区间[a;b]上的⼀个光滑函数?1存在性?2唯⼀性?3若存在唯⼀,如何给出?........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20183/40插值法基本原理Definition1设函数y=f(x)定义在区间[a;b]上,x0;x1;;xn是[a;b]上取定的n+1个互异节点,且已知节点处的函数值f(x0);f(x1);;f(xn);若存函数ϕ(x),满⾜ϕ(xi)=f(xi);i=0;1;2;;n则称ϕ为f(x)的⼀个插值函数,f(x)为被插函数,点xi为插值节点,上式为
4、插值条件,⽽误差函数R(x)=f(x)−ϕ(x)称为插值余项。从计算⽅便和理论分析的⾓度出发,我们选择多项式。也即是:对n+1个插值节点选择n次多项式作为插值函数。∑njPn(x)=ajx....................j=0....................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20184/40从计算⽅便和理论分析的⾓度出发,我们选择多项式。也即是:对n+1个插值节点选择n次多项式作为插值函数。∑njPn(x)=ajxj=0(1)多项式P(x)是否存在唯⼀?(2)若存在唯⼀,如何求P(x)?..........................
5、..............张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20185/40Contents1.插值法基本原理2.Lagrange插值多项式3.Newton插值4.Newton插值公式推导........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20186/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,201
6、87/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。解:设P1(x)=ax+b利⽤插值条件得到⽅程组ax0+b=y0;ax1+b=y1解得斜率,进⽽得到点斜式y1 y0P1(x)=y0+(x x0)x1 x0........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7,20187/40线性插值Example2已知两点函数值y0=f(x0);y1=f(x1)构造⼀次多项式满⾜插值条件。更改形式为x x1x x0P1(x)=y0+y1:=y0l0(x)+y1l1
7、(x)x0 x1x1 x0P(x)isalinearcombinationofl0(x)andl1(x),thecoefsarethefunctionvalueongrids,thetwolinearfunctionsl0(x)andl1(x)satisfyKroneckerdeltali(xj)=ij........................................张亚楠(苏州⼤学数学科学学院)数值分析March7