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时间：2022-10-24
《高二物理竞赛课件：角动量的共同本征态》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
角动量的共同本征态
12一个量子体系处于角动量的共同本征态上，总角动量平方值为。已知测量得值为0的几率是1/2，求测量得值为的几率。分析：需知道在角动量表象下的本征值和本征函数，然后将体系的状态按照本征态来展开。还有一个问题：目前体系处在哪个状态？解：根据上题的结论，在此角动量表象下容易求得本征值及对应的本征函数为答案：肯定是三个状态之一？根据题目所给条件来判断。角动量的共同本征态
23下面来判断体系到底处在哪个状态。假设体系处在状态假设体系处在状态则的几率为则的几率为满足条件因而不会处在这个状态。
34假设体系处在状态则的几率为也满足条件故体系波函数为或下面求在这俩体系中，测量的几率体系波函数为时体系波函数为时﹟可见，处在或态，测量几率都是1/4.
45然后将波函数用球函数展开，看是那些本征函数的叠加。粒子处于态，其中为正实数，C为归一化常数。求(1)的取值；(2)的平均值；(3)的几率；(4)的可能取值及相应的几率。第4问中，角度部分波函数用Lx的本征函数展开需要掌握几个球函数的表达式分析：研究角动量算符问题，应该将波函数换到球坐标下表示。经过代换、化简有
56容易求得本征值及对应的本征函数为在角动量表象下，上页波函数其角度部分可以写为由此可得的几率为同理可得的几率为﹟根据前题的结论，在此角动量表象下
67在由正交基矢构成的三维态矢空间中，哈密顿算符与力学量的矩阵为(1)证明为守恒量；(2)求出与的共同本征态矢组。分析：第一问思路明确；第二问要使用定理：非简并本征态必为某守恒量的本征态。H属于本征值E0的本征态是非简并的，故它是A算符的本征态；但-E0简并，如何处理？
78解：（2）求哈密顿算符的本征态可以求得属于不同本征值的本征态二重简并，可以给出其简并态为
89根据定理：非简并本征态必为某守恒量的本征态可以发现，非简并本征态是算符的一个本征态。但简并态不是A的本征态不过，我们可以将其进行适当的线性组合，使其成为A算符的本征态：现在关键是求组合系数。
910问题：对于组合后的波函数它是否H算符的本征态？为求组合系数，写出A满足的本征值方程根据求解矩阵本征值方程的一般方法，可以求得故与的共同本征态矢组为﹟
1011质量为的粒子在势场中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为（1）以左乘上式后一等式得利用完备性关系可得由于且则上式变为
1112其中定义上式即为表象中的能量本征方程。其中代入上式得（3）﹟
1213在的表象中，基矢为求与的矩阵表示。分析：显然在这三个基矢所组成的表象中，是对角化的。只需利用升降算符求和的矩阵表示。解：求和的矩阵元。及则利用
1314另外有所以同理有当然我们已经知道是对角矩阵﹟
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