第08讲 角动量本征方程的解12

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1、第09-11讲角动量本征方程的解一、角动量和角总动量算符的回忆刚体转子的薛定谔方程中因此方程即是(Ⅱ-1)整理后得(Ⅱ-2)其中且,.式(Ⅱ-2)也是角动量的本征方程。为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系(r:0®¥)(q:0®p)(f:0®2p)(Ⅱ—3)逆变换关系是(Ⅱ—4)于是有偏微商关系则得同法得(Ⅱ---5)(Ⅱ—6)方程（Ⅱ—2）即为(Ⅱ---7)其中常数。用分离变量法，令(Ⅱ----8)代入方程式（Ⅱ---7）并移项整理后得(Ⅱ—9)上式左右两边分别是独立变量q和f的函数，要等式成立它们都应等于同一常数，令此常数为C。即得两个独立的全微分方程(

2、Ⅱ---10)(Ⅱ---11)先讨论含变量f的方程(Ⅱ---11)，方程移项得(Ⅱ---12)这是一个常系数二阶常微分方程，其解为(Ⅱ---13)根据周期性边界条件，即要求所以因此代入关系式，得归一化常数为,于是(Ⅱ---14)以上是解的复数形式，如果对m相同的解进行线性组合就可得到另一套实数形式的解，即m=0m¹0(Ⅱ---15)利用关系式C=㎡，就可求解含变量q的方程(Ⅱ---10)，即移项后(Ⅱ---16)作变量交换，令(Ⅱ---17)利用和关系式(Ⅱ---17)，(Ⅱ---16)式变成(Ⅱ---18)上式称为关联勒让德方程。当m=0时称为勒让德方程：(Ⅱ---19)先讨论式(Ⅱ

3、---19)勒让德方程的解。因为z=cosq,而0£q£p，所以-1£z£1,因为可在z=0的领域将P(x)用幂级数展开，然而用级数法求解，即(Ⅱ---20)(Ⅱ---20’)(Ⅱ---20’’)代入方程(Ⅱ---19)，如果(Ⅱ---20)是方程的解，则方程就变成恒等式，那么恒等式中z的任意次幂的系数都应等于零。对于的系数，应有于是得到系数的递推关系式(Ⅱ---21)因为波函数的标准化条件要求P(z)在区间-1£z£1上应是收敛的，即级数P(z)应该是一个有限项的多项式。从式可知只有取为一个特殊值(Ⅱ---22)则=0才能使级数到项终止。因为递推关系式J的间隔为2，所以若J为偶数，那

4、么令此级数只有偶次项；若J为奇数，那么令级数只有奇次项。这样P（z）就是一个多项式。为了使递推公式中的和都是最简单的数值为1，令，再利用向低次递推关系(Ⅱ---23)用数学归纳法可得的系数的通式是r=0，1，2，…，[J/2](Ⅱ---24)这是由2r≤J,且r为正整数而得到的关系，所以[J/2]表示不大于J/2的最大整数。于是就得到的多项表达式（1-4-38），即(Ⅱ---25)另外也可得到（1-4-38）式的P(z)的微分表达式，将按二项式定理展开得对z微商J次并乘1/（）得(Ⅱ---26)因为所以微商后对不同r值的项加和只要到[J/2]就可以了，因为其余项求导后全是零了。上述结果

5、代入(Ⅱ---26)得和式(Ⅱ---25)比较，取得的微分表达式(Ⅱ---28)下面讨论关联勒让德方程(Ⅱ---18)，由于方程在z=±1处有奇点，故勒考虑有下列形式德解(Ⅱ---29)代入(Ⅱ---18)：(Ⅱ---30)如果对勒让德方程(Ⅱ---19)微商m次，由数学归纳法可证明其结果为(Ⅱ---31)这就是所要求解的方程(Ⅱ---30)，差别仅是和m，由于这里m是微商次数，故设m≥0，于是就得方程(Ⅱ---30)解为代入(Ⅱ---29)，得到关联勒让方程(Ⅱ---18)得解为(Ⅱ---32)因为对微商最多不能超过J次，所以得到m和J的关系式是根据(Ⅱ---17)式，为使归一化，可

6、令(Ⅱ---17)其中为归一化常数，利用关系式得归一化常数是(Ⅱ---34)由(Ⅱ---8)，(Ⅱ---14)和(Ⅱ---17)式得刚性转子方程(Ⅱ---17)的解为【即（1-4-40）式】(Ⅱ---35)）称为球谐函数。由(Ⅱ---7)和(Ⅱ---22)式可得其本征值（转动能量），即（1-4-39）式(Ⅱ---36)其中J=0,1,2,…。由(Ⅱ---1)和(Ⅱ---2)式的关系可知，角动量方程的本征函数也是(Ⅱ---35)所示的，其本征值（角动量）是（Ⅱ---37)