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时间：2022-10-24
《高二物理竞赛课件：一维谐振子势场》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
一维谐振子势场
12有一个质量为 的粒子在一维谐振子势场中运动．在动能 的非相对论近似下，定态能量为 ，定态波函数为其中 为归一化常数．考虑T与p的相对论修正，计算能级 的移动 至阶．提示：一维谐振子势场
23注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为而总能量是静能与动能之和，所以解：由前面分析可知这是非简并微扰问题。能量的一级修正为考虑利用题目所给出的条件—递推公式
34则其精度符合题目要求。﹟
45电子在类氢离子势场中的定态能量为，定态波函数为。这是在动能的非相对论近似下得到的结果。现在考虑的相对论修正至阶，即修正项为计算能级的移动至阶。提示：分析：这显然是简并的微扰论问题。其中
56解：利用公式则可知，的所有非对角元均为0。利用的本征值是简并的,相应的本征函数为为求矩阵元方便寻找同H0的关系
67也就是说，我们可以选作为0级近似波函数使从而对角化。（已经介绍：新选的0级波函数是使对角化的）。即每一个分裂能级对应一个，可用非简并态微扰方法来处理简并微扰问题。此时
78代入上式将及得以上用到Bohr半径﹟
89一原子在向磁场中除了能级的Zeeman分裂外,还受到的微扰其中为Bohr磁子,为Bohr半径,为电子电荷（１）已知氢原子基态波函数 ，求一级微扰能（２）估计这项修正的能级（设 高斯），同Zeeman分裂(量级)比较;（３）分析这个修正的物理意义。
910分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用非简并微扰论解：（1）一级微扰能即能量的一级修正（2）Zeeman效应中给出了分裂强度故其比值为
1011其中精细结构常数为电子的静能为玻尔磁子是个已知量且B=104高斯可以得到λ=2.12×10-6。（3）是原子的磁四极矩同磁场的作用能！﹟
1112（１）给出此体系的Hamiltonian量及其本征函数与本征值。一根质量均匀分布长度为 的杆，以它的中心为固定点，被约束在一平面上转动。此杆具有质量和固定于两端的电荷与。（2）如有一个处于该转动平面的恒定弱电场作用于这个体系，用微扰方法求基态新的本征函数（一级近似）与本征能量（二级近似）（3）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。提示:1.这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写出相应的哈密顿；2.外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会分别处理。
1213解：（1）设杆沿z轴转动，xy为转动平面。无外场的哈密顿可以比照平动方式写出其本征值与本征函数分别为（2）可以考虑所加弱电场的方向沿x方向，即当所加外电场较弱时，转子可以在xy平面内转动，但受到外场的微扰，转动不是很均匀。-Q+Qd/2z
1314基态零级近似能量是非简并的，零级近似波函数为，由此求出微扰矩阵元将相应的波函数代入，有利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式取无限处为0势点，则其微扰项是
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