《圆与方程》专题3 圆交线、圆切线 学案（Word版含答案）

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《圆与方程》专题3-1圆交线、圆切线（4套，6页，含答案）知识点：直线与圆相交：（1）求弦长及弦长的应用问题，常用垂径定理及勾股定理，即一出现线圆相交，马上构造钻石三角形，如右图，知道其中两个量，求第三个量。（2）知道交线长度求直线方程：构造直角三角形，计算圆心到直线的距离d；直线过定点，设点斜式方程，代入点线距离公式，令其距离等于d，解出k即可。（3）弦长公式：（暂作了解，无需掌握）（3）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.典型例题1：1.直线x－y＋3＝0被圆（x＋2）²＋（y－2）²＝2截得的弦长等于（答案：D；）A.B.C.2D.2.已知直线L：kx－y－3k＝0与圆M：x²＋y²－8x－2y＋9＝0.（1）求证：直线L与圆M必相交；（2）当圆M截直线L所得弦长最小时，求k的值.（配方：(x－4)²＋(y－1)²＝8；答案：直线y＝k(x－3)过（3，0）；y＝－x＋3；）随堂练习1：1.圆x²＋y²＝4截直线所得的弦长是（答案：A；）A.2B.1C.D.2.直线截圆(x－1)²＋y²＝4得的劣弧所对的圆心角是（答案：C；）A.B.C.D.3.已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)²＋(y＋3)²＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于____答案：2；[解析]　∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝＝，又R＝3，∴|EF|＝2＝4.∴S△CEF＝|EF|·d＝2.____．4.直线y＝kx＋1与圆x²＋y²－2y＝0的位置关系是（　答案：A；　）A.相交B．相切C．相离D．取决于k的值（配方得：x²＋(y－1)²＝1；）

1典型例题2：1.若点P(1，1)为圆(x－3)²＋y²＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为(　答案：D；[解析]　圆心C(3,0)，kPC＝－，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1，∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.　)A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝02.求过点P（6，－4）且被圆x²＋y²＝20截得长为的弦所在的直线方程．（答案：；；）3.过点M(0，4)，且被圆(x－1)²＋y²＝4截得的线段长为2的直线方程为______答案：x＝0或15x＋8y－32＝0；解析　设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为2符合题意；当直线方程为kx－y＋4＝0时，d＝＝＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0．______．随堂练习2：1.设直线L截圆x²＋y²－2y＝0所得弦AB的中点为(－，)，则直线L的方程为_____；|AB|＝__答案：x－y＋2＝0　；[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋y－2y1＝0，x＋y－2y2＝0，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)－2(y1－y2)＝0，kAB＝＝1.故L的方程为y－＝1·(x＋)，即x－y＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r＝1，故|AB|＝.___.2.过点且被圆x²＋y²＝25截得弦长为8的直线的方程为答案：x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0；.3.已知直线L：x＋2y＋k＋1＝0被圆C：x²＋y²＝4所截得的弦长为4，则k是（答案：A；）A．－1B．－2C．0D．2知识点3：圆切线：①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点如定点，圆：，[点P在圆外]第一步：设切线L方程第二步：通过d＝r得到k，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点P（1，1）作圆x²＋y²－4x－6y＋12＝0的切线，求切线方程.答案：3x－4y＋1＝0和x＝1③求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程

2典型例题3：1.圆(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0)与两坐标轴都相切的条件是（答案：C；）A、a²＋b²＝r²B、a＝b＝rC、a²＝b²＝r²D、|a|＝r或|b|＝r2.过点P(－1，6)且与圆(x＋3)²＋(y－2)²＝4相切的切线长为；切线方程是答案：4；x＝－1，3x－4y＋27＝0；；随堂练习3：1.若直线3x＋4y＋k＝0与圆x²＋y²－6x＋5＝0相切，则k的值等于（答案：C；）A、1B、±10C、1或－19D–1或19（配方：(x－3)²＋y²＝2²）2.已知圆方程是(x－a)²＋(y－b)²＝r²，分别根据下列条件，写出a、b、r满足的条件：(1)若圆与y轴相切，则.(2)若圆与两坐标轴都相切，则答案：(1).(2)；.3.自点A(－1，4)作圆(x－2)²＋(y－3)²＝1的切线，则切线长为（），切线方程为：答案：3；；；。4.过点P(2，3)引圆x²＋y²－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是(　答案：D；[解析]　点P在圆外，故过P必有两条切线，∴选D.　)A．x＝2B．12x－5y＋9＝0C．5x－12y＋26＝0D．x＝2和12x－5y－9＝0典型例题4：1.由动点P向圆x²＋y²＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________答案：x2＋y2＝4；__________．随堂练习4：1.过直线x＋y－2＝0上点P作圆x²＋y²＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是___答案：(，)；[解析]　本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|＝2，由可得._____．2.过原点O作圆x²＋y²－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为____答案：4；____．

3《圆与方程》专题3-2圆交线、圆切线1.直线3x－4y－4＝0被圆(x－3)²＋y²＝9截得的弦长为（答案：C；）(A)(B)4(C)(D)22.若P（2，－1）为(x－1)²＋y²＝25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（答案：A；）A.x－y－3＝0B.2x＋y－3＝0C.x＋y－1＝0D.2x－y－5＝03.设直线y＝x＋2a与圆C：x²＋y²－2ay－2＝0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为答案：；解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：，圆的标准方程为：，则圆心到直线的距离为：，利用勾股定理有：，解得，所以半径为，所以面积为4.某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01m)答案：12－24；[分析]　建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长[解析]　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得y＝－24＋12.答：支柱A2P2的长约为12－24.[点评]　在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．5.过点(－1，－2)的直线L被圆x²＋y²－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线L的斜率为____答案：1或；【解析】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k，则直线L的方程为y＋2＝k.又圆的方程为2＋2＝1，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝＝＝，解得k＝1或.____．6.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x²＋y²＝2}，那么P∩Q为_____答案：{(1,1)}；解析　解方程组得x＝y＝1．___．7.求过点P(－1，5)的圆(x－1)²＋(y－2)²＝4的切线方程．答案：x＝－1或5x＋12y－55＝0；解　①当斜率k存在时，设切线方程为y－5＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋5＝0．由圆心到切线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．8.过原点的直线与圆x²＋y²＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（答案：C；）A.B.C.D.（配方：(x＋2)²＋y²＝1；）9.直线L与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x²＋y²－18x＋45＝0相切，则直线L的方程是(　答案：C；　[设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．]　)A．4x－3y－6＝0B．4x－3y－66＝0C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0D．4x－3y－15＝0

4《圆与方程》专题3-3圆交线、圆切线1.圆x²＋y²－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(　答案：A；　[分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．]　)A．B．C．1D．52.设圆x²＋y²－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为答案：；；3.已知圆x²＋y²＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．答案：m＝3；[解析]　设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个根，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入，得y1y2＝.④将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，∴m＝3.4.一辆卡车宽2．7米，要经过一个半径为4．5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过(　答案：C；　[可画示意图，如图所示，通过勾股定理解得：OD＝＝3．6(米)．]　)A.1．4米B.3．0米C.3．6米D.4．5米5.直线L经过点P(5，5)，且和圆C：x²＋y²＝25相交，截得的弦长为4，求L的方程．答案：x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0；解　圆心到L的距离d＝＝，显然L存在斜率．设L：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝．∴＝，∴k＝或2．∴L的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．6.若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x²＋y²－2x＝0相切，则a的值为（答案：D；）A.1，－1B.2，－2C.1D.－1答案：x＝2或3x－4y＋10＝0；解：显然为所求切线之一；另设而，或为所求。7.求过点A(2，4)向圆x²＋y²＝4所引的切线方程；切线长度。8.将圆x²＋y²＝1沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________，若过点（3，0）的直线L和圆C相切，则直线L的斜率为_____________.（答案：；；）9.已知A（－4，0），B（2，0）以AB为直径的圆与y轴的负半轴交于C，则过C点的圆的切线方程为答案：；.

5《圆与方程》专题3-4圆交线、圆切线1.设A，B为直线y＝x与圆x²＋y²＝1的两个交点，则|AB|等于(　答案：D；　)A．1B.C.D．22.已知圆x²＋y²＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为____答案：4；____．3.圆的方程为x²＋y²－6x－8y＝0，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为答案：；_______4.已知直线L过点P（1，1），并与直线L1：x－y＋3＝0和L2：2x＋y－6＝0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求：（Ⅰ）直线L的方程；（Ⅱ）以O为圆心且被L截得的弦长为的圆的方程．（答案：，；；；）5.一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　答案：B；[解析]　圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，∴弦心距OB＝≈3.5.　)A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m6.将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²＋y²＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为（答案：A；）（A）－3或7（B）－2或8（C）0或10（D）1或117.过点P(1，1)作圆x²＋y²－4x－6y＋12＝0的切线，求切线方程.（答案：和；）8.已知圆x²＋y²＝1，则y轴上截距为的圆的切线方程是（答案：C；）切线长等于_______；A.　　B.C.或　　D.或　9.与圆x²＋y²－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有(　答案：C；　[需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或＋＝1，由d＝r求得k＝±1，a＝4．]　)A．1条B．2条C．3条D．4条

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