材料成形原理-第4章-本构关系.

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材料塑性本构关系材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关系，其数学表达式称为本构方程，也称为物理方程材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与材料变形历史、组织结构等因素有关材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结为等效应力与等效应变之间的关系

1实验结果表明，按不同应力组合得到的等效应力——等效应变曲线基本相同通常可以假设，对于同一种材料，在变形条件相同的条件下，等效应力与等效应变曲线是单一的，称为单一曲线假设可以采用最简单的实验方法来确定材料的等效应力——等效应变曲线材料塑性本构关系

2材料塑性本构关系常用实验方法有三种PP单向拉伸实验PP单向压缩实验PP平面应变压缩实验

3简单拉伸的名义应力——名义应变曲线等效应力——等效应变简化模型OABCD名义应变名义应力

4简单拉伸的真应力——真应变曲线等效应力——等效应变简化模型OABCD名义应变名义应力OABCD真应变真应力

5等效应力——等效应变简化模型简单拉伸的真应力——真应变曲线真应变真应力弹性变形理想塑性变形强化变形硬化变形

6一般由实验得到的真应力——真应变曲线（等效应力——等效应变曲线）比较复杂，不能用简单的函数形式来描述，在应用方面也不方便。因此通常都将实验得到的曲线处理成可以用某种函数表达的形式主要等效应力——等效应变简化模型理想弹塑性材料模型理想刚塑性材料模型幂指数硬化（强化）材料模型刚塑性非线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型刚塑性线性硬化材料模型等效应力——等效应变简化模型

7理想弹塑性材料模型理想弹塑性材料模型的特点是应力达到屈服应力前，应力与应变呈线性关系，应力达到屈服应力之后，保持为常数等效应力——等效应变简化模型Oes适合于应变不太大，强化程度较小的材料

8等效应力——等效应变简化模型理想刚塑性材料模型理想刚塑性材料模型的特点是忽略材料的强化和弹性变形，数学表达式为Os适合于热加工和超塑性的金属材料

9等效应力——等效应变简化模型幂指数硬化材料模型幂指数硬化材料模型的数学表达式为Ok适合于大多数金属材料可以简化为线弹性模型和理想刚塑性模型k为强度系数或者称为强化（硬化）系数n为硬化指数，0

10等效应力——等效应变简化模型刚塑性硬化材料模型刚塑性非线性硬化材料模型的数学表达式为Os适合于预先经过冷加工的金属材料。材料在屈服前为刚性的，屈服后硬化曲线接近于抛物线k1和m与材料性能有关的参数理想刚塑性刚塑性非线性硬化

11等效应力——等效应变简化模型弹塑性线性硬化材料模型弹塑性线性硬化材料模型的数学表达式为Oes适合于弹性变形不可忽略，且塑性变形的硬化率接近于不变的材料。例如合金钢、铝合金等E1为塑性模量

12等效应力——等效应变简化模型刚塑性线性硬化材料模型如果弹性变形可以忽略，材料的硬化认为是线性的。其数学表达式为Os适合于经过较大的冷变形量之后，并且其加工硬化率几乎不变的金属材料

13广义虎克定律材料弹性本构关系E—弹性模量；—泊松比；G—剪切模量

14广义虎克定律的张量表达式材料弹性本构关系应力与应变之间是线性关系

15在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是非线性的，与加载历史或应变路径有关。因此用增量理论近似地描述加载历史和复杂的应变路径由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提出了各种不同的本构理论应用广泛的有Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论增量本构理论又称为流动理论材料增量塑性本构关系

16Levy—Mises理论材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总应变增量；材料服从Mises屈服准则，即；塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是应变增量偏张量；材料增量塑性本构关系在以上假设基础上可假设应变增量与应力偏张量成正比d—正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是变化的，在卸载时d=0

17材料增量塑性本构关系Levy—Mises理论的展开式为

18材料增量塑性本构关系Levy—Mises理论正应变增量两两相减，并将切应变的表达式一起写出代入等效应变增量

19材料增量塑性本构关系Levy—Mises理论再利用等效应力公式整理后可得瞬时比例系数d

20可得Levy—Mises本构理论为材料增量塑性本构关系Levy—Mises理论张量表达式为

21Prandtl-Reuss理论Levy—Mises理论没有考虑弹性变形的影响，仅适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较小，弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和残余应力问题时不宜采用Levy—Mises理论Prandtl于1924年提出了平面应变情况下理想弹塑性材料的本构关系Reuss在1930年也独立提出了该理论，并将其推广到一般情况通常将它称为Prandtl-Reuss理论材料增量塑性本构关系

22材料增量塑性本构关系Prandtl-Reuss理论Prandtl-Reuss理论考虑了弹性变形部分，将总的应变增量dij分解为弹性应变增量dije和塑性应变增量dijp之和其中塑性应变增量dijp由Levy—Mises理论给出

23材料增量塑性本构关系Prandtl-Reuss理论其中弹性应变增量dije由广义虎克定律的微分形式给出可以得到Prandtl-Reuss本构方程为

24材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从工程应用的角度讲是不方便的许多学者（例如Hencky、Nadai、伊留申）相继提出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理论，也称为形变理论其中伊留申提出的全量理论较为实用伊留申指出，在塑性变形时，只有满足简单加载（也称为比例加载）条件时，才可以建立材料全量本构理论材料全量塑性本构关系

25简单加载指在加载过程中，所有的外力从一开始就按同一比例增加为了建立全量理论，需要提出以下几点假设：应力主方向与应变主方向是重合的；塑性变形时体积保持不变；应力偏量分量与应变偏量分量成比例；等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个函数都可以通过实验来确定；材料全量塑性本构关系E’为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关

26根据以上假设，可以写出如下方程材料全量塑性本构关系G’为塑性剪切模量，与材料性能和塑性变形程度有关

27将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式一起写出材料全量塑性本构关系

28再利用等效应力和等效应变公式材料全量塑性本构关系整理后可得利用

29材料全量塑性本构关系全量形变理论可以表示为上式与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克定律中的E、G、分别用E’、G’、0.5替代即可。但是广义虎克定律中E、G都是常数，而全量理论中E’、G’是与材料性能和加载历史有关的变量