车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟(1)

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1、i维普资讯http://www.cqvip.com；{：+{}{；l{{；，；^，?。》j，，：：}日．量i§ii净：交j{毫宣》‘葺}，i}j争：一，}?日》{{鱼1j氢一，第2o卷第5期工程数学学报V01．20No．5Mar．2003003年。3月JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号：1005．3085(2003)05．0065．06车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟谭永基(复旦大学数学系，上海200433)摘要：本文对在车灯反射光满足一定设计规范的前提下优化车灯灯丝长度的问题建立了基于光线跟踪和基于反射点轨迹分析的两类优化模型，并对

2、模型的数值模拟和数值求解进行了讨论。本文还对出现的其他模型进行了评述。关键词：数学模型；线光源；数值模拟分类号：AMS(2000)49K35；78A55中图分类号：0224；029；TM923．02文献标识码：A1问题的提出为保证汽车夜间行驶的安全，要求汽车的车灯能照亮汽车行驶正前方一定距离内的一定宽度范围，但为了节省能源，这一宽度范围不必太大(沿宽度方向有一定衰减率)。各类车灯的工业设计规范正是据此而制定的。由于车灯的照明主要靠反射光，又考虑到汽车通常的速度，我们采用的设计规范为，在水平放置的车灯的反射面焦点F点正前方25米处(A点)放置一个测试屏，与垂直，在该测试屏上过A点

3、引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和c点，使AC=2AB=2．6米，要求在测试屏上B点与c点的反射光强度分别超过2H和日，其中日表示某一额定的光强度。我们考察的汽车车灯的形状为一个水平放置的旋转抛物面，其开lZl半径为36毫米，深度为21．6毫米，焦点离开lZl平面的距离为6．6毫米。该车灯安装在汽车的头部，对称轴指向水平正前方。经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向对称地放置长度为毫米且均匀分布的线光源。记线光源的总功率为，在测试屏上B与c点的反射光强度可分别记为(f)与(f)，设计规范可表示为B(f)≥2H，hc(f)≥日现在问题就是求出最优的线光源

4、长度，满足此规范并使功率最小。不难看出，日可取为1，在求得最小的后，再乘以日即可。这样一来，问题就归结为维普资讯http://www.cqvip.com工程数学学报第20卷，mln10《，≤1o1s．t．h口(1)W≥2hc(1)W≥12反射光线的方向建立坐标系如下，取车灯旋转抛物反射面的顶点为原点0，OA为Z轴方向，Y轴平行于灯丝的右手坐标系如图1所示。以毫米为单位(下同)，由所给信息不难求出车灯反射面方程为。：，焦点坐标为(0，0，15)。位于点e(o，W，15)的点光源发出的光线经反射面上一点Q反射出去，设反射点的坐标为Q(，y，)，若记入射向量为，该点反射面外法线方向为

5、，不难得到反射向量满足▲一——————～+2：。一T6／L记：未+多，由，：(，Y—W，F2／60—15)／b=(x130，y／30，一1){／从而得占：(c，c，c)的表达式2xyw矗丽w(2y22c=—r+UUr4-1800r一3600wy4-8113000————～l奎I1g．-#t光线3反射面上面元受点光源照射的能量为研究反射面上一个面元反射一个点光源发射的光强度，我们首先考察该面元受点光源照射的光强度。由于光强度正比于功率，若考察单位时间，我们可以研究单位时间内光源发射到该面元的能量。由几何光学知识，距离功率为1个单位的点光源P为尺的点Q附近一面积微元dS单位时间受该

6、点光源照射的能量为它对点光源所在位置所张的立体角，即dS其中卢为PQ连线与面积微元法线的夹角。于是，若旋转抛物面反射点的坐标为Q(，Y，。)，则具有功率dN的位于点的点光源单位时间照射到Q点附近的旋转抛物面上的面元dS能量为ds维普资讯http://www.cqvip.com第5期车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟67其中—P—Q=~／+(Y一)+(r2／60—15)而为PQ连线与旋转抛物面在Q点处法线的夹角，所以r／2+450一ywcosp'=—===—·————一PQT900其中r=+Y。4光线跟踪模型设线光源的长度为，功率为1。将光源分为每段长的等分，每段光源可视作

7、一个功率为1／M的点光源。该点光源发射的光可离散为许多条光线，这些光线中的部分会被抛物面反射出去，在测试屏点(或c点)附近取一个小领域，跟踪这些光线，将反射到此领域中的光线所具有的能量叠加并除以小领域的面积，即为点(或C点)处的光强度h(Z)(或h(Z))。反射离散光线可用下述方法产生：1)将反射面进行剖分，例如用柱面坐标，对径向，环向和高度进行等分，将反射面分成很多小面元。2)将面元中心点与光源的连线作为该光源发出的光线。这些反射光线反射到测试屏的位置可由第2节的方法计算而反射的的能量可由