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1、第卷第期工程数学学报加年月,文章编号一一一车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟谭永基复旦大学数学系,上海摘要本文对在车灯反射光满足一定设计规范的前提下优化车灯灯丝长度的问题建立了基于光线跟踪和基于反射点轨,。迹分析的两类优化模型并对模型的数值模拟和数值求解进行了讨论本文还对出现的其他模型进行了评。述关健词数学模型线光源数值模拟分类号中图分类号文献标识码问题的提出,为保证汽车夜间行驶的安全要求汽车的车灯能照亮汽车行驶正前方一定距离内的一,,。定宽度范围但为了节省能源这一宽度范围不必太大沿宽度方向有一定衰减率各类车。,灯的工业设计规范正是据此而制定的由
2、于车灯的照明主要靠反射光又考虑到汽车通常的,,速度我们采用的设计规范为在水平放置的车灯的反射面焦点点正前方米处点放置一个测试屏,与垂直,在该测试屏上过点引出一条与地面相平行的直线,在该直线点的同侧取点和点,使二米,要求在测试屏上点与点的反射光强度分别超过和,其中表示某一额定的光强度。我们考察的汽车车灯的形状为一个水平放置的旋转抛物面,其开口半径为毫米,深,口。,度为毫米焦点离开平面的距离为毫米该车灯安装在汽车的头部对称轴指向水平正前方。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向对称地放置长度为毫米且均。,匀分布的线光源记线光源的总功率为『在测试屏上与点
3、的反射光强度可分别记为,,与设计规范可表示为。评,。详妻,。现在问题就是求出最优的线光源长度满足此规范并使功率最小,,。不难看出可取为,在求得最小的后再乘以即可这样一来,问题就归结为工程数学学报第卷叨‘亡。“。〕。〕。和。,。只要建立的数学模型求解上述优化问题即可反射光线的方向建立坐标系如下,取车灯旋转抛物反射面的顶点为原点,为轴方向,轴平行于灯丝的右手坐标系如图所示。以毫米为单位下同,由所给信息不难求出车灯反射面方程为厂碳挤,焦点坐标为,。,巧。位于点尸,,巧的点光源发出的光线经反射面上一点口反射出去,设反射点的坐标,,,为,歹,三共工若记人射向量为
4、左该点反射面外法线方向为云不难得到反射向量子满足左乙二。一万下打记矛二芜夕,由诀了一叨,,一,,一争二,,,从而得的表达式叨少,一,一二二兰丝吐护缈掣迎巡‘印义〕图反射光线反射面上面元受点光源照射的能量为研究反射面上一个面元反射一个点光源发射的光强度,我们首先考察该面元受点光源照射的光强度。由于光强度正,,比于功率若考察单位时间我们可以研究单位时间内光源。,发射到该面元的能量由几何光学知识距离功率为个单位的点光源尸为的点口附近一面积微元单位时间受该点光源照射的能量为它对点光源所在位置所张的立体角,即」。夕甲一一丁布份口汀大‘。其中召为尸连线与面积微元法
5、线的夹角于是,若旋转,,,抛物面反射点的坐标为则具有功率的位于点的点光源单位时间照射到口点附近的旋转抛物面上的面元能量为己刀旦‘,砂第期车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟其中二,了一叨,,一,而丫而月为尸连线与旋转抛物面在点处法线的夹角,所以一叨月千厢尸,二,了其中光线跟踪模型,。,设线光源的长度为功率为将光源分为每段长的等分每段光源可视作一个功率为的点光源。该点光源发射的光可离散为许多条光线,这些光线中的部分会被抛物面反射出去,在测试屏点或点附近取一个小领域,跟踪这些光线,将反射到此领域中的光,,线所具有的能量叠加并除以小领域的面积即为点或点处
6、的光强度或。。入反射离散光线可用下述方法产生将反射面进行剖分,例如用柱面坐标,对径向,环,。向和高度进行等分将反射面分成很多小面元将面元中心点与光源的连线作为该光源。发出的光线这些反射光线反射到测试屏的位置可由第节的方法计算而反射的的能量可。由第节所述的方法计算。采用光线跟踪法如何保证计算精度是至关重要的具体检验精度的方法是同时将光源和反射面的剖分加密一倍,将或点附近的小领域的面积缩小一半,得到的结果无显著,。变化时方能认为结果是可信的基于反射点轨迹分析的模型这一模型的思路是将线光源视作点光源的叠加,以点的光强度为例,若位于尸,,的功率为二的点光源,经
7、反射面上口点反射到,则点附近反射面上微元反射的功率为二·月二习·,而这束光照射到测试屏点附近的面积为则此点光源经反射点对点光强度的贡献为·月己韶一·二,沛于,,是只要确定所有反射点和相应的点光源位置将它们对点光强度进行叠加或积。分即可求出反射点的坐标及其反射的能量仍以点为例,设尸,,处的点光源发出的二,,。,光线经抛物反射面上一点口反射到点注意到反射光向量通过点应有一,一少一工程数学学报第卷其中为常数,艺,,,为反射向量由第二节给出的公式决定。从上述第一式可解得一由或此得反射点坐标满足以下两组方程切二记‘月、护,一功‘,功一,刃少少妇加拓仪〕少。以兀旧
8、仪〕一二一二士,一一,,丫,,,即。,通过计算可知存在当时第一组方程不存在满足的实根无反射点而
