行列式

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第1章行列式行列式是一个重要的数学工具，它在很多学科中都有重要的应用.本章介绍一般的n阶行列式的定义、性质和计算方法，介绍用行列式求解线性方程组的克拉默（Cramer）法则等内容．这也是学习后续章节必备的基础知识.1.1行列式的定义和性质1.1.1行列式的定义首先讨论二阶行列式.设a,b,c,d均为实数，将它排成下列形式，并框在两条竖线以内：ab,cd称之为二阶行列式.a,b,c,d称为它的元素.其值定义为ab=ad−bc.cda与d所在位置的连线称为主对角线.显然，二阶行列式的值等于主对角线上的两个元素的乘积与另外两个元素乘积之差.例如：12=×−×=−14232.34其次讨论三阶行列式.形如aaa123bbb123ccc123的行列式称为三阶行列式，它有9个元素aa,,,c.其值等于123abc++−−−abcabcabcabcabc123231312321132213图1.1可用来帮助记忆上述公式.它是这样构造的：在由三阶行列式中9个元素组成的数阵右边依次添上它的第一列和第二列，排成图中3行5列的数阵.图中画有3条实线和3条虚线，将每条线上的3个元素相乘，实线上3个元素乘积的前置符号取正号，虚线上3个元素乘积的前置符号取负号，就得到三阶行列式的计算公式.·1·

1工程数学a1a2a3a1a2b1b2b3b1b2c1c2c3c1c2图1.1例如，行列式12345615026734835716824027=××+××+××−××−××−××=.780对于四阶和四阶以上的行列式，就没有这种方便的记忆公式了.下面举一个例子.设含有两个未知数x与y的线性方程组：axby+=m,cx+=dyn.式中，a,b,c,d,m,n都是实数.为了求它的解，可以采用消元法.将第一个方程乘以d，第二个方程乘以−b，两者相加，消去未知数y，得到只含x的方程：()ad−=−bcxmdnb.md−nb假设ad−≠bc0，那么x=.ad−bcna−mc类似地，从原方程组中消去未知数x，得到y=.如果用行列式表示就有ad−bcmbamndcnx=和y=,ababcdcdab式中的称为该方程组的系数行列式.因此当系数行列式不等于零时，该线性方程组有唯cd一解.其解可以用行列式的商表示.那么对于含有3个未知数3个方程线性方程组，有没有类似的结论呢？答案是肯定的，而且对含有任意n个未知数、n个方程的线性方程组都有类似的结论.下面讨论一般的n阶行列式.2设有n个实数排成下列形式：aaa11121naaa21222nD=（1.1）aaan12nnn称之为n阶行列式，其中aij(,=1,2,,)n称为行列式的元素，它的两个下标i、j代表该元ij素所在的行和所在的列.a是位于第i行第j列的元素，称a为行列式D的(,)ij元素.例如，ijij·2·

2第1章行列式a是位于第一行第二列的元素.12当n=1时，定义Da=.一阶行列式只有一个元素，此时D等同于该元素.为避免与绝11对值符号混淆，一阶行列式a写为a.下面将以递推的形式给出一般n阶行列式的计算公1111式，为此先介绍“余子式”与“代数余子式”的概念.设a为n阶行列式（1.1）的一个元素.将式（1.1）中a所在的第i行和第j列的元素划ijij2去，剩下的(n−1)个元素按原顺序构成的n−1阶行列式称为a的余子式.将余子式乘以ijij+(1)−得到的式子称为a的代数余子式，并记为A，即ijijaaaa111,j−+1ij,11naaaaij+i−1,1ij−−1,1ij−+1,1in−1,A=−(1).（1.2）ijaaaai+1,1ij+−1,1ij++1,1in+1,aaaan1nj,1−+nj,1nn12346例如，三阶行列式456中元素2的余子式为=−42，因为2位于第一行第二列，7078012+(1)−=−1，所以2的代数余子式为−−(42)=42.定义1.1（行列式的值）n阶(n≥2)行列式的值等于它的第一行元素分别与它们的代数余子式之积的和，即aaa11121naaa21222n=aAaA+++aA111112121nn1aaan12nnnaaaaaa22232nn21232=aa−++1112aaaaaan23nnnn13nnnaaa21222,n−11+n(1)−a.（1.3）1naaan1n2nn,1−式（1.3）也称为行列式关于第一行的展开式.由式（1.3）可知，可用一阶行列式定义二阶行列式，用二阶行列式定义三阶行列式，……，用n−1阶行列式定义n阶行列式.例如，三阶行列式为aaa111213aaa=++aAaAaA212223111112121313aaa313233aaaaaa222321232122=−+aaa.111213aaaaaa323331333132将二阶行列式的展开式代入便得三阶行列式的完全展开式：·3·

3工程数学aaa111213aaa=++−−−aaaaaaaaaaaaaaaaaa，212223112233122331132132112332122133132231aaa313233它与前文关于三阶行列式的定义相吻合.由n阶行列式的定义可知，经过逐次叠代，能够得到n阶行列式的完全展开式.容易看出以下两点：（1）n阶行列式的完全展开式有n!项；（2）完全展开式每一项的形式为±aaa，其中kk,,,k是1,2,,n的一个排列，12k12knkn12n它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积再加上适当的前置符号，这个符号仅与kk,,,k的排列有关.12n有些线性代数教科书中通过讨论排列kk,,,k的奇偶性，从而确定aaa的前置12n12k12knkn符号.为简便起见，本书采用定义1.1较为方便地归纳定义，这并不影响以后的深入讨论.由（2）可知，若行列式的某一行（或某一列）的元素全为0，又因为它的完全展开式的每一项都包含这一行（或列）的一个元素作为因子，所以该行列式的值等于0.3200−1000例1.1计算行列式D=.2012−3240解按行列式的递推定义，有3200000−100−1000D==30122212−−−.2012−2403403240上式右端第一个行列式中第一行全为0，故等于0.将第二个行列式继续降阶，得行列式（1.1）中的aa,,,a称为对角元素，所有对角元素所在的位置的连线称为主1122nn对角线.若主对角线上方（或下方）的元素全为0，则称之为下（上）三角行列式.例1.2计算下列下三角行列式的值：a0011aa02122D=.aaan12nnn解该行列式主对角线上方的元素全为零，利用行列式的递推定义得，aa00002233aa00aa32334344Da==aa==aaa.1111221122nnaaaaaan23nnnn34nn·4·

4第1章行列式1.1.2行列式的性质利用定义1.1计算行列式的值，只对阶数不太高或某些特殊的行列式有效.对一般的行列式，用定义进行计算的工作量是很大的.例如，一个6阶行列式完全展开后就有6！=720项.因此，需要寻找计算行列式的简便方法.在此之前，先讨论行列式的性质.性质1.1行列式转置后，其值不变，即aaaaaa11121nn11211aaaaaa21222nn12222=.aaaaaan12nnn12nnnn所谓转置，是指把行列式中除了对角元素外，每一对形如a与a的元素互换位置.这时ijji原来的第i行就变成转置行列式中的第i列.这一性质说明行列式的“行”与“列”有对偶性，即一般的n阶行列式对于“行”所具备的性质，对于“列”也是正确的.反之亦然.性质1.2对调行列式的两行（或两列），行列式的值只改变符号.例如，对调第i行与第j行的对应元素，其余元素不变，则有aaaaaa11121nn11121aaaaaai12iinj12jjn=−.aaaaaaj12jjni12iinaaaaaan12nnnn12nnn上述两条性质对于二阶与三阶行列式可直接验证，对于高阶行列式则可用归纳法证明.有兴趣的读者可将性质1.1和性质1.2的证明作为练习.（参见习题1中B组的第3题）性质1.3行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式的外面.换句话说，若将行列式的某一行（或列）的元素均扩大到原来的λ倍，则行列式的值也扩大到原来的λ倍.例如，将行列式第i行的元素均乘以常数λ，则有aaaaaa11121nn11121λλaaλλa=aaa.（1.4）i12iini12iinaaaaaan12nnnn12nnn证由性质1.1，只需对“行”给出证明就可以了.为证式（1.4）成立，将其左、右两端的行列式的第一行与第i行对调.由性质1.2知，它们只改变符号.于是，只要证明i=1的情形即可.由行列式的定义有·5·

5工程数学λλaaλa11121naaa21222n=λλaA+aA++λaA111112121nn1aaan12nnnaaa11121naaa21222n=λλ(aAaA+++aA).=111112121nn1aaan12nnn性质1.4将某一行（或列）不同的两个行列式相加，等于将这两个行列式该行（或列）的对应元素相加，而其它元素均保持不变所得到的行列式的值.例如：aaaaaaaaa11121nn1112111121naaa+bbb=a++baba+b.i12iini12iini1122iiiininaaaaaaaaan12nnnn12nnnn1n2nn性质1.4的证明与性质1.3的相似，读者可自行证明.性质1.5若行列式的两行（或两列）元素对应成比例，则此行列式的值等于0.证假设第i行与第j行的元素对应成比例，不妨设aaai12iin====λ（此处约定分母为0时相应的分子也为0），aaaj12jjn则aaaaaaaaa11121nnn1112111121aaaλλaaλaaaai12iinj1j2jnj12jjn==λ.aaaaaaaaaj12jjnj1j2jnj12jjnaaaaaaaaan12nnnn1n2nnn12nnn上式右端行列式中第i行与第j行对应的元素相同，设右端行列式的值为d.对调该行列式的第i行与第j行后，行列式的值仍为D.但由性质1.2可知，该行列式的值应改变符号，于是DD=−，得D=0.由性质1.5可知，若行列式两行或两列相同，则该行列式的值等于0.性质1.6把行列式某一行（或列）的元素均乘以常数λ再加到另一行（或列）的对应元素上，其值不变.例如，将第i行的元素乘以λ后加到第j行上，则·6·

6第1章行列式aaaaaa11121nn11121aaaaaai1i2ini12iin=.aaaa++λλaaaa+λaj112iji2jninj12jjnaaaaaan1n2nnn12nnn证由性质1.1，只须对“行”给出证明就可以了.由性质1.4与性质1.5可知，aaaaaaaaa11121n11121nn11121aaaaaaaaai12iini12iini12iin上式左端=+=.aaaλλaaλaaaaj12jjni12iinj12jjnaaaaaaaaan12nnnn12nnnn12nnn这就完成了性质1.6的证明.利用上述性质可以简化行列式的计算.例1.3证明：上三角行列式的值等于对角元素的乘积，即aaa11121n0aa222n=aaa.1112nn00ann证上三角行列式的转置行列式为下三角行列式.由行列式的性质1.1及例1.2即得所证之结论.例1.4设n阶行列式D的第i行第ni−+1列的元素为ai(=1,2,,)n，其余元素均为0，i求D的值.00a100a2解D=，将其第1列与第n列对调，第2列与第n−1列对调，第3列a00na00100a2与第n−2列对调，……，最终变为=aaa.12n00an因为每次对调不同的两列，行列式的值只改变符号，所以只要确定对调次数的奇偶性就可以了.显然当nk=4或nk=41+时，要对调2k次；当nk=42+或nk=43+时，要对调21k+n次.对调次数的奇偶性与(n−1)的奇偶性相同，于是2n(n−1)D=−(1)2aaa.12n·7·

7工程数学例1.5计算行列式3003−4213D=.1234−2023−解利用行列式的性质把行列式D逐次变成下三角行列式，这时它的值就等于对角元素的乘积.为叙述方便，本书中引用下列记号，这些记号不仅用于行列式，也用于第2章所提到的矩阵：（1）以L表示第i行，C表示第j列.ij（2）kL表示以k乘第i行，kC表示以k乘第j列.ij（3）L+kL（或C+kC）表示将第j行（或列）乘以k后加到第i行（或列）上.ijij（4）LL↔（或CC↔）表示对调第i行（列）与第j行（列）.ijij30003000CC41−−−−4127CC3224100D−−CC23↔1323−−CC42−7138242201−−224153000CC43−3−4100−=−×××=−318372.1380−2243−先把第4列减去第1列，用符号CC−表示，这样第4列第1个元素就变为零.此时(2,3)41元素（即第2行第3列上的元素）为1，然后把它移到第2列，就需要对调C和C，同时行23列式变号.再把第2行的元素2和7变成零，需要作运算CC−2和CC−7.最后将第4列3242减去第3列的3倍，就变成下三角行列式了.当然该题还有其它计算方法，有的方法可能更加简便.例1.6计算n阶行列式a1111aD=.11a解式中下标n表示行列式的阶数.该行列式中对角元素均为a，其余元素均为1.它的每一列元素之和均为an+−1，因此把各列元素之和写在第一行上（即将第2行至第n行均加到第1行上），那么第1行每个元素均为an+−1，将其作为公因子提取至行列式外，第1行所有元素均为1.an+−11an+−an+−1nLL1+∑i11ai=2D11a·8·

8第1章行列式111L111aan+−1(an+−1)11a111LL21−01a−0LL31−(an+−1)LLn−100a−1n−1=+−(an1)(a−1).例1.7证明：abcdacadbcbd++=+++.abcdacadbcbd++111111111111证记等式左端行列式为D，对它的第一列应用性质1.4，得acdbcd++D=+.acdbcd++111111再分别对等式右端两个行列式的第二列应用性质1.4，得acadbcbdD=+++.acadbcbd11111111本例也可以利用行列式的定义，将行列式展开来验证等式成立，但是这种方法的计算量要大得多.1.2克拉默法则行列式不仅可以根据式（1.3）按第一行展开，还可按任意一行或任意一列展开.有下面的定理.定理1.1由式（1.1）给出的n阶行列式D，按第i行与第j列的展开式分别为DaAaA=+++aAi(=1,2,,)n,（1.5）i11ii22iininDaAaA=+++aAj(=1,2,,)n.（1.6）11jj22jjnjnj式中，A为a的代数余子式.ijij证当i=1时，式（1.5）就是式（1.3）.当1

9工程数学将上式右端的行列式按第一行展开，可以发现这个行列式第一行的元素a的余子式恰为ij原行列式D中a的余子式.a是新行列式的(1,)j元素，是原行列式的(,)ij元素.再由代数余ijiji−1子式的定义可知，这两个余子式对应的代数余子式相差符号因子(1)−，恰与上式中的符号i−1因子(1)−抵消，于是式（1.5）成立.为证式（1.6），取D的转置行列式.由行列式的性质1.1可知，转置行列式与原行列式的值相等，于是式（1.6）成立.式（1.5）和式（1.6）为行列式的计算带来了方便.特别在某一行（或某一列）只有一个或几个非零元素时，按该行（或该列）展开就很简便.如果n阶行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）的代数余子式相乘再相加，又会得到什么结果呢？有下述定理.定理1.2行列式中某一行（或某一列）的各元素与另一行（或另一列）的对应元素的代数余子式乘积的总和等于0.若行列式D由式（1.1）给出，则当ij≠时有aA+aA++aA=0，（1.7）i11ji22jinjnaA+aA++aA=0．（1.8）11ij22ijninj证将行列式D的第j行的n个元素依次换为aa,,,a，则新得到的行列式的第i行i12iin与第j行相同，故等于0.将这个行列式按第j行展开，就得到式（1.7）.式（1.8）类似可证.可以把定理1.1和定理1.2统一写成下列式子：nD,当ij=时,∑aAikjk=k=10,当ij≠时,nD,当ij=时,∑aAkikj=k=10,当ij≠时.例1.8定义nn(≥2)阶范德蒙德（Vandermonde）行列式111aaa12n222Vaa=a.（1.9）nn12nn−−11n−1aaa12n证明：Vn=∏()aaji−，其中∏()aaji−为所有下标满足1≤ijn<≤的因子1≤ijn<≤1≤ijn<≤()aa−的乘积.ji证用归纳法证明.当n=2时，11V==aa−，221aa12结论成立.假设对于n−1阶范德蒙德行列式结论成立.将V从最后一行起每行逐次减去上一行的a倍，得到n1·10·

10第1章行列式1110aa−−aa21n122V=0a−−aaaaa.n212nn1nn−−12nn−−120a−−aaaaa212nn1按第一列展开后，得到一个n−1阶行列式，它的第i列有公因子aa−(in=1,2,,−1)，i+11将公因子提出后由归纳假设得111aaa22nVaaaa=(−−)()(aa−)nn21321nn−−22n−2aaa23n=−()aaaaaa2132()−()()()n−1∏∏aaji−=aaji−.21≤ijn<<≤≤ijn≤由归纳法可知结论成立.下面介绍行列式在解线性方程组中的应用.设含有n个未知数、n个方程的线性方程组：axax+++axb=,1111221nn1axax+++axb=,2112222nn2（1.10）axax+++axb=.n11n22nnnn式中，a与b(1≤ijn,≤)为常数.用D表示该方程组的系数行列式：ijjaaa11121naaa21222nD=，aaan12nnn则有下述定理.定理1.3（克拉默法则）对于n元线性方程组（1.10），若它的系数行列式D≠0，则存在唯一解Djx=,jn=1,2,,（1.11）jD其中B为行列式D的第j列元素aa,,,a分别换成bb,,,b后得到的n阶行列式.例j12jjnj12n如：baaabaa1121n111131nbaaabaa2222n212232nD=，D=.12baaabaann2nnn13nnnn证将方程组（1.10）第一个方程乘以A，第二个方程乘以A，……，第n个方程乘1j2j以A，然后相加.这里A为行列式D中元素a的代数余子式.整理后得njijijnnnnn∑∑aAx+aAx++∑aAx++∑∑aAx=bA.k11kjk22kjkjkjjknkjnkkjkk=11=k=1kk=11=·11·

11工程数学由式（1.6）与式（1.8）知，上式左端除第j项等于Dx外，其余均为0；而上式右端等jDj于行列式B按第j列的展开式.于是有Dx=D.因为D≠0，故x=，jn=1,2,,.jjjjD余下只要验证式（1.11）确是方程组（1.10）的解.将式（1.11）代入方程组（1.10）左端第i个方程，in=1,2,,，得nD1nnj∑aij=∑∑aijbAkkjj=1DDjk=11=1nn=∑∑bkaAijkj.（1.12）Dkj=11=由定理1.1与定理1.2知nD,当ik=时,∑aAijkj=j=10,当ik≠时.1于是式（1.12）右端等于bDb=.这就完成了证明.iiD在学习了关于“逆矩阵”的性质后，定理1.3的第二部分证明可以简化.我们将在第3章“线性方程组”中予以讨论（参见第46页的脚注）.例1.9求解三元线性方程组.2xxx−+=35,123xxx++=38,1233xxx−+=528.123解利用定理1.3计算得231−−531DD=1315,==8311=5,1352−−852251235−DD=181=5,=138=10.23382358−所以该线性方程组有唯一解15510xxx==312，==，==.123555由定理1.3有下列推论.推论1.1若线性方程组（1.10）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式D=0.该推论是定理1.3的逆否命题，故必成立.需要注意的是，用克拉默法则求解线性方程组不仅要求未知数个数与方程个数相同，还要求系数行列式不等于0，因此它的应用就受到很大的限制.此外，用这种方法进行求解的计算量也比较大，需要计算n+1个行列式.克拉默法则只有理论上的意义，而在求解线性方程组时没有太大的实际应用价值.在第3章中将介绍线性方程组的一般解法.下面用克拉默法则讨论几何中的例子.例1.10设AB,为平面直角坐标系中不同的两个点，其坐标分别为(,)xy，(,)xy.证1122明：过AB,两点的直线方程为·12·

12第1章行列式xy1xy10=.11xy122证设过AB,两点的直线方程为axby++=c0.将AB,两点的坐标分别代入上式得ax++=byc0，11ax++=byc0．22如果把abc,,看作未知量，上述三个方程是关于abc,,的线性方程组，它的系数行列式为xy1Dxy=1.11xy122若D≠0，由克拉默法则知该方程组只有零解，即abc,,均为0.但这是不可能的，所以y1x111D=0.余下只要证明行列式D的展开式中x与y的系数与−中至少有一个不为y1x1220.事实上，如果它们均为0，将有xx=，yy=，即AB,为同一个点，与假设矛盾.1212例1.11证明：平面上不同的三个点(,)xy，(,)xy，(,)xy共线的充要条件是行列式112233xy111xy10=.22xy133证由例1.10知，过(,)xy与(,)xy两点的直线L的方程为1122xy1xy10=.11xy122点(,)xy在直线L上的充要条件是33xy133xy10=，11xy122对于上式左端的行列式，先交换其第一行和第二行，然后交换第二行和第三行，即得所要证的等式.例1.12证明：过平面上不在一条直线上的三个点A(,)xy，B(,)xy，C(,)xy的圆112233的方程为22xyxy+122xyxy+11111=0.22xyxy+1222223xyxy+13333证由平面解析几何知，可设圆的方程为22ax()++++=ybxcyd0.将ABC,,三点的坐标分别代入上式得·13·

13工程数学22ax(++++=y)bxcyd0,111122ax(++++=y)bxcyd0,222222ax(++++=y)bxcyd0,3333上述四个方程构成的方程组是关于abcd,,,的线性方程组.因为abcd,,,不全为0，由克拉默法则知22xyxy+122xyxy+11111=0.22xyxy+1222223xyxy+1333322上式左端行列式的展开式中xy+的系数为xy111xy1.22xy133因为ABC,,三点不共线，由例1.11知上述三阶行列式的值不为0.又因为三个点ABC,,的坐标满足上述方程，所以该方程为过ABC,,三点的圆的方程.习题1A组1.计算下列行列式：32−cosθθ−sin（1）；（2）；11sinθθcos123a01（3）456；（4）00b；78910c012111（5）320−；（6）−12x；2−−41214x5042ab001121−ba00（7）；（8）；412000ba111100ab111bcacab+−−（9）abc；（10）bccaba−+−；333abccbcaab−−+·14·

14第1章行列式22aabbxyxy+（11）22aabb+；（12）yxyx+.111xyx+y2.证明下列等式：abbcca+++abc（1）uvvwwu+++=2uvw；xyyzzx+++xyzaaa+1a123naa+1aa123n（2）aaa+11a=++++aaa；123nn12aaaa+1123n1+a111111+a112（3）=aaa；12n1111+an1111a−100000ax−10001ax0−1002nn−1（4）=ax+ax++axa+.01nn−1ax000−1n−1ax0000n3.用克拉默法则解下列方程组：2xxxx+−+=58,1234xxx−+=31,123xxx124−−=369,（1）2xxx123+−=5,（2）2xxx−+=−25,234xxx−+=3−1;123+−+=xxxx4760;1234bx−=ay−2,ab（3）−+=2cy3bzbc,其中abc≠0,cx+=az0.B组1−aa000−−11aa001.计算行列式0−−11aa0.00−−11aa0001−−1a2.设三角形三条边的方程为axbyc++=0，i=1,2,3，其中iii·15·

15工程数学ababab112233===1，ababab22331112证明：该三角形的面积为()ccc++.12323.试对n阶行列式利用数学归纳法证明行列式的性质1.1和性质1.2.·16·