6F值的定义F值：大方差（St2）与小方差（Se2）的比值。如果F大小与“1”相差不多，说明处理间变异与处理内变异相似，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著。如果F比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各处理效应有本质差异。7
7F分布曲线特征010.00.20.40.60.8234F值PF分布某一特定曲线的形状取决于v1和v2，V越大时，曲线才趋向于偏态8
8F检验及步骤F检验可以用于检测某项变异因素的效应或方差是否真实存在。F分布下一定区间的概率可以从已经制成的统计表中查出在进行F检验时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作为分子，而另一项变异的均方作为分母。F检验需具备两个条件：1）变数x尊循正态分布N（μ,σ2）；2）s12和s22彼此独立9
9F检验的步骤提出假设：确定显著水平（0.05和0.01）和查出Fα值计算F值；作出推断1.若F≥F0.05,则P≤0.05否定H0,接受HA,记为“*”F≥F0.01,则P≤0.01否定H0,接受HA,记为“**”2.若F0.05接受H0，否定HA10
10四．多重比较α错误：H0是正确，但检验时却否定，亦即将没有差异的说成是有差异的。β错误：H0不正确，但检验时却肯定，即将质上有差异的说成是无差异的。要选择合适的水准和检验方法，同时控制这二类错误的产生方差分析除检验试验因素的显著性外，还必须检验各因素不同水平之间的显著性，为选择最优水平提供依据，因此就必须对不同水平之间的差异显著性同时进行比较。数理统计上称之为多重比较。11
11多重比较的方法主要常用的有三种：最小显著差数法（leastsignificantdifference,LSD）q法(复极差测验；SNK测验或NK测验)新复极差法（又称最短显著极差法，shortestsignificantranges,SSR）q法和新复极差法都属于最小显著极差法(Leastsignificantranges,LSR法)12
12（一）最小显著差数法（L.S.D）在检验各组平均数间差异时，在一定概率保证条件下，根据t值求出任何二个平均数间差异显著的最小差数称为L.S.D值。13
13其实质是t测验。在处理间的F测验显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数LSD；任意两个平均数的差数，如其绝对值LSD，即为在水平上差异显著；反之，则为在水平上差异不显著。这种方法又称为F测验保护下的最小显著差数法(Fisher’sprotectedLSD,或FPLSD)14
14L.S.D法是t检验法，其只适用于二个相互独立的平均数间的比较。而复因素试验的互比时，由于交互作用的存在，平均数间失去了独立性，从而增大了二个平均数间的差值，用t检验时易产生a错误。15
15（二）最小显著极差法：LSＲ法，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较。又根据标准的严格，分为新复极差法和q法16
16两极差LSRa,H0否定，差异显著。1、新复极差法：又叫邓肯法。计算最小显著极差所查用的表是新复极差表SSR值17
17也称LSR法（Leastsignificantrange），或者叫SSR（shortestsignificantranges,最短显著极差法）测验，该法1955年由Duncan提出。其特点是不同平均数间的比较采用不同的显著差数标准。18
18两极差LSRa,H0否定，差异显著。2、q法,与新复极差法相似，区别在于计算最小显著极差LSR时不是查SSR表，而是查q表。19
19多重比较结果的表示方法有三种：１．标记字母法：在最大的平均数上标上字母a（0.05）或Ａ（0.01），相差显著的平均数标上不同的字母。首先将全部平均数从大到小依次排列。然后在最大的平均数上标记字母a(0.05水平)将该平均数与以下各平均数相比较，不显著的都标上a,直到出现差异显著的平均数，标上b;再以标有b的平均数为标准，与以下各平均数相比较，不显著者标上b，直到显著的平均数标上c，依次类推。20
20aaab21
21将平均数按大小顺序排列，以第一个平均数为标准与后面的各平均数比较，在平均数下面把差异不显著的平均数用横线连接起来。２．线条表示法：用线条代替字母，凡划上相联的线条者是差异不显著，凡断开线条者，则是差异显著。22
22３．差数表示法（列梯形表法）：将各处理的平均数由大到小顺次排列，并相减得出差数。根据差数大小（５％或１％）来标＊或＊＊。将全部平均数从大到小按顺序排列算出各平均数间的差数凡达到α=0.05水平上的差数标记*，达到α=0.01水平上的差数标记**。23
23第二节双方向资料的方差分析前面介绍的是单方向分类的方差分析。但在农化研究中多采用局部控制的方法以减少试验误差，提高试验精确度。在这种情况下，就必须对处理内变异再作进一步的分解，划分成区组（或重复间）间变异和误差变异二部分。对这类试验设计应采用双方向分类的方差分析方法。24
24总平方和=处理间平方和+区组间平方和+误差平方和总平方和处理间平方和区组间平方和25
25误差平方和=总平方和－处理间平方和－区组间平方和处理自由度=k－1，处理间方差S12=处理间平方和(SS处)/（k－1）区组自由度=n－1区组间方差S22=区组间平方和(SS重)/（n－1）误差自由度=（k－1）(n－1)误差方差Se2=误差平方和(SS误)/（k－1）(n－1)总自由度=nk－1处理间F=S12/Se2区组间F=S22/Se226
26第三节方差分析的数学模型方差分析是建立在线性可加性模型的基础上的。线性可加性模型：是指每一个观察值可以根据变异因素划分成若干个分量，而这些分量都呈线性关系，并且具有数学上的可加性。线性可加性是分解平方和与自由度的数学理论依据。27
27观察值（xij）的线性可加性模型为：xij=+ti+eij:试验的平均值ti：处理效应eij：随机误差对于处理间方差28
28第四节农化试验结果的方差分析实例一．随机区组设计的分析（一）单因素随机区组设计的分析其总变异可分解成处理间变异、区组间变异和误差变异三部分。总平方和=处理间平方和+区组间平方和+误差平方和29
29重复1234TsCK126.8148.7121.983.1480.2碳铵233.8231.1226.0221.3911.9硫铵261.0263.3248.4259.21031.8硝铵277.2268.7291.7255.41092.9氰铵196.4208.9203.1141.6749.9尿素272.5246.1269.4232.51020.4氯铵264.6252.9267.5150.3935.2氨水253.4274.1246.3251.91025.6总数Tb1885.31893.61874.01595.07247.9例：黑龙江某地淋溶土上玉米氮肥品种肥效试验，每亩施N6斤，小区面积54m2，随机区组设计，重复四次，玉米产量见下表.请对不同品种氮肥的肥效进行分析.30
30解题思路总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和这是个单因素试验，没有交互作用，所以多重比较可用LSD法。31
31总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和重复1234TsCK126.8148.7121.983.1480.2碳铵233.8231.1226.0221.3911.9硫铵261.0263.3248.4259.21031.8硝铵277.2268.7291.7255.41092.9氰铵196.4208.9203.1141.6749.9尿素272.5246.1269.4232.51020.4氯铵264.6252.9267.5150.3935.2氨水253.4274.1246.3251.91025.6总数Tb1885.31893.61874.01595.07247.9总平方和＝（126.82+…+251.92）－＝88589.52处理平方和重复间平方和＝（1885.32+…）－＝7870.56误差平方和：88589.52－71177.27－7870.56＝9541.69误差自由度：（k－1）(n－1)＝7*3＝21＝（480.22+…）—＝71177.2732
32变异因素处理间重复间误差总数自由度732131平方和71177.277870.569541.6988589.52方差10168.182623.52454.37Ｆ值22.38**5.77**F0.05F0.012.493.653.074.87LSD0.05＝t0.05*Sx1-x2＝2.08*15.07＝31.35公斤／亩LSD0.01＝t0.01*Sx1-x2＝2.83*15.07＝42.65公斤／亩＝15.07公斤／亩33
33处理硝铵氯铵硫铵氨水尿素碳铵氰氨ＣＫX273.2258.8257.9256.3255.1228.0187.5120.0X-120.0153.2**138.8**137.9**136.3**135.1**108.0**67.5**X-187.585.8**71.4**70.5**68.8**67.7**40.5*X-22845.2**30.829.928.327.1X-255.118.13.72.91.2X-256.316.92.61.7X-257.916.92.6X-258.814.4请同学们用字母标注硝铵氯铵硫铵氨水尿素碳铵氰氨ＣＫ273.2258.8257.9256.3255.1228187.512031.35，42.65aAabABabABabABabABbBcCdD34
34如果组内观察次数不相等且没有重复（区组）变异的划分及变异的计算：SSe=SST—SSt总平方和=处理平方和+误差平方和（无重复平方和）35
35或36
36某病虫测报站，调查四种不同类型的水稻田28块，每块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫密度如下，试问不同类型稻田的虫口密度有否显著差异？稻田类型编号Ti12345678Ⅰ1213141514161710214.57Ⅱ1410111314117312.17Ⅲ921011121312118010.00Ⅳ1211109810127210.2932711.6837
37总平方和=处理平方和+误差平方和稻田类型编号Ti12345678Ⅰ1213141514161710214.57Ⅱ1410111314117312.17Ⅲ921011121312118010.00Ⅳ1211109810127210.2932711.68总平方和=（122+132+……+122）—=226.11处理平方和=-=96.13误差平方和=总平方和—处理平方和=129.9838
38变异因素自由度平方和方差Ｆ值Ｆ0.05F0.01处理间396.1332.045.91**4.72误差24129.985.42总数27226.11LSD0.05＝t0.05*Sx1-x2＝2.365*1.244＝2.942LSD0.01＝t0.01*Sx1-x2＝3.499*1.244＝4.35339
39Ⅰ14.57Ⅱ12.17Ⅳ10.29Ⅲ10.00aAabABbBbBLSD0.05＝t0.05*Sx1-x2＝2.365*1.244＝2.942LSD0.01＝t0.01*Sx1-x2＝3.499*1.244＝4.35340
40（二）双因素（2*2）随机区组设计的分析：双因素试验的方差分析除分析二个单因素的单独作用以外，还应分析二个单因素的交互作用。1．按双方向分析方法做处理间方差分析，进行显著性检验。2．对每一个试验因素及其作用作显著性判断。41
41例如：有一N、P肥肥效试验的结果，其处理有CK（116.5)，N(156.5)，P(138.0)，NP(201.0)，其结果可转换为下表：P0P1P1-P0N0116.5138.021.5N1156.5201.044.5N1-N040.063.023.0单施氮肥增产40kg，单施磷肥增产21.5kg，氮肥与磷肥配合施用增产84.5kg，氮磷肥配合比单施氮、磷肥增产的总和还多23kg，这23kg的氮、磷肥综合作用的效果，称为氮肥和磷肥的交互作用，以N×P表示，42
42氮磷肥的交互作用=氮磷肥配合的效果-（单施氮肥的效果+单施磷肥的效果）=（NP-O）-[（N-O）+（P-O）]=（NP+O）-（N+P）=(201+116.5)-(156.5+138.0)=23kgNP+O为NP处理与CK2份产量之和，同样N+P也是2份的产量，因此，23kg是2份产量的差数,交互作用如以每份斤数表示时,须除以2.P0P1P1-P0N0116.5138.021.5N1156.5201.044.5N1-N040.063.023.043
43重复前期（斤）后期（斤）总数N5N10N5N10150605571236259536065237345585675234452626278254558654580248总数2642982783691290平均52．859．655．673．8例：华北某地对玉米前期、后期分别施用氮素5斤和10斤（N2）以确定最经济有效的施肥时期与施肥量，试验结果如下：44
44解题思路总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和不同时期+不同施肥量+时期*施肥量的交互作用这是两个因素的试验，有交互作用，所以多重比较要用LSR法。45
45总平方和=处理平方和+区组平方和+误差平方和处理平方和=施肥量+施肥时间+施肥量×施肥时间A．双方向分析总平方和=（502+592+…+802）－=1837.00处理平方和＝(2642+2982+…+3692)—=1305区组平方和=(2362+2372+…+2482)－＝76.2误差平方和：1837.00－1305.00－76.2＝455.8重复前期（斤）后期（斤）总数N5N10N5N10150605571236259536065237345585675234452626278254558654580248总数2642982783691290平均52．859．655．673．846
46变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01处理间31305.00435.0011.45**3.495.95重复间476.219.05<1误差12455.838.0总数191837.0047
47N5N10总数前期264．0298．0562．0后期278．0369．0647．0总数542．0667．01209．0B．因素间方差分析：双方向分类产量重复前期（斤）后期（斤）总数N5N10N5N10150605571236259536065237345585675234452626278254558654580248总数2642982783691290平均52．859．655．673．848
48处理平方和=施肥量+施肥时间+施肥量×施肥时间处理间总平方和：1305.00施肥量平方和＝781.30施肥期平方和＝361.30N5N10总数前期264．0298．0562．0后期278．0369．0647．0总数542．0667．01209．0施肥期＊施肥量（交互作用）平方和1305.00－781.30－361.30＝162.4049
49变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01施肥期1361.30361.309.5**4.759.33施肥量1781.30781.3020.6**4.759.33施肥期×施肥量1162.40162.454.34.759.33重复476.219.20误差12455.937.9总数191837.00所以施肥期及施肥量二个因素都达到差异极显著水平，而施肥期＊施肥量的交互作用则不显著。50
50C邓肯检验对各处理进行多重比较LSR值的计算P234SSR0.053.083.233.33SSR0.014.324.154.68LSR0.058.478.889.16LSR0.0111.8812.5112.8751
51处理平均产量差异显著性后期N1073.8aA前期N1059.6bB后期N555.6bB前期N552.8bB所以最佳施肥方案为后期施氮10斤。52
52对于二因素无交互作用，每个处理可只设一个观察值例：将一种生物激素配成M1、M2、M3、M4、M5五种浓度，并用H1、H2、H3三种时间来浸渍大豆品种的种子，出苗45天后得各处理每一植株的平均干物重（g），试作方差分析与多重比较。53
53浓度(A)时间(B)Ti平均值H1H2H3M11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67Tj404344127平均数88.68.88.4754
54平方和的计算总平方和=(132+…)-1272/15=295.73A平方和=(412+…)/3-1272/15=289.06B平方和=((402+…)/5-1272/15=1.73误差平方和=4.94浓度(A)时间(B)Ti平均值H1H2H3M11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67Tj404344127平均数88.68.88.4755
55dfSSS2F浓度4289.0672.27116.56**时间21.730.871.40误差84.940.62总变异14295.73需要对浓度因素进行多重比较，多重比较按LSD法进行，这里省略。56
56（三）多因素（2*2*2）随机区组设计的分析1．处理间是否显著2．因素间：单因素（各因子）交互作用3．多重比较57
57例：以辽宁生草冲积土大豆氮、磷、钾三要素肥料盆栽试验结果为例说明，重复五次，产量如下0NPKNPNKPKNPK总数151.254.260.855.461.459.361.262.7466.2253.356.462.357.259.358.063.764.5474.7352.853.163.454.657.555.264.961.9463.4454.255.661.750.962.353.760.565.2464.1554.054.758.865.962.566.863.762.2488.6总数265.5274.0307.0284.0303.0293.0314.0316.52357.平均53.154.861.456.860.658.662.863.358
58解题思路总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和单因素的作用+一级交互作用+二级交互作用这是两个因素的试验，有交互作用，所以多重比较要用LSR法。59
59A处理间方差分析：总平方和：（51.22+53.32+…+62.22）－＝786.58处理间平方和：（265.52+274.02+…+316.52）－＝493.3重复间平方和：（466.22+474.72+…+488.62）－＝56.31误差平方和：786.56－493.3－56.31＝237.100NPKNPNKPKNPK总数151.254.260.855.461.459.361.262.7466.2253.356.462.357.259.358.063.764.5474.7352.853.163.454.657.555.264.961.9463.4454.255.661.750.962.353.760.565.2464.1554.054.758.865.962.566.863.762.2488.6总数265.5274.0307.0284.0303.0293.0314.0316.52357.平均53.154.861.456.860.658.662.863.360
60变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01处理间7493.370.48.4**2.363.36重复间456.3114.101.72.714.07误差28237.108.46总数39786.68大豆氮、磷、钾肥效方差分析61
61B．因素间的方差分析：各因子及交互作用的效应如下Ｎ的效应(NPK-PK）+(NP-P)+(NK-K)+(N-O)=16.0P的效应(NPK-NK)+(NP-N)+(PK-K)+(P-O)=124.0K的效应(NPK-NP)+((PK-P)+(NK-N)+(K-O)=58.062
62NP的交互作用（NPK-PK-NK+K）+(NP-N-P+O)=－19.0NK的交互作用（NPK-PK-NP+P）+(NK-N-K+O)=7.0PK的交互作用(NPK-NK-NP+N)+(PK-P-K+O)=－17.5NPK的交互作用：NPK-PK-NK-NP+N+P+K-O=6.063
63效应的平方和＝N的平方和＝＝6.4P的平方和＝＝384.44K的平方和＝＝84.0NP的平方和＝＝9NK平方和＝＝61.2PK平方和＝＝7.6NPK的平方和＝＝0.964
64变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01处理间7493.3N16.46.4<14.27.64P1384.4384.445.4**K184.084.09.9**NP19.09.01.1NK11.21.2<1PK17.67.60.8NPK10.90.9<1重复间456.41误差28236.918.46总数39786.62大豆氮、磷、钾肥效产量方差分析65
65Ｃ.用邓肯法对各处理进行多重比较：查n=28时不同Ｐ下的SSR值并计算LSR值：P2345678SSR0.052.903.043.133.203.263.303.33SSR0.013.914.084.184.284.344.394.43LSR0.053.773.954.074.164.244.294.33LSR0.015.085.305.435.565.645.715.7666
66处理平均产量差异显著性P0.05P0.01NPK63.3aAPK62.3aAP61.4aANP60.6abANK58.6bAbK56.8bcBN54.8cBO53.1cB大豆氮磷钾肥效的比较67
673*2*2随机区组设计的分析假设某试验为二种冬小麦品种（A1、A2），二种密度（B1、B2），三种氮肥用量（C1、C2、C3）的三因素随机区组设计，试验小区面积为0.05亩，重复三次，产量结果见下表。68
68重复处理123总数平均A1B1C1567186A1B1C21516174816A1B1C32122236622A1B2C11012113311A1B2C22022216321A1B2C32223246923A2B1C12526277826A2B1C23033369933A2B1C33032349632A2B2C11922226321A2B2C22527267826A2B2C32324226923总数24526527078069
69解题思路总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和单因素的作用+一级交互作用+二级交互作用这是两个因素的试验，有交互作用，所以多重比较要用LSR法。70
70总平方和：（52+62+…..）-=2056区组平方和：（2452+…）-=29.17处理平方和：（182+…）-=2006误差平方和：2056-29.17-2006=20.8371
71B1B2TAA1132165297A2273210483TB405375A*B双向表C1C2C3TAA151111135297A2141177165483TC192288300A*C双向表72
72C1C2C3TBB196147162405B296141138375Tc192288300B*C双向表A的平方和：（2972+…）-=961B的平方和：（4052+…）-=25C的平方和：（1922+…）-=58473
73A*B*C的平方和=SS处-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC=2006-961-25-584-152-256-26=274
74平方和自由度方差FF0.05F0.01区组29.17214.58515.396处理200611182.364192.57A96119611014.78**4.287.88B2512526.40**4.287.88C5842292308.34**3.425.66A*B2561256270.33**4.287.88A*C15227680.25**3.425.66B*C2621313.73**3.425.66A*B*C2211.063.425.66误差20.83220.947总数205635方差分析与多重比较F检验：对各因素及其交互作用的方差分析：75
752因素效应的差异显著性检验：A、B因是18个小区产量之和，所以以亩产为比较标准折算系数==1.11亩产标准误差：LSR0.05=13.42LSR0.01=18.27A2-A1=536.1*1.11-297*1.11=206.4**B1-B2=405*1.11-375*1.11=33.3**76
76C是12小区之和，折算系数为：=1.67亩产标准误差：23LSR0.0516.517.3LSR0.0122.523.5施肥量产量C3501aAC2481bAC1320.6cB77
773交互作用的差异显著性：AB的交互作用差数交互作用值B1下A2-A1141B2下A2-A14596(106.6)**因为B1下A2-A1为18个小区产量，所以S及换算系数同A或B因素的S换算系数。换算后的数据填入上表括号中。以亩产为比较标准：折算系数==1.11亩产标准误差：*1.11=4.58LSR0.05=13.42LSR0.01=18.27说明A2与B1配合，比A1与B1和B2与A2配合每亩增产106.6kg。78
78AC的交互作用差数交互作用值C1下A2-A190C2下A2-A16624（40.08**）C3下A2-A13060(100.2**)36(60.12**)C因是12个小区之和，折算系数为：=1.67亩产标准误差：LSR0.0514.517.3LSR0.0122.523.5说明A2与C1配合，比A1与C1、C2与A2配合增产40.08kg，比A1与C2、C3与A2配合每亩增产100.2kg，而A2与C2配合，比A1与C2、C3与A2配合每亩增产60.12kg。79
79BC的交互作用差数交互作用值C3下B1-B224C2下B1-B2618（30.06**）C1下B1-B2024(40.08**)6(10.02)比较的标准值同AC交互作用。同学们自己得结论80
804处理间的差异显著性检验：234567891012SSR0.05SSR0.01LSR0.051.651.731.781.821.851.871.881.891.911.92LSR0.012.242.342.412.452.482.522.552.572.592.6181
81平均产量33aA32aA26bB26bB23cC23cC22cdC21dC21dC16eD11fE6gF82
82缺区估计：缺一区的缺区估算方法及方差分析。1．估算方法：A：缺区其它处理产量总和B：缺区其它小区间量总和T：所有总和（除缺区外）m：处理数n：区组数83
832．经缺区估算后的方差分析：分析方法基本按随机区组的方差分析进行，但误差的自由度要再减小1，即总自由度要减2。这样，误差自由度变小，计算出来的误差方差就变大了。有缺区的试验进行多重比较的t检验时，平均数差数标准误差就有变化。无缺区时：有缺区时：84
84区组12345区组总数14236344632190238343039391803474237（44）36162（206）44140393735192处理总数168152140122（166）142724（768）处理平均42．038．035．041．535．585
851缺区估算86
862方差分析误差自由度要减少1，总自由度减少2。多重比较时,无缺区的处理比较时与原来一样的方法（但因误差自由度减少了，标准值就增大了）有缺区的处理则应按下法计算87
87LSD0.01=2.5*3.11=7.78(df=11)无缺区LSD0.01=2.75*3.11=8.68(df=11)有缺区处理平均4241.53835.53588
88组内又具亚组数据的方差分析在温室内以4种培养液培养某种作物，每种培养液培养3盆，每盆4株，一个月后测定其株高生长量（mm），得如下资料，试问不同培养液之间及盆之间对其株高生长量是否有显著影响？培养液A1A2A3A4盆号B1B2B3B1B2B3B1B2B3B1B2B3株高50354550555585657060606555354045604560707055856540304050506590807035458535405045505585657070757589
89解题思路总平方和=处理平方和+重复平方和+误差平方和培养液间这是单因素的试验，无交互作用，所以多重比较可用LSD或LSR法。盆间，是培养液间的误差株间，是盆间的误差90
90总平方和：（502+352+…+752）－＝11595.31培养液间：（4952+6252+…+7752）－＝7126.56盆间：（1802+1402+…+2902）－＝1262.50误差：11595.31－7126.56－1262.50＝3206.25培养液A1A2A3A4盆号B1B2B3B1B2B3B1B2B3B1B2B3株高50354550555585657060606555354045604560707055856540304050506590807035458535405045505585657070757591
91变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01培养液间37126.562375.5215.05**4.077.59盆间8(3-1)*41262.50157.811.772.223.04株间36(4-1)*3*43206.2689.06总数4711595.31培养液间的F：2375.52/157.81=15.05盆间的F=157.81/89.06=1.77培养液A1A2A3A4盆号B1B2B3B1B2B3B1B2B3B1B2B3株高50354550555585657060606555354045604560707055856540304050506590807035458535405045505585657070757592
92培养液间的差异显著性检验（可用LSD或LSR）234SSR0.053.263.393.47SSR0.014.745.005.14LSR0.0511.8312.3112.60LSR0.0117.2118.1518.6693
93C73.3aAD64.6aABB52.1bBCA41.3bC94
94二．拉丁方设计的分析拉丁方设计的特点是：处理数与重复数相等，无论在直行或横行都可组成一个独立的区组，从而控制了两个方向的土壤差异，以达到提高试验精确度的目的。拉丁方的方差分析，在变异因素的划分上，可划分为处理间、区组间（包括横行间、直行间）及误差四项。方差分析95
95横行总数（Ｔv）563101236104655308157654177139541961117851直行总数Ｔc3938404735199例：某地钾肥微型小区试验，采用５*５拉丁方设计，五种钾肥品种以A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ表示，试验产量如下（kg)，试进行方差分析。区组直行123451BDEAC2CABED3DCABE4EBCDA5AEDCB96
96解题思路总平方和=处理平方和+区组平方和+误差平方和两个方向的局部控制横行区组直行区组这是个单因素试验，没有交互作用，所以多重比较可用LSD法。97
97处理总数：ＴB：Ａ＝35B＝32Ｃ＝67Ｄ＝39E＝26误差平方和：294.96-15.80-47.80-203.00=28.36（52+102+…+82）－＝294.96(392+382+…+352)－＝15.76(362+302+…+512)－＝47.76(352+322+…+262)－＝203总平方和：直行平方和：横行平方和：处理平方和：区组直行横行总数（Ｔv）123451B5D6E3A10C12362C10A4B6E5D5303D8C15A7B6E5414E7B7C13D9A5415A9E6D11C17B851直行总数Ｔc3938404735199(T)98
985*5拉丁方设计方差分析变异因素自由度平方和均方差F值F0.05F0.01横行间447.8011.945.06*3.265.41直行间415.803.941.673.265.41处理间4203.0050.421.52**3.265.41误差1228.362.37总数24294.9699
99aAbBbcBbcBcB处理平均产量-5.2-6.4-7.0-7.8C13.48.2**7.0**6.4**5.6**D7.82.6*1.40.8A7.01.80.6B6.41.2E5.2请同学们自己用字母标注多重比较结果并得出总的结论五种钾肥以C最好，与其它几种钾肥差异极显著；D比E差异显著，其余ABE差异不显著LSD0.05=0.972*2.179=2.118LSD0.01=0.972*3.055=2.969(n=12)多重比较100
100拉丁方试验的缺区估计（1个缺区）和结果分析101
101区组直行横行总数（Ｔv）123451B5D6E3A10C12362C10A4B6E5D5303D8C15A7B6E5414E7B7C13D9A5415A9E6D11C17B840直行总数Ｔc3938294735188(T)处理总数：ＴB：Ａ＝35B＝32Ｃ＝67Ｄ＝28E＝26102
102三．裂区区组设计的方差分析裂区区组设计实质上是多层随机区组设计的组合，它不同于复因素试验。设计时将第一个因素的每一个水平作为一个处理，称主处理，主处理所占的小区称为主区或整区。将第二个因素的每个水平也作为一个处理，称副处理，按副处理数划分为更小的小区，称副区或裂区。裂区在进行统计分析时也应分别计算主区和副区的误差，再进行F测定。103
103例：江苏某地在追肥和不追肥的基础上，比较猪牛粪、绿肥、堆肥、草塘泥（同时要设对照）等几种不同农家肥对早稻产量的影响，采用裂区设计，主区处理为追肥和不追肥，副区处理为不同农家肥料，重复四次。104
1041．按照试验主副区的排列作出试验的产量1234副区处理总数不追肥追肥不追肥追肥不追肥追肥不追肥追肥不施肥1764451924451924483045242726猪牛粪3525922565042465203885003358绿肥4166043256044066404866504131堆肥2805482404853205843205243301草塘泥4056404445653666004566164152主区总数1629282914572603153028521954261417668区组总数455840604382476817668105
1052.按照主区、副区归纳成双方向分类总产表副区处理主区处理副区处理总数不追肥追肥不施肥864.01862.02726.0猪牛粪1242.02116.03358.0绿肥1633.02498.04131.0堆肥1160.02141.03301.0草塘泥1671.02481.04152.0主区处理总数6570.011098.017668.0106
106解题思路总平方和=主区总平方和+副区总平方和+主×副交互作用主区处理+主区重复+主区误差追与不追4次重复副区处理+副区误差5个处理这是个多因素试验，有交互作用，所以多重比较可用LSR法。107
1073划分变异因素与自由度：主区部分：主区变异主区总自由度8-1=7区组间变异区组间自由度4-1=3追肥间变异追肥间自由度2-1=1主区误差主区误差自由度7-3-1=3副区部分：农家肥料间变异农家肥料间变异自由度5-1=4追肥*农家肥料交互作用追*农肥自由度1*4=4副区误差副区误差自由度39-7-8=24总变异：总自由度40-1=39总平方和=主区总平方和+副区总平方和+主×副交互作用主区处理+主区重复+主区误差副区处理+副区误差108
108副区处理主区处理副区处理总数不追肥追肥不施肥864.01862.02726.0猪牛粪1242.02116.03358.0绿肥1633.02498.04131.0堆肥1160.02141.03301.0草塘泥1671.02481.04152.0主区处理总数6570.011098.017668.04．计算各种变异的平方和：主区部分计算主区总变异=主区处理+主区重复+主区误差1234不追不追不追不追不施1764451924451924483045242726猪牛3525922565042465203885003358绿肥4166043256044066404866504131堆肥2805482404853205843205243301草塘4056404445653666004566164152主区1629282914572603153028521954261417668区组455840604382476817668主区误差平方和＝549415.6-25355.6-512569.6=11490.4=（16292+28292+…+28142）－=549415.6=（45582+40602+…+47682）－=25355.6＝（65702+110982）－=512569.6主区总平方和区组平方和主区处理平方和109
109副区处理主区处理副区处理总数不追肥追肥不施肥864.01862.02726.0猪牛粪1242.02116.03358.0绿肥1633.02498.04131.0堆肥1160.02141.03301.0草塘泥1671.02481.04152.0主区处理总数6570.011098.017668.01234不追不追不追不追不施1764451924451924483045242726猪牛3525922565042465203885003358绿肥4166043256044066404866504131堆肥2805482404853205843205243301草塘4056404445653666004566164152主区1629282914572603153028521954261417668区组455840604382476817668＝(1762+3522+…+6162)－＝770214.4总平方和=主区总平方和+副区总平方和（副处理+副误差）+主×副交互作用总平方和主区＊副区平方和=双向表中总平方和-主处理平方和-副处理平方和＝（8642+12422+…+24812）－＝700378.4双向表中总平方和110
110副区处理主区处理副区处理总数不追肥追肥不施肥864.01862.02726.0猪牛粪1242.02116.03358.0绿肥1633.02498.04131.0堆肥1160.02141.03301.0草塘泥1671.02481.04152.0主区处理总数6570.011098.017668.01234不追不追不追不追不施1764451924451924483045242726猪牛3525922565042465203885003358绿肥4166043256044066404866504131堆肥2805482404853205843205243301草塘4056404445653666004566164152主区1629282914572603153028521954261417668区组455840604382476817668副区部分总平方和=主区总平方和+副区总平方和（副处理+副误差）+主×副交互作用＝（27262+33582+…+41522）－=184557.6＝双向表中总平方和－主处理平方和－副处理平方和＝700378.4-512569.6-184557.6=3251.2副区处理平方和主区＊副区平方和副区误差平方和＝总平方和－主区平方和－副区平方和－主区＊副区＝770214.4-549415.6-184557.6-3251.2=32990.0111
1115.方差分析变异因素自由度平方和方差F值F0.05F0.01区组间325355.68451.92.29.2829.46追肥间1512569.6512569.6133.8**10.1334.12主区误差311490.43830.1主区总数7549415.6农家肥料间4184557.646139.433.0**2.784.22追肥＊农家肥43251.2812.8<12.784.22副区误差2432990.01374.6总数39770214.4112
1126.多重比较A追肥与不追肥间的比较不用进行(只有两个处理) 如果需要进行比较，要注意n值的计算。113
113B.不同农家肥间的比较=13.11P2345SSR0.052.923.073.153.22SSR0.013.964.144.244.33LSR0.0538.2840.2541.3042.21LSR0.0151.9254.2855.5956.77处理平均产量差异显著性草塘泥519.0aA绿肥516.4aA猪牛粪419.8bB堆肥412.6bBCK340.8cC1草塘泥、绿肥对早稻的肥效高于猪牛粪和堆肥2追肥对早稻产量影响显著3追肥与农家肥料间的交互作用不显著，追肥不能提高农家肥的肥效114
114四．正交设计的方差分析正交设计的方差分析可以采用一般设计方法的方差分析方法和极差分析的方法。极差分析的方法即直观分析，根据平均数极差（R）值的大小作直观分析，从而决定各因素的主次。——缺少试验误差的估计。115
115正交设计：按正交表制定试验方案称为正交设计。当试验因素较多时，采用正交设计既可减少试验处理，又可保持方案的均衡性。（正交设计是在牺牲一些交互作用的前提下，才能减少试验处理数）116
116正交设计的方差分析正交设计试验，如果保持因素主效应和互作效应、互作效应间均不混杂，则不能压缩试验处理数，这样就是一个复因素试验的完全方案，采用随机区组排列时就是复因素随机区组试验。正交试验方案的方差分析，与复因素随机区组试验相似，只是在处理效应分解时将被混杂了的互作效应除去就是。117
117列号表头设计处理组合123区组T1ABCⅠⅡA1B1C1111252752A1B2C2122293059A2B1C1211363167A2B2C2222383371A3B1C2312232750A3B2C1321222143A4B1C2412424082A4B2C1421373572T1111251234T2138245262T＝252244T=496T393T4154R61928表13正交试验结果分析表(L8(4*22)118
118变因dfSSMSFF0.05F0.01区组144<1A3556.5185.543.65**3.866.99B12.252.25<1C1494911.53**5.1210.56误差938.254.25总变异15650表14辣椒丰产技术试验的方差分析119
119k234SSR0.053.203.343.41SSR0.014.604.864.99LSR0.0513.1913.7714.06LSR0.0118.9720.0420.57表15A因子间多重比较的LSR值120
120品种总产量显著水平α＝0.05α＝0.01A4154aAA2138bBA1111cCA393dD表16A因子间的显著性测验121
121k2345SSR0.053.203.343.413.47SSR0.014.604.864.995.08LSR0.059.339.749.9410.12LSR0.0113.4114.1714.5514.81表17处理组合间多重比较的LSR值122
122处理组合总产量显著水平α＝0.05α＝0.01A1B1C182aAA1B2C272bABA2B1C172bABA2B2C267bcBA3B1C259cdBCA3B2C152deCDA4B1C220deCDA4B2C143eD表18处理组合间的显著性测验123
123（一）误差的估计：极差平均数：水平的重复数：列水平数：占正交表的列数d(n,l)：查表得极差分析的方法:根据平均数的极差值大小作直观比较124
124（二）试验因素的F检验：FA=/实际计算中FA=/=/误差自由度dfe=Φ(n,l)，也是查表得到125
125例广东某地水稻的品种、密度、氮肥三因素三水平正交试验，采用下列正交表，并假设其互作很小，虽然交互作用与主效应混杂，但不影响主效应，否则交互作用显著必须重新更换容量较大的正交表，试验结果如下。126
126处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931127
127处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931处理号品种A1密度B2氮肥C3空列4产量（kg/亩）11111710.021222807.031333830.042123780.052231876.062312686.073122950.083213783.093331900.0K12347.02440.02179.02486.07322.0K22342.02166.02487.02443.0K32633.02416.02656.02397.029150477939716.715931解：根据公式估计试验方差的近似值，已知r=3,n=3,l=1，查附表得d(n,l)得d=1.91,则对品种A的检验，代入公式得FA=SA2/Se2=10.32128
128FB=SB2/Se2=0.32SC2==20839.0FC=SC2/Se2=28.72A、B、C的自由度都为2，，则误差自由度为dfe=Φ(n,l)=2查F表（2，2）F0.05=19,F0.01=99.0所以A、B都不显著，但F0.01>Fc>F0.05表明氮肥达到了显著水平129
129简化计算：FA=RA2/Re2RA2：A因素的极差Re2：试验误差的极差。130
130正交表选择的原则既要能安排下全部试验因素，又要使部分试验的水平组合数尽可能的少。最少试验次数：在正交试验中，各试验因素水平数减1的总和再加1；如果要考虑交互作用，还得加上交互作用的数量最后选定的正交表要比选用的处理组合数稍多。131
131在部分正交试验中，试验为不完全方案，交互作用已被混杂，空列就不能估计互作效应，而空列所计算出的误差，通常称为第一类误差(e1)由总SST减去SSt等所求出的叫第二类误差(e2)。如果F=Se12/Se22不显著，则将第一类误差的平方和、自由度与第二类误差的平方和、自由度合并作为试验误差的估计值，这样，一般能提高试验的精度。但如果显著，则不能合并，只能用e2作为检验其它效应显著性的误差132
132五．数据转换与方差分析的应用条件方差分析是建立在正态分布数学模型的基础之上的，因此需要试验效应的可加性，试验误差分布的正态性及同质同类。133
133一）成数与百分数的转换成数就是百分比例数，其呈二项式分布，只有当p=q时，其分布才接近对称，所以百分数最容易偏离正态分布。一般当百分数在30~70%之间时，可以不经转化，直接进行方差分析；但当百分数数据<30%或>70%时，必须经过转化后才可采用方差分析。134
134所以，对这部分计数资料可用反正弦角度转化的方法将作为正弦函数值，反求其角度其可查附表12（P378）。如然后对新形成的数据进行方差分析135
135（二）平方根的转换样本平均数与方差成一定的比例关系时，这类资料大多呈波松（Poisson）分布，通常采用平方根转换的方法。（主要为次数等计数资料）如：设x，则如果x<10，则用或来转换。136
136（三）对数转换数据或效应表现出成长的关系，此时数据表现的效应就不是可加性，而是成倍加性或可乘性。如微生物的生长，细胞的分裂等，这时就需要对样本平均数、标准差等采用对数转换。这样就可以获得一个同质的方差。x’=lgx如果有x=0，x’=lg(x+1)137
137（四）采用几个观察值的平均数作方差分析因为平均数比单个观察值更易做成正态分布，如果以这些平均数作方差分析，可减小各种不符合基本假定的因素的影响。138
138如不同处理对生活力花粉百分数的影响处理对照123%979593709177786882727566856476497856635577687164处理对照12380.077.174.756.872.561.362.055.664.958.160.054.367.253.160.744.462.048.452.547.961.355.657.453.1经过百分数的反正弦值变换得下表(因为这些p值都大于70%)139
