湖北省武汉市常青联合体2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案

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武汉市常青联合体2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学试卷考试时间：2022年6月30日试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知aR，若有ai5（i为虚数单位），则a（）A．1B．2C．2D．2．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（）32A．32B．48C．64D．33．在四边形ABCD中，AB3DC，E为边BC的中点，若AEABAD，则（）175A．B．1C．D．6664．已知fx2sinωxφ的部分图象如图所示，则fx的表达式为()3π35πA．fx2sinxB．fx2sinx242442π425C．fx2sinxD．fx2sinxπ393185．已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面,，下列四个命题中正确的是（）A．若m//,n//，则m//nB．若l//,m，则l//m高一数学试卷第1页

1C．若,l，则lD．若l//,l，则226．已知cos，则sin2的值是（）437227A．B．C．D．99997．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AC//EB；②AC与DG成60角；③DG与MN成异面直线且DGMN；3④若NB与面ABCD所成角为，则sin．3其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．已知函数fxsinxacosx，周期T，f1，且在x处取得最36大值，则使得不等式a恒成立的实数的最小值为（）2222A．B．C．D．9152127二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．设向量a2,0，b1，1，则（）πA．abB．ab//bC．abbD．a与b的夹角为4高一数学试卷第2页

210．设函数f(x)sin2x，给出下列命题，不正确的是（）3A．f(x)的图象关于直线x对称3B．f(x)的图象关于点,0对称12C．把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象12D．f(x)的最小正周期为，且在0,上为增函数611．下列结论正确的是（）A．在ABC中，若AB，则sinAsinB213B．已知tan()，tan(),则tan()5444113222C．在ABC中，若bac2ac，sinB，则C36D．正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则它的体积是3603cm12．在正方体ABCD−ABCD中，棱长为1，点P为线段AC上的动点（包含线段端点），11111则下列结论正确的是（）⃑⃑A．当AC=3AP时，DP//平面BDC11119B．当P为AC中点时，四棱锥P−AADD的外接球表面为111226C．AP+PD的最小值为13高一数学试卷第3页

33D．当AP时，点P是ABD的重心1113三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数z，12iz43i，求z________.14．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120.若a在e上的投影向量为2e，则a________.115．在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA________.4316．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中AD1,AB2，侧棱PA25底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥PABCD的外接5球体积为_________.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，为EB1D1的中点，ACBDO.求证：（1）AC平面B1BDD1；（2）DE//平面ACB1.高一数学试卷第4页

4xxx18．（本小题满分12分）已知函数fx12sincossin，在ABC中，角A、333B、C所对的边分别为a、b、c，(1)求函数fC的最大值，并求出此时C的值；fC2，且2(2)若3b8ac，求cosB的值．819．（本小题满分12分）如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小.222π20．（本小题满分12分）在①cosA−3sinAsinC=cosB+sinC，②2bcos(A+)=c，3③(a−b−c)(a+b−c)+(2+3)ac=0，在三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析.已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，ab，，c且______.(1)求角B；(2)若b=2，求3c+2a的取值范围.21．（本小题满分12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢高一数学试卷第5页

5往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如右图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过分t钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于的t函数关系式满足HtAsintB（其中A0，0，）求摩天轮转动一周的解析2式Ht；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．22．（本小题满分12分）如图，三棱锥ABCD中，侧面△ABD是边长为4的正三角形，AC2CD4，平面ABD平面BCD，把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内），M、N分别是BD、CD的中点.（1）求证：CDMN；（2）当三棱锥CAPD的体积最大值时，求三棱锥PBMN的体积.高一数学试卷第6页

6高一数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1-4.CACB5-8.DABC二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.CD10.ABD11.AC12.ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.2i14.41015.1016.6四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解:（1）在正方体中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC，.................2分又ACBD，BDBB1B，AC平面BBDD.....................5分11（2）连接OB1，在正方体中，BB//DD且BBDD，1111四边形BBDD是平行四边形，BD//BD且BDBD，111111O,E分别为BD,B1D1中点，DOEB1，四边形DEBO是平行四边形，DE//OB，...............8分11

7DE平面ACB1，OB1平面ACB1，DE//平面ACB....................10分118.xxxxx2x2x2x解:(1)fx12sincossin2sincos12sinsincos333333332x2sin，..........................3分342C110C，则+，...........................................4分443122C3当+时，即当C时，fC取得最大值2..................................6分432822C2C(2)fC2sinC2sin2，所以，sin1，838436362C52C0C，则，则，可得C，............8分63663622223sinB8sinA8sinB8cosB2因为3b8ac，则，即33cosB8cosB，22所以，3cosB8cosB30，...........................................11分1因为B为锐角，则0cosB1，解得cosB.......................................12分319.解:(1)证明:如图所示,连接BD,由四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.............1分因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB....................4分又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.............6分(2)解:由(1)知PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角ABEP的平面角...............8分PA在Rt△PAB中,tan∠PBA==3,所以∠PBA=60°,.....11分AB故二面角ABEP的大小是60°..................12分

820.解:(1)若选条件①，则有1−sin2�−3sin�sin�=1−sin2�+sin2�，222�2+�2−�23根据正弦定理得�+�−�=−3��，所以cos�==−，2��25�因为0B，所以�=.......................6分613若选条件②，根据正弦定理得2sin�(cos�−sin�)=sin�=sin(�+�)，22所以sin�cos�−3sin�sin�=sin�cos�+cos�sin�，所以−3sin�sin�=sin�cos�，3因为0A，所以sinA0，所以−3sin�=cos�，解得tan�=−，35�因为0B，所以�=......................6分6若选条件③，则有(�−�)2−�2+(2+3)��=0，222�2+�2−�23所以�+�−�=−3��，则cos�==−，2��25�因为0B，所以�=...................6分6���(2)由正弦定理知===4，sin�sin�sin��所以3�+2�=4(3sin�+2sin�)=43sin(−�)+2sin�61331�=43(cos�−sin�)+2sin�=4(cos�+sin�)=4sin(�+)，.......9分22223����3�因为0<�<，所以<�+<，所以

9Ht60sint8015又H060sin08020，15所以sin1，．2所以Ht60sint80，0t30．.............................4分152（2）Ht60sint8060cost80，...............5分152151所以60cost8050，cost，0t30，15152第一次时t153t5（分钟）．.......................8分（3）经过t分钟后甲距离地面的高度为H60cost80，11530乙与甲间隔的时间为65分钟，.............................................................9分36所以乙距离地面的高度为H60cost580，5t30，215所以两人离地面的高度差hH1H260cost60cost560sint，5t30.........11分15151563当t或时，即t10或25分钟时，h取最大值为60米......................12分1562222.解:（1）如图，连接AM、MC，ABAD，M是BD的中点，AMBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBDAM平面ABD，AM平面BCD，.....................................2分又MC平面BCD，AMMC．

10△ABD为边长为4的正三角形，AM23，又AC4，由勾股定理可得MC2，1MCMBMDBD2，2BCD为直角三角形，且BCCD，又M、N分别是BD、CD的中点，MN//BC，MNCD.............................6分（2）如图，连接AN、PN，三棱锥CAPD与三棱锥PACD为同一个三棱锥，且△ACD的面积为定值，当三棱锥PACD的体积最大时，平面PCD平面ACD，.................7分ACAD，则PCPD，N为CD的中点，则PNCD，又CD2,CN1平面PCD平面ACD，平面PCD平面ACDCD，PN平面PCD，PN平面ACD，PNAN，PNANAC2CN215，CD平面AMN，CD平面APN，平面AMN与平面APN为同一个平面，................................9分MNPMNAANP900MNA，又MNCM2CN23，MN1在RtAMN中,cosANM，AN501sinPNMsin90ANMcosANM，513SMNPNsinPNMPMN22由（1）知BC//MN,BC平面PMN,MN平面PMN，BC//平面PMN，11VPBMNVBPMNVCPMNSPMNCN................................12分32