数---学第2章-(2)

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1第1章三角公式及应用1.1和角公式1.2正弦型函数1.3正弦定理与余弦定理

21.1和角公式两角和与差的余弦公式1.1.1我们知道：cos60°=,cos30°=，cos60°+cos30°=，cos(60°+30°)=cos90°=0，显然cos60°+cos30°≠cos(60°+30°)，由此可知，一般情况下，对于任意两个角α、β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.

31.1和角公式如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cosα,sinα)，点C的坐标为(cosβ,－sinβ)，因此向量=(cosα,sinα)，向量=(cosβ,－sinβ),且=1,=1，于是·=··cos(α+β)=cos(α+β)，

41.1和角公式设向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且=θ，则a·b=|a|·|b|·cosθ，又由于a·b=x1x2+y1y2，则|a|·|b|·cosθ=x1x2+y1y2.学习提示

51.1和角公式又由于·=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我们得到了两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（1-1）式（1-1）反映了α+β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系图1-1

61.1和角公式当α,β为任意角时，式（1-1）仍然成立，同学们可以通过锐角情况下的结论，利用三角函数的诱导公式来证明.学习提示

71.1和角公式将式（1-1）中的β换成－β，则有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.由此，我们得到了两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（1-2）式（1-2）反映了α－β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.

81.1和角公式式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意角、同名称、符号反.学习提示

91.1和角公式例1不用计算器，求cos75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-1）得cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°－sin30°sin45°=

101.1和角公式例5化简下列各式：（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°；（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ.解和角公式（1-1）把角α+β的三角函数转化成了α,β的三角函数式.如果反过来，从右向左使用式（1-1），我们就可以将上述的三角函数式化简.（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°sin4=cos(40°+20°)=cos60°=1/2.（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ=cos［(α－β)+β］=cosα.

111.1和角公式练一练1.不用计算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.2.化简下列各式，并求值：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°；（2）

121.1和角公式两角和与差的正弦公式1.1.2我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据两角和的余弦公式式（1-1）我们可以计算出，因此有这一等式.这说明余弦函数与正弦函数之间是可以互相转化的，也为我们推导两角和的正弦公式提供了有力的工具.

131.1和角公式由此，我们得到了两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.（1-3）式（1-3）反映了α+β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.

141.1和角公式将式（1-3）中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（1-4）式（1-4）反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.

151.1和角公式例6不用计算器，求sin75°的值.解将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-3）得sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

161.1和角公式例7不用计算器，求sin15°的值.解将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-4）得sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cos30°－cos45°sin30°=

171.1和角公式例7是否还有别的解法？想一想

181.1和角公式例8已知cosα=3/5,α∈(－π/2,0)，求sin(α+π/3)的值.解利用式（1-3），首先应求出sinα的值.由于cosα=3/5,α∈(－π/2,0)，所以

191.1和角公式逆向使用公式是非常重要的，往往会给解题带来新的思路，使问题的解决变得简单化。学习提示

201.1和角公式练一练1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化简下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.

211.1和角公式两角和与差的正切公式1.1.3根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可知当cosα·cosβ≠0时，上式分子分母同除以cosαcosβ可得（1-5）同理，可得出（1-6）注意：在两角和与差的正切公式中，α、β的取值应使式子的左右两端都有意义.

221.1和角公式例10不用计算器，求（1）；（2）tan285°的值.解（1）=-==（2）

231.1和角公式练一练1.求下列各式的值：（1）；（2）.2.已知tanα=1/2,tan（α-β）=-2/5，求tan（2α-β）的值.3.已知：tanα、tanβ分别是关于x的二次方程x2-5x+6=0的两个根，求tan（α+β）的值.

241.1和角公式二倍角公式1.1.4在式（1-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α,即cos2α=cos2α－sin2α.（1-7）同理，在式（1-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:sin2α=2sinαcosα.（1-8）因为sin2α+cos2α=1，所以式（1-7）又可以写为

251.1和角公式cos2α=2cos2α－1，（1-9）cos2α=1－2sin2α，（1-10）则还可以得到下列公式cos2α=（1+cos2α）/2，（1-11）sin2α=(1－cos2α)/2.（1-12）在式（1-5）中，令=α=β,就可以得到二倍角的正切公式：tan2α=2tanα/(1-tan2α).（1-13）式（1-7）~（1-13）反映出具有二倍角关系的角的三角函数之间的关系，在三角计算中有着广泛的应用.

261.1和角公式例14不用计算器,求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）2sin222.5°－1.解（1）sin15°cos15°=1/2×(2sin15°cos15°)=1/2sin(2×15°)=1/2sin30°=1/4.（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°)=－cos45°=－.

271.1和角公式在利用二倍角公式求三角函数的值时，要经常用到开方运算.为了判断平方根的正负号，要首先确定角的范围.学习提示

281.1和角公式练一练1.根据二倍角公式，完成下列各题：（1）sin6α=2sin()cos()；（2）sinα=2sin()cos().2.已知sinα=5/13，且α是第一象限的角，求sin2α,cos2α,tan2α的值.3.已知tan2α=3/4，求tanα的值。

291.2正弦型函数正弦型函数的概念和性质1.2.1我们已经学习了正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sinx有着密切的关系.我们先来讨论正弦型函数的周期.在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则y=Asin(ωx+φ)=Asinz.

301.2正弦型函数我们已经知道正弦函数y=sinx的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定义域为R，并且

311.2正弦型函数由于正弦函数y=sinx的值域为［－1,1］，所以y=Asinz(A>0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为A，最小值为－A.综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质：（1）定义域为R；（2）周期为T=2πω；（3）值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.

321.2正弦型函数例1求正弦型函数y=sin（2x+π/6)和y=sin(x/2+2π/5)的周期.解根据正弦型函数的周期公式T=2π/ω，可知y=sin(2x+π/6)的周期为T=2π/ω=2π/2=π；y=sin(x/2+2π/5)的周期为

331.2正弦型函数例2求函数y=3sin(4x+π/3)的周期和最大值、最小值，并求在什么情况下函数取得最大值和最小值.解据正弦型函数的性质，我们可得函数y=3sin(4x+π/3)的周期为T=2π/ω=2π/4=π/2.设z=4x+π/3，即x=z/4－π/12，则当z=2kπ+π/2(k∈Z),即x=kπ2+π24(k∈Z)时，函数y=3sinz有最大值，最大值为3；

341.2正弦型函数当z=2kπ－π/2(k∈Z),即x=kπ/2－5π/24(k∈Z)时，函数y=3sinz有最小值，最小值为－3.所以，当x=kπ/2+π/24(k∈Z)时，函数y=3sin(4x+π/3)取得最大值3；当x=kπ/2－5π/24(k∈Z)时，函数y=3sin(4x+π/3)取得最小值－3.

351.2正弦型函数一般地，研究函数y=asinx+bcosx(a>0,b>0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ)的形式.如图1-2所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则图1-2

361.2正弦型函数于是即，角θ的值可以由tanθ=b/a确定（角θ所在的象限与点P所在的象限相同）.

371.2正弦型函数例3中，利用公式（1-3）将函数转化为正弦型函数的形式，这是确定函数周期和值域的关键.学习提示

381.2正弦型函数例3求函数y=cosx+sinx的最大值和最小值.解因为故函数y=cosx+sinx的最大值为，最小值为.

391.2正弦型函数练一练1.求下列函数的最大值、最小值和周期：（1）；（2）.2.求下列函数的最大值和最小值，并求出在什么情况下函数取得最大值和最小值：（1）（2）

401.2正弦型函数正弦型函数的图像1.2.2在研究正弦函数y=sinx的图像时，我们介绍过“五点法”作图，即选取(0,0),(π/2,1)，(π,0),(3π/2,－1),(2π,0)作为五个特殊点来作图.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与正弦函数的图像类似，我们一般也采用“五点法”来作正弦型函数的图像.正弦型函数的图像称为正弦型曲线.

411.2正弦型函数在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我们分别取z=0,π/2,π,3π/2,2π，求出对应的x的值和函数值y，构成五组(x,y).分别以每组的(x,y)为坐标描点，描出对应的五个关键点，然后用光滑的曲线连接各点，即可以得到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.下面我们以具体的题为例，用“五点法”作出几个正弦型函数在一个周期内的简图，然后观察正弦型曲线的特征.

421.2正弦型函数例4利用“五点法”作出正弦型函数y=sin(2x+π/3)在一个周期内的简图.解在函数y=sin(2x+π/3)中ω=2，因此周期为T=2π/ω=2π/2=π.为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z=2x+π/3，分别取z=0,π/2,π,3π/2,2π，我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，见表1-1.

431.2正弦型函数表1-1

441.2正弦型函数以表中每组(x,y)为坐标描点，如图1-3所示，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点：(－π/6,0),(π/12,1),(π/3,0),(7π/12,－1),(5π/6,0).图1-3

451.2正弦型函数用光滑的曲线连接各点，得到函数y=sin(2x+π/3)在一个周期内的图像，如图1-4所示.图1-4

461.2正弦型函数一般地，为了作出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像，可令z=ωx+φ，然后利用上面的方法,即求得一个周期内的正弦型曲线的五个关键点的坐标，依次为其中T为函数的周期.

471.2正弦型函数例5利用“五点法”作出函数在一个周期内的图像.解这里,故函数的周期为且，所以五个关键点的坐标分别为：

481.2正弦型函数描出这五个关键点，然后用光滑的曲线连接各点，即得到函数在一个周期内的图像，如图1-5所示。图1-5

491.2正弦型函数练一练利用“五点法”作出下列函数在一个周期内的图像：

501.2正弦型函数正弦型函数的应用1.2.3在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流称为交变电流，简称交流电.最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中Im是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为角频率，单位为rad/s；ωt+φ0称为相位，φ0称为初相位，简称初相；T=2π/ω称为简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数称为频率，用f表示，f=1/T，单位为Hz（赫兹）.

511.2正弦型函数峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素，它们从不同的方面描述了简谐交流电的物理特征。在物理学中，用s=Asin(ωt+φ)(t∈［0+∞),A>0,ω>0)表示简谐振动，其中t表示振动的时间，s表示位移，A表示振动时离开平衡位置的最大距离，通常将A称为振幅，故函数的最大值smax=A,最小值smin=-A,T=2π/ω称为简谐振动的变化周期，f=1/T称为简谐振动的变化频率，ωt+φ称为相位，φ称为初相位。一般地，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，A称为振幅（或峰值），ω称为角频率，φ称为初相位。

521.2正弦型函数例6已知简谐交流电的电流强度随时间t的变化规律为，求出它的峰值、周期、初相位和频率.解峰值周期初相位频率

531.2正弦型函数例7已知简谐交流电的电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的部分曲线如图1-6所示，试写出I与t的函数关系.图1-6

541.2正弦型函数解电流强度I随时间t的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系式为I=Imsin(ωt+φ0).由图1-6可知峰值Im=30A，周期为T=2.25×10－2－0.25×10－2=2×10－2，于是由T=2πω=2×10－2得ω=100π.又由图1-6可知，点(0.25×10－2,0)满足函数关系式，因此将其代入函数关系式得0=30sin(0.25×10－2ω+φ0)，化简得0=0.25×10－2ω+φ0，即得φ0=－0.25×10－2ω=－0.25×10－2×100π=－π4.因此，所求的函数关系式为I=30sin（100πt－π/4）.

551.2正弦型函数练一练1.求出简谐交流电的峰值、周期、初相位和频率.2.指出下列正弦型函数的振幅、角频率和初相位：

561.3正弦定理与余弦定理正弦定理1.3.1在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理以及锐角的三角函数就可以由已知的边和角求出未知的边和角.但是，对于一般的三角形，我们该怎样求呢？如图1-8所示，在中，由则得所以图1-8

571.3正弦定理与余弦定理根据直角三角形的面积公式得由可得那么，在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？

581.3正弦定理与余弦定理如图1-9所示，在锐角三角形ABC中，作CD⊥AB于D，则CD=bsinA，CD=asinB，于是bsinA=asinB，即同理,过三角形的顶点B作AC的垂直线，可得因此图1-9

591.3正弦定理与余弦定理由于CD=bsinA=asinB，所以同理可得.如图1-10所示，在钝角三角形ABC中，设∠C为钝角，作BD⊥AC延长线于D，则BD=csinA,BD=asin(180°－C)=asinC.同样可以得到图1-10

601.3正弦定理与余弦定理由于BD=csinA=asinC，所以同理可得这就是说，对于任意一个三角形，均成立，因此我们得到下面的正弦定理.由于BD=csinA=asinC，所以同理可得这就是说，对于任意一个三角形，均成立，因此我们得到下面的正弦定理.

611.3正弦定理与余弦定理由于BD=csinA=asinC，所以同理可得这就是说，对于任意一个三角形，均成立，因此我们得到下面的正弦定理.正弦定理：在任意一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即（1-14）同时，我们也得到了计算三角形面积的另一种表达形式：（1-15）

621.3正弦定理与余弦定理例1在△ABC中，已知b=14,∠A=30°,∠B=120°，求a.解根据正弦定理有，所以,

631.3正弦定理与余弦定理例2已知在△ABC中，∠A=30°,a=,b=30，求∠B.解根据正弦定理有，所以再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B=45°或∠B=135°.

641.3正弦定理与余弦定理练一练1.已知在△ABC中，∠A=45°,∠B=30°,b=，求∠C的度数和a的值.2.已知在△ABC中，b=,c=4,∠B=30°，求∠C的度数.

651.3正弦定理与余弦定理理论上正弦定理可以解决两类问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，先求另一边的对角，进而可求其他的边和角（在求另一边的对角时要讨论角的取值范围）.学习提示

661.3正弦定理与余弦定理余弦定理1.3.2正弦定理揭示了任意三角形中边与角的一种数量关系，揭示任意三角形中边与角的数量关系的另一个重要结论是余弦定理.如图1-11所示，建立平面直角坐标系，设△ABC是任意三角形，点A与原点重合，且AB=c,AC=b,BC=a，则点B的坐标为(ccosA,csinA)，点C的坐标为(b,0).根据两点间的距离公式得

671.3正弦定理与余弦定理两边平方得a2=(b－ccosA)2+(0－csinA)2=b2－2bccosA+c2cos2A+c2sin2A=b2－2bccosA+c2(cos2A+sin2A)=b2+c2－2bccosA,即得a2=b2+c2－2bccosA.同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.图1-11

681.3正弦定理与余弦定理可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理.余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的2倍，即

691.3正弦定理与余弦定理显然，当∠C=90°时，有c2=a2+b2，这就是说勾股定理是余弦定理的特例.式（1-16）中的三个式子还可以分别变形为

701.3正弦定理与余弦定理思考与讨论试用同样的方法证明其他两式.

711.3正弦定理与余弦定理理论上利用余弦定理可以解决下列问题：（1）已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角;（2）已知三角形的三条边，求三个角.学习提示

721.3正弦定理与余弦定理例4已知在△ABC，∠B=60°,a=6,c=8，求b的值.解由式（1-16）可得b2=a2+c2－2accosB，=62+82－2×6×8×cos60°=100－48=52,所以b=.

731.3正弦定理与余弦定理例5在△ABC中，a=6,b=7,c=10，求△ABC中的最大角和最小角（精确到1°）.解因为在三角形中大边对大角，小边对小角，由a

741.3正弦定理与余弦定理练一练1.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠C=150°，求c的值.2.在△ABC中，已知a=20,b=29,c=21，求∠B的度数.

751.3正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理的应用1.3.3通过学习正弦定理、余弦定理，我们可以应用这些三角函数的知识来解决一些实际问题,比如计算高度、长度、距离和角的大小等.

761.3正弦定理与余弦定理例7一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图1-12所示，求B处到灯塔C的距离.解因为∠NBC=45°,∠A=30°，所以∠C=15°，由题意知AB=36×0.5=18（海里），由正弦定理得BC=AB·sinA/sinC=18sin30°/sin15°≈34.8（海里）.所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里.图1-12

771.3正弦定理与余弦定理例9修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择合适测量的点C，如图1-14所示.如果已知∠C=60°,AC=350m,BC=450m，试计算隧道AB的长度（精确到1m）.解在△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cosC=3502+4502－2×350×450×cos60°=167500.则得AB=≈409（m）.所以隧道AB的长度约为409m.图1-15

781.3正弦定理与余弦定理练一练山顶上有一座塔，塔高为50m，从山下地面的某一点测得塔顶仰角为75°，塔底仰角为60°，求山的高度.

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