202.1椭圆要注意椭圆的焦点与长轴始终在同一个坐标轴上.求椭圆的标准方程时，如果不能确定焦点的位置，要针对不同情况，给出两种标准方程.学习提示
212.1椭圆例3椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置情况.解（1）当A（2，0）为长轴端点时，a=2，b=1.椭圆的标准方程为：（2）当A（2，0）为短轴端点时，b=2，a=4.椭圆的标准方程为：综上所述，满足条件的椭圆的标准方程为：和
222.1椭圆练一练1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为20，离心率为3/5；（2）a=4，b=1，焦点在y轴上.3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
232.2双曲线双曲线的定义与标准方程2.2.1在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（即点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图2-6所示.图2-6
242.2双曲线从以上实验我们可以发现，笔尖（即M点）在缓慢移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值始终保持不变，即等于AF2.我们将平面内与两个定点F1，F2间的距离的差的绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．其中这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距.
252.2双曲线上面实验所画出的图形就是双曲线，下面我们建立适当的直角坐标系来研究双曲线的标准方程.以双曲线的焦点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-7所示.设双曲线的两个焦点为F1(-c，0)，F2（c，0），则焦距为2c（c>0）.图2-7
262.2双曲线设点M（x，y）为双曲线上的任意一点，M点与两个焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a（a>0），由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a将点M，F1，F2的坐标代入得将上述方程化为
272.2双曲线移项两边平方后整理得两边再平方后整理得等式两边同时除以a2(c2-a2)，得由双曲线的定义知道，2c>2a>0，即c>a>0，说明c2-a2>0，设b2=c2-a2（b>0），代入上式，方程可变为
282.2双曲线我们把方程(a＞0,b＞0)叫做双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c，0)，其中c＞0且c2=a2+b2,我们把F1叫作左焦点，F2叫作右焦点.如果我们把双曲线与整个坐标平面绕y=x翻转180°，如图2-8（a）所示，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到焦点在y轴上的双曲线，如图2-8（b）所示.因此，在上面我们所得到的的双曲线的标准方程中，只要互换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程：
292.2双曲线图2-8方程（2-4）也叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同式（2-3）中的a,b，且c2=a2+b2.
302.2双曲线例1已知两点F1（-5，0），F2（5，0），求与它们距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.解由已知条件知，动点的轨迹是双曲线，焦点在x轴上，可设其方程为又因为2c=10,2a=6,则c=5,a=3.由c2=a2+b2,得b=4,故所求轨迹方程为
312.2双曲线例2求与双曲线有相同焦点且过点P（2，1）的双曲线方程.解根据题意设所求的双曲线方程为(a＞0,b＞0),则由题意得解得a2=b2=3,故所求双曲线的方程为
322.2双曲线练一练1.求下列双曲线的焦点与焦距：
332.2双曲线练一练2.求下列双曲线的标准方程：（1）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点；（2）过点且（3）经过点和
342.2双曲线双曲线的性质2.2.2我们采用与研究椭圆的性质相类似的方法，根据双曲线的标准方程来研究双曲线的性质.
352.2双曲线1.图形中x，y的取值范围我们把上面双曲线的标准方程变形为由于，因此，即我们再将上面的双曲线方程变形为，由于，所以，即y∈R，则双曲线的取值范围为x≥a或x≤-a，且y∈R.
362.2双曲线换句话说，从横的方向来看，双曲线在平行直线x=±a的两侧，而在两条平行线x=±a之间无图像；从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭的曲线，如图2-9所示.图2-9
372.2双曲线2.图形的对称性在双曲线的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立,这说明双曲线关于y轴对称.同理可知，双曲线也关于x轴对称，x轴和y轴都叫作双曲线的对称轴.因为双曲线是不封闭的曲线，但仍称其对称中心为双曲线的中心，坐标原点叫作双曲线的对称中心（简称中心）.
382.2双曲线3.双曲线的顶点双曲线与对称轴的交点叫作双曲线的顶点，当y=0时，计算得x=±a，所以双曲线的顶点为A1（-a，0）和A2（a，0）（见图2-9）.我们称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a.由于x=0时，双曲线方程无解，即双曲线与y轴无交点，但是我们仍将y轴上的两个特殊点B1（0，-b）、B2（0，b）在图中也标示出来（见图2-9），看作双曲线与y轴的两个虚交点，我们称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，a和b分别叫作双曲线的实半轴长和虚半轴长.
392.2双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.学习提示
402.2双曲线4.双曲线的渐近线过双曲线的两顶点A1,A2作y轴的平行线x=±a，经过B1,B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形，如图2-10所示.矩形的两条对角线所在直线方程是.这两条直线就是双曲线的渐近线，为双曲线的渐近线方程.图2-10
412.2双曲线在方程中，如果a=b,那么以曲线方程变为x2-y2=a2,这时它的实轴与虚轴长均为2a,这时，四条直线x=±a,y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x,它们互相垂直.学习提示
422.2双曲线5.双曲线的离心率同椭圆一样，我们称双曲线的焦距与实轴长的比值为离心率，记作由于c>a>0，因此双曲线的离心率e>1.双曲线形状与e的关系：说明e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.
432.2双曲线等轴双曲线的离心率是多少？想一想
442.2双曲线(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约.学习提示
452.2双曲线例4求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程及其离心率.解双曲线的渐近线方程为（1）设所求双曲线的方程为由可知，则将点代入双曲线方程中可得将代入其中可发现方程无解，所以假设的双曲线方程不成立.
462.2双曲线（2）设所求双曲线的方程为由可知将点代入双曲线方程中可得将代入其中后，可得到故所求双曲线的标准方程为其离心率为e=5/3.
472.2双曲线例4还有其他解法吗？想一想
482.2双曲线例5图2-11所示为双曲线型自然通风塔，其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m．请选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．图2-11图2-12
492.2双曲线分析本题建立合适的坐标系是关键.注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口.显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为x轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式.解根据题意建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合，如图2-12所示．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．设双曲线的方程为
502.2双曲线令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．因为点B、C在双曲线上，所以且解方程组，得代入方程①得
512.2双曲线化简得19b2＋275b－18150＝0③解方程③(使用计算器计算)得b≈25(m)，所以所求双曲线方程为
522.2双曲线练一练1.求出下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点、离心率和渐近线方程，并指出其对称轴和对称中心.（1）x2/2－y2/6=1；（2）x2/16－y2/25=1；（3）y2/2－x2/4=1；（4）9x2-y2=81.2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.（1）以椭圆5y2+8x2=40的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；（2）经过点P(15/4,3)，且一条渐近线方程为4x+3y=0；（3）与x2/49+y2/24=1有公共焦点，且离心率e=5/2.3.求渐近线方程为3x±4y=0，焦点为椭圆x2/10+y2/5=1的一对顶点的双曲线方程.
532.3抛物线抛物线的定义和标准方程2.3.1前两节我们学习了二次曲线的椭圆和双曲线，那么平面内移动点到定点和定直线的距离相等的轨迹是怎么样的图形呢？下面我们来做一个实验.如图2-13所示，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是直线l上的任意一点，过点H作MH⊥l，并与线段FH的垂直平分线相交于点M，当点H在直线l上运动时，点M的轨迹是什么?点M在运动的过程中满足什么条件?图2-13
542.3抛物线从以上实验中，我们发现点M到直线l的距离和到顶点F的距离始终保持相等（即|MH|=|MF|）.我们将平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，我们称定点F为抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.因此,图2-13中点M的运动轨迹就是抛物线.下面我们建立一个适当的直角坐标系，来研究抛物线的标准方程.
552.3抛物线如图2-14所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.设点M（x，y）为抛物线上的任意一点，另设|KF|=p（p>0），则F（p/2，0），l：x=-p/2，由抛物线的定义可得|MF|=|MN|，即图2-14
562.3抛物线等式两边平方得化简后得式（2-5）为抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴方向，焦点是，准线方程为其中p为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离.
572.3抛物线抛物线是一个怎样对称的图形呢？想一想
582.2双曲线二次函数y=ax2+bx+c的图像都是抛物线，其中的一部分y=ax2（或可化为）抛物线的标准方程x2=±2py.学习提示
592.3抛物线一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也会有所不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式.如果我们把图2-14中的抛物线与整个坐标平面分别进行以下操作：（1）绕y=x翻转180°；（2）绕x轴翻转180°；（3）绕y=-x翻转180°，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到以下三种抛物线的图形及其标准方程，如表2-1所示.
602.3抛物线表2-1
612.3抛物线例1已知抛物线的标准方程式是y2=6x，求它的焦点坐标和标准方程.解由题给条件可知p=3，故所求抛物线的焦点坐标为（3/2,0），准线方程为x=－3/2.
622.3抛物线根据表2-1中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的相应关系，如何判断抛物线的焦点位置和开口方向？想一想
632.2双曲线练一练1.已知抛物线经过点P(4，-2)，求抛物线的标准方程.2.已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x；(2)y＝12x2，求它们的焦点坐标和准线方程.3.已知抛物线的焦点坐标为F(0，-2)，求它的标准方程.
642.3抛物线抛物线的性质2.3.2从抛物线的标准方程中我们可以得到不等式y2≥0，p>0即x≤0，y∈R.从图2-15可以看出，抛物线位于x轴的负半轴方向，而且|y|值随着|x|的增大逐渐增大，即抛物线越向左上方和左下方无限延伸.图2-151.图形中x，y的取值范围
652.3抛物线抛物线标准方程中的p对抛物线开口有什么影响？想一想
662.3抛物线在上述抛物线的标准方程中，我们将y换成-y，方程依然成立.这说明该抛物线图形关于x轴对称.2.图形的对称性
672.3抛物线抛物线与坐标轴的交点叫作抛物线的顶点.当y=0时，x=0；当x=0时，y=0，说明抛物线只有一个顶点，即为坐标原点（0,0），这与椭圆有四个顶点、双曲线有两个顶点不同.3.抛物线的顶点
682.3抛物线思考与讨论尝试自行推导得出其余三种标准方程抛物线的几何性质.
692.3抛物线当抛物线的焦点在x轴或y轴上，开口方向不定时，可将抛物线方程设为y2=2mx(m≠0)或x2=2my(m≠0)，以避免讨论.学习提示
702.3抛物线我们将抛物线上的任一点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，记作e.由定义知，抛物线y2=-2px(p>0)的离心率为e=1.4.离心率
712.3抛物线例2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点求它的标准方程.解根据题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）.因为抛物线经过点所以代入可得即p=2，故所求抛物线标准方程为y2=4x.
722.3抛物线练一练1.指出下列抛物线的焦点坐标、准线方程、顶点及对称轴.（1）4y2+3x=0；（2）y2=16x；（3）x2=2y.2.求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x－y＋2=0上；(2)顶点在原点，对称轴与坐标轴重合，顶点与焦点的距离是4.3.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，求它的标准方程.
731.3正弦定理与余弦定理例7一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图1-12所示，求B处到灯塔C的距离.解因为∠NBC=45°,∠A=30°，所以∠C=15°，由题意知AB=36×0.5=18（海里），由正弦定理得BC=AB·sinA/sinC=18sin30°/sin15°≈34.8（海里）.所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里.图1-12
741.3正弦定理与余弦定理例9修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择合适测量的点C，如图1-14所示.如果已知∠C=60°,AC=350m,BC=450m，试计算隧道AB的长度（精确到1m）.解在△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cosC=3502+4502－2×350×450×cos60°=167500.则得AB=≈409（m）.所以隧道AB的长度约为409m.图1-15
751.3正弦定理与余弦定理练一练山顶上有一座塔，塔高为50m，从山下地面的某一点测得塔顶仰角为75°，塔底仰角为60°，求山的高度.
76ThankYou!77
