湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学Word版含答案

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武汉市部分重点中学2021—2022学年度高一下学期期中联考数学试卷考试时间：上午9:00—11:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面与平面平行的充分条件可以是（）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，，且直线a不在内，也不在内C．直线，直线，且，D．内的任何一条直线都与平行2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（）A．B．C．D．3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（）A．B．C．D．4．已知外心是O，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．5．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．B．C．D．-10-

16．点O是内一点，且满足．则的值为（）A．B．C．D．7．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形或钝角三角形D．直角三角形8．在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（）A．0B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则实数a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是C．实数是（为z的共钜复数）的充要条件D．若，则实数a的值为210．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A．B．与相交C．D．与异面11．已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）-10-

2A．的夹角是B．的夹角是或C．或D．或12．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（）A．平面与棱的交点是的三等分点B．平面与棱的交点是的中点C．平面与棱的交点是的三等分点D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知．若向量___________．14．一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_________．15．在中，，则______．16．圆锥底面半径与高均为3，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的体积为________，表面积为_________．-10-

3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17．（10分）已知复数，i为虚数单位．（1）若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求；（2）若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值．18．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的大小；（2）若的面积，求的值．19．（12分）已知中，点D在线段上，且，延长到C，使．设，．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求k的值．20．（12分）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________．-10-

4（1）求；（2）作，使得四边形满足，求的取值范围．21．（12分）如图，在五棱锥中，，F为棱上一点，且满足，平面与棱分别交于G，H．（1）求证：；（2）求的值．22．（12分）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，高为，如图水平放置，盛有水深为．（1）求玻璃容器的体积；（2）将一根长度为的搅棒l置入玻璃容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）-10-

5武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考高一数学试卷参考答案与评分细则题号123456789101112答案DABABCBAACDBCDBCACD13．14．15．16．17．解：（1）依题意可知∴（2）由条件可知：，整理得：∵，∴解得或．18．解：（1）原式可化为：，解之得：或（舍去）∵，∴（2），∴由余弦定理得：正弦定理得：，代入得19．解：（1）∵A为的中点，∴，可得，而（2）由（1）得，∵与共线，设即，-10-

6根据平面向量基本定理，得解之得．20．解：若选①：由，根据正弦定理可得，即，即，可得，因为，所以，选②：由，根据正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因为，所以，若选③：由，可得，即，可得，因为，所以，以下同：（2）设，则，在中，由正弦定理得，可得．在中，由正弦定理得，-10-

7可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以C的取值范围是．21．解：∵平面平面∴平面∵平面，平面平面∴，又∴（2）设与交点M，则的中点为C，由（1）知．易知平面，平面-10-

8∴平面平面又H为与平面的交点∴在中，如图，C为中点，由平面几何知识易知H为中点，故另解：M，H，G共线又C为中点，设，故，∴解得22．解：（1）由题意可知，下底面面积为，上底面的面积，又台体的高为，所以正六棱台的体积（2）设搅棒在上的点为M，则，搅棒与水面的交点为N，在平面中，过点N作，交于点P，过点E作，交于点Q，∵为正六棱台，∴，-10-

9∴为等腰梯形，画出平面的平面图，∵，∴，由勾股定理得：，∴，，，根据正弦定理得：，∴，∴，∴，∴．∴搅棒l没入水中部分的长度为．-10-