数值分析 数值积分与数值微分

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数值分析主讲侯晓慧

1第四章数值积分与数值微分其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出。例如，概率统计中常用的概率积分,及积分等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。计算定积分可用牛顿－莱布尼兹公式计算www.themegallery.comCompanyname

2§1数值积分和代数精确度一、数值积分公式在区间[a,b]上的定积分其某个数值积分公式就是在区间[a,b]内取n+1个点x0,x1,…,xn。利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待定求定积分的值，即右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中xk为积分节点，Ak为相应的求积系数。因此，一个数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无关。www.themegallery.comCompanyname

3§1数值积分和代数精确度二、积分公式的代数精确度定义：若积分的数值积分公式对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。对于代数精确度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，求积公式是精确成立的。www.themegallery.comCompanyname

4这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积，近似地用两个梯形面积来代替。解：代入P0=1：而数值积分1/2[1+2+1]=2两端相等代入P1=x：数值积分1/2[-1+2*0+1]=0两端相等代入P2=x2：数值积分1/2[(-1)2+2*0+12]=1两端不等代数精确度=1例如，有积分公式求其代数精确度www.themegallery.comCompanyname

5例：在如下求积公式中，求积分节点x1,x2和相应的求积系数A1,A2使其代数精确度尽可能高。www.themegallery.comCompanyname

6§2等距节点的求积公式一、Newton-Cotes公式的推导将区间[a,b]n等分，记这n＋1个节点上的函数值为f(xk)从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为其中lk(x)为插值基本多项式，与f(x)无关。www.themegallery.comCompanyname

7§2等距节点的求积公式因为故因为作积分变量代换由于插值节点是等距节点，故可进一步化简：www.themegallery.comCompanyname

8§2等距节点的求积公式当x=a时，t=0,当x=n时，t=n;故记k=0,1,…,n我们称为柯特斯系数，其不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。www.themegallery.comCompanyname

9§2等距节点的求积公式可以得到系数表于是我们得到N阶Newton-Cotes公式：www.themegallery.comCompanyname

10§2等距节点的求积公式这是一类数值积分公式：1.建立在等距积分节点上;2.是封闭型的，即两个端点a,b也是积分节点;3.是由拉格朗日插值公式推导而得到的。www.themegallery.comCompanyname

11§2等距节点的求积公式二、Cotes系数的性质引理：n阶N-C公式的代数精确度至少是n。证明：如果f(x)是一个次数不超过n次的多项式，则其拉格朗日插值公式的差值余项为：故www.themegallery.comCompanyname

12§2等距节点的求积公式这是对一切x均相等，精确成立。所以：即数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故N-C公式的代数精确度至少是n。结论：当n为奇数时，n阶N-C公式的代数精确度为n;当n为偶数时，n阶N-C公式的代数精确度为n+1。www.themegallery.comCompanyname

13§2等距节点的求积公式性质1：归一公式证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n，故对于f(x)=1,数值积分公式是精确成立的而由上述两式相等得到：从课本上的系数表可以看出表中每行和等于1.www.themegallery.comCompanyname

14§2等距节点的求积公式性质2：对称性证明：从柯特斯系数公式中作变量代换令t=n-s,则dt=-ds当t=0时，s=n;当t=n时，s=0；T-j=n-s-j=-(s-(n-j))在对j求积的∏中，j从0到n，且j≠n-k，令n-j=i，则在对i求积的∏中，i从0到n，且i≠k。www.themegallery.comCompanyname

15§2等距节点的求积公式求∏中共有n个因子，每个因子有个负号，dt中有个负号。积分上下限交换时要用个负号。则式中，因n+k和n-k的奇偶性相同（差2k）有(-1)n+k=(-1)n-k.在课本中的柯特斯系数表中：1.第n行表示n阶N-C公式的系数，共有n+1个。2.从表中可以看到各行和等于1，且各系数与积分区间无关。3.当n≥8时，柯特斯系数出现负数，这意味着这就会产生数值不稳定性，因此高阶N-C公式的效果并不理想，尽管其代数精确度也更高。www.themegallery.comCompanyname

16§2等距节点的求积公式三、常用的N-C公式1.梯形公式n=1时，积分节点为x0=a,x1=b,则数值积分公式为：2.抛物线（辛普森）公式n=2时，积分节点为x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,柯特斯系数为数值积分公式为www.themegallery.comCompanyname

17§2等距节点的求积公式1.柯特斯公式n=4时，积分节点为x0=a,x4=b,xk=a+kh,h=(b-a)/4,柯特斯系数为则数值积分公式为：www.themegallery.comCompanyname

18复化求积公式随着n的增加可以减少积分误差，但高次插值会造成数值不稳定，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。复合梯形公式：在每个上用梯形公式：www.themegallery.comCompanyname

19复化Simpson公式：将区间[a,b]等分n等份，n为偶数(n=2m)=Snwww.themegallery.comCompanyname

201.梯形公式的截断误差梯形公式的代数精确度为1。2.抛物线（辛浦生）公式的截断误差抛物线公式的代数精确度为3。Newton－Cotes公式的截断误差www.themegallery.comCompanyname

21§3龙贝格算法在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点xk=a+kh,(k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到：www.themegallery.comCompanyname

22§3龙贝格算法容易验证：递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。www.themegallery.comCompanyname

23§3龙贝格算法例：用Romberg公式计算积分解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：这里计算www.themegallery.comCompanyname

24§3龙贝格算法计算www.themegallery.comCompanyname

25§3龙贝格算法计算www.themegallery.comCompanyname

26§3龙贝格算法把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=3.14094,S8=3.14159,C4=3.14159,R2=3.14159至此得|R1-R2|≤0.00001，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001。因此积分www.themegallery.comCompanyname

27例：其中，x0,x1固定在[-1,1]，A0,A1可调节，只有两个自由度，得到的是梯形公式，其代数精确度只有1。如果对求积节点x0,x1也进行适当选取，将有四个自由度，得到如下公式这个积分公式的代数精确度为3.这就是高斯型求积公式，上面的求积节点称为高斯点。§4Gauss型求积公式www.themegallery.comCompanyname

28一、Gauss型求积公式和Gauss点§4高斯型求积公式构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn以及系数A0…An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。定义：如果n+1个求积节点的求积公式的代数精确度为2n＋1，则这n+1个求积节点称为Gauss点。www.themegallery.comCompanyname

29证明：“”x0…xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0“”要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设0x0…xn为Gauss点与任意次数不大于n的多项式P(x)（带权）正交。定理求Gauss点求w(x)www.themegallery.comCompanyname

30例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102200))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：www.themegallery.comCompanyname

31Step2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：利用此公式计算的值www.themegallery.comCompanyname

32二、Gauss-Legendre求积公式§4高斯型求积公式1.Legendre多项式其具有前面提到的正交的性质，即对于任意次数不超过n的多项式q(x)，成立因此，多项式Pn+1(x)的零点就是相应的Gauss-Legendre公式的高斯点。www.themegallery.comCompanyname

33Legendre多项式的前几项如下：§4高斯型求积公式www.themegallery.comCompanyname

34Legendre多项式的性质性质1：Legendre多项式的首项系数为性质2：当n为奇数时，Pn(x)为奇函数，当n为偶数时，Pn(x)为偶函数。性质3：对一切次数不高于n-1次的多项式q(x),有§4高斯型求积公式www.themegallery.comCompanyname

35§4高斯型求积公式2.Gauss-Legendre求积公式（1）当n=0时，P1(x)=x，其零点为x0=0，易得A0=2的高斯－勒让德求积公式是2f(0)其代数精确度为1。（2）当n=1时，，其零点为，此时A0=1，A1=1，的高斯－勒让德求积公式是其代数精确度为1。以此类推，可得到n=2,3…时的高斯－勒让德求积公式。课本中表4.5列出了高斯－勒让德求积公式的节点和系数。www.themegallery.comCompanyname

36§4高斯型求积公式三、高斯公式的余项www.themegallery.comCompanyname

37§5数值微分导数是用极限来定义的，如果一个函数是初等函数，我们可以用求导法则来求得其导函数或在某点的导数值。如果我们只知道一个函数在若干已知离散点上的函数值，则我们必须利用数值方法来求解函数的导数，这就是数值微分。一、插值型求导公式已知f(x)在n+1个点上的函数值，我们可以构造插值多项式Pn(x)来近似代替原函数f(x)，从而可以利用P′n(x)来代替f′(x)，这就称为插值型求导公式。www.themegallery.comCompanyname

38§5数值微分插值型求导公式的截断误差：因为所以数值微分的截断误差为由于我们只讨论在节点上的数值微分，而＝0于是一般地www.themegallery.comCompanyname

39§5数值微分二、两点公式1.数值微分公式设y=f(x)在点xk，xk+1上的函数值为yk，yk+1，则区间[xk，xk+1]上的线性插值函数为将x分别用xk，xk+1代入，得www.themegallery.comCompanyname

40§5数值微分2.截断误差结论：用前差或后差代替导数的截断误差是h量级。www.themegallery.comCompanyname

41§5数值微分三、三点公式1.数值微分公式设y=f(x)在点xk-1，xk，xk+1上的函数值分别为yk－1，yk，yk+1，则过这三点的二次插值多项式为将x分别用xk－1，xk，xk+1代入，得www.themegallery.comCompanyname

42§5数值微分2.截断误差结论：用中心差代替导数得到的截断误差是h2量级。www.themegallery.comCompanyname

43§5数值微分3.二阶导数（3个点）的数值微分公式过三点xk-1，xk，xk+1上的函数值分别为yk－1，yk，yk+1，则过这三点的二次拉格朗日插值多项式为相当于二阶差分，所以带余项的二阶三点公式为www.themegallery.comCompanyname