将数学建模思想融人常微分方程教学的探索与实践

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1、第22卷第12期长春大学学报V0I．22No．122012年12月JOURNAL0FCHANGCHUNUNIVERSrrYDec．2012将数学建模思想融人常微分方程教学的探索与实践高海音，祝英杰(长春大学理学院，长春130022)摘要：常微分方程是高等院校数学与应用数学专业的主要课程之一。根据应用型本科院校的教学特点，结合实际，将数学建模思想融入常微分方程教学中，对数学专业“常微分方程”课程教学改革进行了探索，从而提高了学生的学习兴趣和课堂教学效果，进而提高了数学专业学生数学建模的能力。关键词：数学模型；常微分方程；

2、数学建模思想；教学效果中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：1009—3907(2012)12—1543—04自Newton，Leibniz创立微积分以来，人们就开始研究微分方程。从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术，从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系，三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一，而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。它的发展极大地推动了力学技术、电子技术、生物技术等诸多领域的发展，尤其是地球椭圆轨道的计算、海王

3、星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按年龄人口增长宏观预测等等，微分方程为之提供了关键技术支撑。反过来这些高新技术也推动了微分方程理论走向纵深，从过去对平衡点、周期轨道等的定性研究到今天对非局部分岔、高余维分岔的分析判定，微分方程在理论和方法上正经历着一个新的跨越。然而传统的《常微分方程》教学中过多强调理论的严密性，淡化甚至忽略了它的科学的实践指导作用。因此，如何突出该课程的实践性是我们近年来教学改革的目标。数学建模是通过对原模型的形象化或模拟和抽象而得到的一个不失真的数学结构的

4、过程，它经历了对实际问题的抽象、简化成数学模型，然后对模型求解并检验，如果解不满足实际情况要对模型进行修改，最后将模型应用于实际，这个过程也恰恰是利用常微分方程的知识解决实际问题的全过程。根据李大潜院士的“有意识将数学模型内容融人各种数学课程中”的倡导，要解决《常微分方程》教学中的问题，我们有必要将数学建模的思想融人该课程的教学过程中。1为什么要在常微分方程教学中融入数学建模思想在常微分方程课程中融人数学建模思想方法，配合数学典型模型，有利于激发学生的学习兴趣，同时又利于提高学生解决实际问题的能力、创新能力和科研能力。

5、学生的综合素质大力得到提高，因此，将数学建模思想融人常微分方程课程教学中收到了事半功倍的效果。(1)激发学生学习主观能动陛。传统的教学是按部就班的逐一介绍常微分方程理论，学生仅仅是处于接受的状态，不知其然更别谈知其所以然了。数学理论都是从现实具体问题中抽象出来的，如果直接将抽象理论灌输给学生，容易使学生更加迷惑，更谈不上激发学生能够学习兴趣，从而很难营造一个褪极的教学氛围。然而数学建模的思想和方法是从实际问题出发，寻求解决方案，如果我们在教学中增加实际应用的例子，尤其是天体力学中的二体问题，让学生重新体会能量守恒和动、

6、势能转换的基本原理；电磁震荡中的VanderPol方程，让学生知道电力传输和通讯信号传输中数学的重要作用；生态学中的生物种群模型，让学生学习人口预测对国民经济计划的重要作用。这样不但增强背景，而且让学生知道他们学这些抽象理论来干什么。因此我们讲授常微分方程理论时，首先提出该理论的一个应用背景，让学生带着问题学理论知识，再将所学的理论应用于实际问题，这样学生就很自然地体会到了学以致用的乐趣。比如讲常系数一阶常微分方程前，教师首先提出“幼仔出售的最佳时机问题”、“如何帮助警察确定尸体的死亡时间”等生动有趣的实例，解决这些问

7、题学生们都跃跃欲试。他们怀着极高的热情学习理论知识，这样变被动为主动，充分发挥了学生收稿日期：2012-06-09作者简介：高海音(1961一)，女，吉林扶余人，教授，博士，主要从事微分方程研究。l544长春大学学报第22卷的主观能动性。(2)增强学生解决实际问题的能力。每个教师讲授新课程的第一节课时都会介绍这门课程的起源、发展和应用，然而随着课程的展开，由于课时有限，部分教师就忽略了强调具体的知识点应用以及让学生根据所学理论知识解决实际问题。将数学建模的思想融人常微分方程教学以后，在教学中结合所要讲授的理论知识适当引

8、入典型模型，学生带有目的性学习，并且学以用之。这种将数学知识和数学应用有机结合，不仅增强学生学习的目的性，更能增强学生的应用意识。(3)提高大学生的创新能力。过去几十年的常微分方程传统教学模式的主要特征就是整个课堂教学过程都是以教师为主体。尤其近几年由于不断压缩专业课的学时，习题课的学时大大缩水了，因此教师满堂灌的教学现象更为严重