常微分方程中数学建模思想的教学探讨

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1、常微分方程中数学建模思想的教学探讨常微分方程中数学建模思想的教学探讨常微分方程中数学建模思想的教学探讨常微分方程中数学建模思想的教学探讨常微分方程中数学建模思想的教学探讨_E●_-一e20h1in1aNEOdu.2c2:～fn.vatj.Herald常微分方程中数学建模思想的教学探讨王国栋(安徽建筑工业学院数理系合肥230601)理论前沿摘要:常微分方程是数学学科的一门主要基础课,其中蕴含着丰富的数学思想,方法.本文主要结合教学中融入数学建模的思想,介绍了一般建模的基本过程,并结合实际教学内容给出几个典型实例,进行必要的分析,从而阐述数学建模思想

2、对提高学习兴趣有很好的帮助.关键词:常微分方程数学建模中图分类号:0l7文献标识码:A文章编号:1673--9795(2011)08(a)-0088--011常微分方程和数学建模常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物,物体和现象运动,演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.它是数学的一个重要分支,也是数学系专业学生的重要专业基础课之一,也是工科,经济等专业必学内容之一,其有关内容就出现在理工科课程高等数学》的教材中.其重要性在于它是各种精确自然科学,社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一,在众多学科领域中有重要的应用,如自动控制,弹

3、道的计算,飞机和导弹飞行的稳定性研究.它也是我系《数值分析》,Ⅸ数学建模》及《微分方程数值解》,《数学模型等后续课程的基础,通过该课程可以培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力.如今,国家教育部实行教育改革,进行通识教育,注重培养学生的实践能力,大力提倡CD10工程教育专业人才培养模式,这对课程教学中增强学生的兴趣提出更高的要求,而在常微分方程教学中应用数学建模思想是一个培养学习兴趣的很好途径.2数学建模在常微分方程中的应用数学建模本身就是一个创造性的思维过程,它是分析问题,解决问题的思维过程,其内容来自于实际,方法结合于实际和结果应用于实

4、际.可以把数学建模分为以下几个过程.模型准备:了解问题的实际背景,理解其中蕴含的实际意义,然后用数学语言来描述问题.模型假设:对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些合理的假设.模型建立:在假设的基础上,抽象出数学问题,建立相应的数学结构.模型求解:利用相关的数学知识和资料,对抽象出的模型进行演算.模型分析:从数学方面对所得的结果进行分析.模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性,合理性和适用性.如果模型较好地反应实际情况,则要对演算结果进行分析和解释.如果模型反应实际情况不满意,就应该重新假设,然后重复建模过程.模

5、型应用:根据问题的性质和建模的目的而采取不同的应用方式.通过常微分方程的具体内容,尝试选择合适的切入点,使两者有机结合,体现数学建模的思想.通过近几年的实际教学,这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.(1)人口预测模型.由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,我们要弄清楚人口增长与实际中哪些因素有关系,但显然有众多原因,这就要求我们只能考虑主要的几个因素,简化问题从而忽略那些次要的因素,即先建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1:(马尔萨斯(Malthus)模型)英国人口统计学家

6、马尔萨斯(1766年至1834年)在担任牧师期间,查看了教堂1O0多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理*一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是:在人口自然增长过程中,净相对增长(出生率与死亡率之差)是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解:设时刻t的人口为Ⅳ(f),不妨认为函数Ⅳ(f)是连续,可微的(因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理),据马尔萨斯的假设,在t到f+At时间段内,人口的增长量为±=rⅣ(

7、f)两边取极限,即令△f0,并假设在t=to时刻的人171数为Ⅳo,我们就得到=rN,N(t.)=N.U’这就是马尔萨斯人口模型,这个方程属于可分离变量方程,其解为Ⅳ(f)=Ⅳne”,此式表明人口以指数规律随时问无限增长.(2)市场价格模型.对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,但实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,显然价格是动态的,应是随时间不断变化的动态过程.例2:试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解:假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动

8、,对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设d”价格p(f)的变化率与需求和供给之差成正比,并记f(P