2008年大学自主招生数学试题

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1、中学生数学·2009年4月上·第367期(高中)jj夺Z譬ZT"'2YLj孝警譬j高煮湖北省十堰市东风高级中学(442001)甘志国围大学自主招生考试数学试题材料鲜活，试题的结~／_还是人类历史上发现的第一个无理数，是Py—礁构常以5～7道解答题的形式出现(如2008年清华大thagoras(约公元前500年，希腊学者)学派的成员学、北京大学、浙江大学的自主招生试题)，也有与本省Hippasus所发现的，从而产生了数学史上的第一次危高考数学试卷的形式类似的(如2008年山东大学自主机，所以学生还应当尽可能的通过课外阅读等手段扩招生试题)，试题的难度一

2、般略高于高考题．下面介绍大知识面．上述证明是应用反证法的一个典型例子．几道2008年自主招生数学试题．题3(2008年浙江大学自主招生数学试题1(2008年北京大学自主招生数学试题)A一{(-z，)l(z—1)+(一2)≤{}，B{(z，)题)求证：边长为1的正五边形对角线长为．llz一1l+2I一2I≤n}，AB，求n的取值范围．原参考解答是用平面几何中的三角形相似证得原参考解答是：通过换元后可知，题意即的，下面给出一种三角解法．解选择正五边形的两条共顶点的对角线及其一若((z，)[X2+y2≤{}{(-z，)ffI+2[yl≤边组成等腰三角形，再

3、作其底边上的高，又设这个正五}，求正数的取值范围．再通过画图(由对称性，可以只考虑第一象限的图，一边形对角线长为，得sinl8。一．-2：下面求sinl8。(实际上，有很多资料把sinl8。一形)，得圆z+≤÷的圆心即坐标原点到直线z+2y作为特殊角的三角函数值列出——此值为黄金—n的距离不小于该圆的半径，得所求。的取值范分割数≈o．618的一半，挺好记的)：围是『，+。。)．由公式sin2a=2sinacosa，COS30：：4cosa一3cosa及下面给出一种所用知识更少的解法．sin36。一cos54。得2sinl8。cosl8。一4cos18

4、。一3cosl8。．解题意即2sinl8。一4cos。18。一3—4(1一sin。18。)一3，若(x-1)+(y-2)≤o1317—1I+2IY一2l≤4sin18。+2sin18。一1—0．sin18。一,—／5-1n，求实数n的取值范围．_．因为(z一1)+(y～2)≤÷㈢lY一2l≤所以所求正五边形对角线长z一一生．√}一(-z～1)，所以题设等价于】z一1j+题2(2008年复旦大学自主招生数学试题)请证明√2是一个无理数．zn恒成立．证明假设~／一是有理数则可设一旦(，是两设I-z一1I—f，得￡≥o，题设即函数一￡+、／／个互质的正整数

5、)，得：2n，所以研。是偶数，进而得(≥O)的最大值一≤n，下面用两种方法求⋯．m也是偶数(因为当m是奇数时，m。是奇数)，又可得法一可得(z—f)一5—4t。，黪m(一2n)是4的倍数，n是偶数，n也是偶数，得m，n5t一2zt+(z一5)一0，穆均是偶数，这与m，互质矛盾!说明无理数．△一4一20(z。一5)>／o，黪网址：ZXSS．chinajourna1．net．ell●35●电子邮箱：ZXSS@ehinajourna1．net．crl中学生数学-2009年4月上·第367期(高中)一要≤≤要．再由函数的单调性，可得满足题意的正数存在，且m的

6、值有无数多个，其取值范围是(2_-、，2十)．．，．还可得当且仅当t一÷即z一号，或一寺埘，一’题s(2008年南京大学自主招生数学试高5所以一5题)若正数a、b、C满足a+b+C一1，求证：耄，．(。+丢)(+去)1000．法二可得5z≥。，≤，围高中生在学习“不等式的证明”时，大多都证明过所以可设f一_Jf这样的题：地si硼(。≤号)，得若正数n、b满足n+b一1，求证：+：si加+咖(n+丢)(6+÷)≥莩．一_5(1sin叶嘉c。s)简证先得o

7、1>1~4-17I其中~=arccos去‘ao4，由此也可得：当且仅当+一-5-即一arcsin也即再得(n+丢)(+丢)≥(曲+)+(÷+詈)√5÷就是z一号，或一时，一5．≥+z一孕．同对于该越的深人研冤，就会得到越5的问题．F面取一所以所求n的取值范围是』L等，+o。1．有给出题5的两个简证，并推广其结论．题4(2008年浙江大学自主招生数学试证法1因为在题5的不等式中，当且仅当a=6一题)已知x>O，>0，口一z+Y，b一~／z。~xyWy，c—一时取等号，为了使a+一。+++⋯+m，问是否存在正数m使得对于任意正数z，Y可(共m个)能使用均

8、值不等式且等号能取到，应使n、6、C为一个三角形的三条边，如果存在，求出m的mama值；如果不存在，请说明理