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时间:2018-07-17
《2006清华大学自主招生数学试题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006年清华大学自主招生数学试题1.求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.2.已知为非负数,,求的最值.3.已知为等差数列,为等比数列,求的值.4.求由正整数组成的集合,使中的元素之和等于元素之积.5.随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.6.上一点(非原点),在P处引切线交轴于,求.7.已知满足:对实数有,且,求证恒为零.(可用以下结论:若,为一常数,那么)8.在所有定周长的空间四边形中,求对角线和的最大值,并证明.2006年清华大学自主招生数学试题解答1解答:,而纯虚数的幅角为,因此n=3,2解答:(1)(2
2、)(3)利用x^4为凹函数的特性3解答:4解答:单元素集合{n}显然满足要求.如果中有两个元素a,b,其中a>b,那么a整除ab,而a不整除a+b,无解如果中有3个元素a,b,c,其中a>b>c,如果bc>=3,那么abc>=3a>a+b+c因此b=2,c=1,2a=a+3因此a=3如果中有k(k>=4)个元素a1,b…,ak,其中a1>a2…>ak,a1a2a3…ak>=a1a2a3>=a1(k-1)(k-2)>=a1(k-1)*2>a1*k>a1+a2+..ak,无解5解答:这个问题就是求最小的正整数n使得1-(1/2)^n>0.9,可的
3、n=46.解答:设点7.解答:首先f(0)=0,令g(x)=f(x)/x(x≠0)g(0)=0,由于,因此易得g(x+y)=g(x)+g(y)如果存在某点z≠0使的g(z)=t≠0那么g(kz)=kt(k是整数),,矛盾g(x)≡0因此f(x)≡08.解答:设周长=L,容易证明+,但+当AB->0D->平面ABC时AC->L/2BD->L/2时,因此+是没有最大值的,但有上确界L,所以这个问题问的有些问题空间四边形+另外+,因此对于平面四边形,如果是凸的,那么如果是凹的,那么
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