2006清华大学自主招生数学试题.doc

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1、2006年清华大学自主招生数学试题1．求最小正整数，使得为纯虚数，并求出．2．已知为非负数，，求的最值．3．已知为等差数列，为等比数列，求的值．4．求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积．5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．6．上一点(非原点)，在P处引切线交轴于，求．7．已知满足：对实数有，且，求证恒为零．(可用以下结论：若，为一常数，那么)8．在所有定周长的空间四边形中，求对角线和的最大值，并证明．2006年清华大学自主招生数学试题解答1解答：，而纯虚数的幅角为，因此n=3,2解答

2、：(1)（2）（3）利用x^4为凹函数的特性3解答：4解答：单元素集合{n}显然满足要求.如果中有两个元素a,b，其中a>b,那么a整除ab,而a不整除a+b，无解如果中有3个元素a,b，c，其中a>b>c,如果bc>=3，那么abc>=3a>a+b+c因此b=2,c=1，2a=a+3因此a=3如果中有k(k>=4)个元素a1,b…,ak，其中a1>a2…>ak,a1a2a3…ak>=a1a2a3>=a1(k-1)(k-2)>=a1(k-1)*2>a1*k>a1+a2+..ak，无解5解答：这个问题就是求最小的正整数n使得1-(1

3、/2)^n>0.9,可的n=46．解答：设点7．解答：首先f(0)=0,令g(x)=f(x)/x(x≠0)g(0)=0，由于,因此易得g(x+y)=g(x)+g(y)如果存在某点z≠0使的g(z)=t≠0那么g(kz)=kt(k是整数),，矛盾g(x)≡0因此f(x)≡08．解答：设周长=L,容易证明+,但+当AB->0D->平面ABC时AC->L/2BD->L/2时，因此+是没有最大值的，但有上确界L,所以这个问题问的有些问题空间四边形+另外+，因此对于平面四边形，如果是凸的，那么如果是凹的，那么