2019年清华大学自主招生数学试题解析(一)

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1、年清华大学自主招生试题解析（部分）1.一个四面体棱长分别为，求外接球的半径解：设，易知的外接圆半径为同理可得的外接圆的半径为设外接圆的圆心为，易知则外接球半径所以外接球半径为2.求值：解：，由分部积分法可知所以备注：听说真题是这一道：求值：解：13.已知为单位圆上一动点，，，求的最大值解：设，在整理可得由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立，则的最大值为4.为圆的直径，，为中点，，则下列选项正确的是（）忘记解：设圆的半径为，易知在与中，由余弦定理可知解得，选项错误在中，由中线定理可知解得则，选项正确而，所以，选项正确综上所述：选为5.，，是到的映射，若满足，则称有序

2、对为“好对”，求“好对”的个数最小值解：情形一：当只对应中个元素时，此时“好对”有对2情形二：当只对应中个元素时，设有组，组，则此时“好对”有对，且则由柯西不等式可知情形三：当只对应中个元素时，设有组，组，组，则此时“好对”有对，且则由柯西不等式可知依次可得，易知当对应中有个元素时，此时“好对”的最小值为，当且仅当中每个元素对应中一个元素时，等号成立则“好对”的个数的最小值为36.若对，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（）解：因为，使得，则的值域是值域的子集选项:，,满足题意选项:，令，则当时，则由四元均值不等式可知当且仅当时，等号成立，所以，，满足

3、题意因为为奇函数选项:，，不满足题意选项，，，，不满足题意综上所述：选,47.已知，，，若，求的最大值解：建立平面直角坐标系，且，，易知点的终点的轨迹方程为又，所以此时8.椭圆，过的直线交椭圆于两点，点在直线上，若为正三角形，求的面积解：设直线，，，中点为，联立整理可得则而而，解得所以则的面积为59.圆上一点处的切线交抛物线于两点，且满足，其中为坐标原点，求解：因为，所以直线恒过定点，而切线方程为则解得610.设为各位数字和，是的各位数字之和，为的各位数字之和，求的值解：因为，则则情形一：当的位数为，则情形二：当的位数为小于，则由情形一和情形二可知情形三：当的位数为位

4、时，则情形四：当的位数位位数时，则由情形三和情形四可知又则而所以11.实数满足，求的最大值和最小值解：情形一：当时，此时情形二：当时，此时7易知，令，则情形三：当时，此时易知，令，则综上所述：的最小值为，最大值为812.数列满足：，则（）单调递增无上界忘记解：易知，且，则，单调递增又（二次函数对称轴），则无上界，而则又无上界，所以综上所述：正确13.若正实数满足，则的最小值为解：因为，由二元均值不等式可知解得再由三元均值不等式可知此时当且仅当时，等号成立914.设，求最小值解：情形一：当时，则此时易知情形二：当时，则此时情形三：当时，则此时综上所述：最小值为15.设，

5、则方程的解的个数为解：不妨设，则易知，而则或或或或或综上所述：总共解的个数为1016.若实数满足，求的取值范围解：因为，则情形一：当时，由常见不等式可知所以当时，等号成立，而满足题意，此时情形二：当时，此时令，则易知，所以1117.在直三棱柱中，已知，，动点在线段上，求的最小值解：将平面展开与平面重合，则易知，在中，由余弦定理可知所以的最小值为12