北京大学自主招生数学试题_1

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1、-4-2008北京大学自主招生数学试题1 求证：边长为1的正五边形对角线长为略解：三角形ABE∽三角形DAE则：2  已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1  求证△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半第4/4页-4-略解：如图得证3 已知4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支所有球队总得分为南方球队总得分为北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分北方球队内部比赛总得分第4/

2、4页-4-解得：因为为整数x=6或x=8当x=6时所有球队总得分为=210南方球队总得分为=189北方球队总得分为=21南方球队内部比赛总得分=105北方球队内部比赛总得分=15北方胜南方得分=21-15=6北方球队最高得分=5+6=11因为11×15=165<189所以南方球队中至少有一支得分超过11分．冠军在南方球队中当x=8时所有球队总得分为=300南方球队总得分为=270第4/4页-4-北方球队总得分为=30南方球队内部比赛总得分=136北方球队内部比赛总得分=28北方胜南方得分=30-28=2北方球队最高得分=7+2=9因为9×17=153<270所以南方球队中至少

3、有一支得分超过9分．冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队5（理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π求C上未被照到的长度第4/4页